数学物理方程习题课课件

《数学物理方程习题课课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程习题课课件（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、二、无界弦的受迫振动和齐次化原理二、无界弦的受迫振动和齐次化原理由叠加原理可知，由叠加原理可知，若若是初值问题是初值问题11(,)uu x t222112211,0(,0)(,0)(),(),uuaxttxu xu xxxxt 22222(,),0(,0)(,0)(),(),uuaf x txttxu xu xxxxt 齐次方程，非齐次初始条件齐次方程，非齐次初始条件222222222(,),0(,0)(,0)0,0,uuaf x txttxuxuxxt 是初值问题22(,)uux t则 12uuu是初值问题（10）（11）的解。非齐次方程，齐次初始条件非齐次方程，齐次初始条件()0()11(

2、,)()()()d221(,)d d2x atx attx a tx a tu x txatxatafa 一维非齐次波动方程初值问题的一维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式公式定理1（齐次化原理或Duhamel原理）设1(,)(0,),f x tC R若 满足：(,)x t22222,(,)(,)0,(,),axttxxxf xxt 则20(,)(,)dtux tx t三、半无界弦的振动问题三、半无界弦的振动问题对称延拓法的理论依据：对称延拓法的理论依据：如果自由项如果自由项(,),f x t初始数据初始数据()x()x和和是是奇（偶）函数，则由表达式（奇（偶）函数，则由表达式（

3、19）所定义的函数）所定义的函数(,)u x t是是的奇（偶）函数。的奇（偶）函数。xx的的端点固定端点固定22222(,),0,0(,0)(),(,0)(),0(0,)0,0tuuaf x txttxu xxuxxxutt 端点自由端点自由22222(,),0,0(,0)(),(,0)(),0(0,)0,0txuuaf x txttxu xxuxxxutt奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓23300(),(,),0,(,),(,),(,),ttxxyyzztttua uuux y zR tux y z ux y zx y zR四、三维波动方程四、三维波动方程三维波动方程初值问题解的泊松公式三维波动方程

4、初值问题解的泊松公式21(,)(,)(,)()4MMatatSSu M tdSdSattt sincos,sinsin,0,02.cos,xatyatzat23300()(,),(,),0,(,),(,),(,),ttxxyyzztttua uuuf x y z tx y zR tux y z ux y zx y zR非齐次方程的初值问题和推迟势非齐次方程的初值问题和推迟势221(,)(,)(,)()4(,)1,4MMatatSSr atu M tdSdSatttrftad d dar 其中其中 222()()().rxyzKirchhoff公式公式 五、二维齐次波动方程的初值问题五、二维齐次

5、波动方程的初值问题22200(),(,),0,(,),(,),(,),ttxxyytttua uux yR tux y ux yx yR2 2222 2221(,)(,)2()()1(,)2()()MatMatCCd du x y tata txyd daa txy 二维波动方程初值问题的二维波动方程初值问题的Poisson公式公式二维非齐次波动方程的初值问题二维非齐次波动方程的初值问题22200()(,),(,),0,(,),(,),(,),ttxxyytttua uuf x y tx yR tux y ux yx yR利用叠加原理和齐次化原理，可以得到其解为利用叠加原理和齐次化原理，可以得

6、到其解为2 2222 222222201(,)(,)2()()1(,)2()()(,)12()()MatMatMCCatCd du x y tata txyd daa txyftd d daaxy 五、依赖区域、影响区域、决定区域五、依赖区域、影响区域、决定区域000000000011(,)()()()d22xatxatu x txatxata 从达朗贝尔公式（从达朗贝尔公式（9）还可看出，解在任一点）还可看出，解在任一点00(,)x t的值为的值为可见可见00(,)u x t的值完全由的值完全由,在区间在区间0000,xatxat上上的值唯一确定，而与其它点上的初值无关。的值唯一确定，而与其

7、它点上的初值无关。我们称区间我们称区间0000,xatxat为点为点00(,)x t的的依赖区间依赖区间。x00 xat00 xat依赖区间依赖区间t00(,)P x t如图如图显然，它是由过点显然，它是由过点00(,)x t条斜率分别为条斜率分别为1a轴所截得的区间。轴所截得的区间。的两的两的直线在的直线在x1维，过过1x点作一特征线点作一特征线1xxat过过2x点作另一特征线点作另一特征线2xxat它们和区它们和区间间12,xx围成一个三角形区域围成一个三角形区域 K，该区域中任一点该区域中任一点(,)x t的依赖区间都落在的依赖区间都落在12,xx内，内，我们称区域我们称区域 K为区为区

8、间间12,xx的的决定区域决定区域。x1xxatt1x决定区域决定区域K2x2xxat如图如图在区间在区间12,xx上给定初值上给定初值,，就可以在决定区域，就可以在决定区域 K 中决定初值问题的解。中决定初值问题的解。轴上任取一区间轴上任取一区间12,xx在在，x因此解因此解 任一点任一点(,)x t的数值的数值(,)u x t完全由区间完全由区间12,xx上的初值上的初值决定，而与此区间外的初始条件无关，决定，而与此区间外的初始条件无关，在在 K 中的中的u因此该扰动的影响范围是因此该扰动的影响范围是 ，12xatxxat1xx2xt2xxat影响区域影响区域1xxat如图如图 下面我们考

9、虑当初始时刻下面我们考虑当初始时刻0t 发生有限区间发生有限区间12,xx上的扰动时，在时刻上的扰动时，在时刻，它所影响的区域是什么？，它所影响的区域是什么？t。由解的物理意义可知，在时刻由解的物理意义可知，在时刻 12,xat xat，左传播波到达区间，左传播波到达区间12,xat xat,t右传播波到达区间右传播波到达区间 我们把我们把 12(,),0Dx txatxxat t称为区间称为区间 12,xx的的影响区域影响区域。平面上的区域平面上的区域 xot依赖区域依赖区域在在二二维情形下，维情形下，任取一点任取一点000000(,),0,MM x y tt由由二维齐次波动方程的初值问题解

10、的泊松公式得二维齐次波动方程的初值问题解的泊松公式得00000200222000200222000(,)(cos,sin)12(cos,sin)12atatu xytxryrrd drata trxryrrd draa tr 2维、3维由此可见，解由此可见，解u在在0000(,)M x y t上的值依赖于初值函上的值依赖于初值函数数(,),(,)x yx y在圆域在圆域00222000(,)()()()MatCx yxxyyat上的值，而与上的值，而与(,),(,)x yx y在圆外的值无关。在圆外的值无关。圆域圆域0MatC称为点称为点0000(,)M x y t的的依赖区域依赖区域。它可看

11、作锥体它可看作锥体222210000(,)()()(),0Kx y txxyya tttt 与平面与平面0t 相交截得的圆域。相交截得的圆域。在在三三维情形下，维情形下，任取一点任取一点0000000(,),0.MM x y z tt由三由三维齐次波动方程的初值问题解维齐次波动方程的初值问题解的泊松公式可知，它的的泊松公式可知，它的依赖依赖区域区域是球面是球面0022220000(,)()()()().MatSx y zxxyyzzat它可看作锥面它可看作锥面22222200000(,)()()()(),0Kx y z txxyyzza tttt 与超平面与超平面0t 相交所截得的球面。相交所

12、截得的球面。决定区域决定区域在二维情形下，在二维情形下，对于锥体对于锥体1K中任何一点中任何一点1111(,),M x y t其解其解111(,)u x y t的依赖区域的依赖区域11MatC都包含在圆域都包含在圆域00MatC内。内。因此圆域因此圆域00MatC就决定了锥体就决定了锥体1K中每一点上解中每一点上解(,)u x y t的值。的值。锥体锥体1K称为圆域称为圆域00MatC的的决定区域决定区域。类似地，在三维情形下，给定球域类似地，在三维情形下，给定球域0022220000(,)()()()().MatBx y zxxyyzzat我们称我们称(,)x y z t空间的锥体域空间的锥

13、体域22222300000(,)()()()(),0Kx y z txxyyzza tttt 为球域为球域00MatB的的决定区域。决定区域。解在锥体域解在锥体域3K内任何一点的内任何一点的值值(,)u x y z t都由球域都由球域00MatB上的初值所决定。上的初值所决定。影响区域影响区域在二维情形下，我们在初始平面在二维情形下，我们在初始平面0t 任取一点任取一点00(,0)x y作一锥体域作一锥体域222 2400(,)()(),0.Kx y txxyya t t锥体域锥体域4K中任何一点中任何一点(,),x y t其依赖区域都包括点其依赖区域都包括点00(,0),x y即即解受到解受

14、到00(,0)x y上定义的初值上定义的初值00(,)x y和和00(,)x y的影响，的影响，而而4K外任何一点的依赖区域都不包含外任何一点的依赖区域都不包含点点00(,0).x y称锥体域称锥体域4K为点为点00(,0)x y的的影响区域影响区域。类似地，类似地，锥面锥面2222250000(,)()()()(),0.Kx y z txxyyzza ttt称为点称为点000(,0)x y z的的影响区域影响区域，即点即点000(,0)x y z处给定处给定的初值只影响到解的初值只影响到解u在在5K上的点的取值，而不影响解上的点的取值，而不影响解u在在5K外的点的取值。外的点的取值。特征锥特征锥以点以点0000(,),0 x y tt 为顶点的圆锥面为顶点的圆锥面22220000()()(),0 xxyya tttt 称为称为二维波动方程的特征锥二维波动方程的特征锥。以点以点00000(,),0 x y z tt 为顶点的圆锥面为顶点的圆锥面2222200000()()()(),0 xxyyzza tttt 称为称为三维波动方程的特征锥三维波动方程的特征锥。从以上可以看出，特征锥在波动方程初值问题解的从以上可以看出，特征锥在波动方程初值问题解的依赖区域、决定区域和影响区域中起着重要作用。依赖区域、决定区域和影响区域中起着重要作用。