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1、9.19.1空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程设空间曲线的方程 )()()(tzztyytxxozyx其中的三个函数均可导其中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面割线的极限位置称为割线的极限位置称为切线切线zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以,t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲
2、线在M处的处的切线方程切线方程.)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,)(),(),(000tztytxT 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面:.0)()()(000000 zztzyytyxxtx解解,1时时当当 t,1 x,2ty ,62tz ,1)1(x,2)1(y,6)1(z切线方程为切线方程为,622111 zyx法平面方程法平面方程,0)2(6)1(2)1(zyx.01562 zyx即即.12,:32切线和法平面方程切线和法平面方程处的处的在在求曲线求曲线 ttzt
3、ytx 例例1 1,2,1,1 zyx解解当当0 t时，时，,2,1,0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez ,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程为切线方程为,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2)0(zyx.0832 zyx即即.01,cossin2,cos:30处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程在在求求曲曲线线 tezttyuduexttu 例例2 21.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()(xzzxyy,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzzxyyyxx .0)()()(00000 zzxzyyxyxx
4、法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：T 切向量切向量),(),(,100 xzxy 切线方程为切线方程为解解.12,:32的切线和法平面方程的切线和法平面方程的点处的点处上对应于上对应于求曲线求曲线 xxzxyL例例3的的点点为为曲曲线线上上对对应应于于1 x),2,1,1(,6 ,22xzxy ,6)1(,2)1(zy T 切切向向量量,6 ,2 ,1切线为切线为,622111 zyx法法平平面面为为,0)2(6)1(2)1(zyx.01562 zyx即即2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF切线方程为切线方程为:法平面方程为法平面方程为:.0)()()(02
5、010 zzJyyJxxJMMM有有时时当当设设,0),(000 MzyzyGGFFJzyxM,20100MMMJzzJyyJxx T 切向量切向量,MyxyxMxzxzMzyzyGGFFGGFFGGFF,21MMMJJJ 解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz.)1,2,1(0,6:222处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程点点在在求求曲曲线线 zyxzyxL例例4由此得切向量由此得切向量 )(),(,100 xzxyT所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx.0 zx即即,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz,1,0,1、
空间曲线的切线与法平面2课件
