2022年高考第二轮专题复习《数列问题的题型与方法》学

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1、2022年高考第二轮专题复习数列问题的题型与方法学一复习目标：1 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力5在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力6培养学生善于分析题意，富于联想，

2、以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二考试要求：1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，

3、突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。三教学过程：（）基础知识详析1可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2判断和证明数列是等差（等比）

4、数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；若，则为等比数列。(3)中项公式法：验证都成立。3.在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。5注意事项：证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。对于一般数列的问题常转化为等差

5、、等比数列求解。注意一些特殊数列的求和方法。注意与之间关系的转化。如：=，=数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力（）范例分析例1已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹

6、角为，证明：(1)因为等差数列a的公差d0，所以Kpp是常数(k=2，3，n)(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d例2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=

7、1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用例3已知数列a是首项a10，q-1且q0的等比数列，设数列b的通项b=a-ka(nN)，数列a、b的前n项和分别为S，T如果TkS对一切自然数

8、n都成立，求实数k的取值范围分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。解：因为a是首项a0，公比q-1且q0的等比数列，故所以 b=a-ka=a(q-kq)T=b+b+b=(a+a+a)(q-kq)=S(q-kq)依题意，由TkS，得S(q-kq)kS， 对一切自然数n都成立当q0时，由a10，知a0，所以S0；当-1q0时，因为a10，1-q0，1-q0，所以S=综合上面两种情况，当q-1且q0时，S0总成立由式可得q-kqk ，例4(xx年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本xx投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本xx当地

9、旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。()设n年内(本xx为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解析：第1年投入800万元，第2年投入800（1-）万元，第n年投入800（1）n1万元所以总投入an800800（1）800（1）n140001（）n同理：第1年收入400万元，第2年收入400（1）万元，第n年收入400（1）n1万元bn400400（1）400（1）n11600（）n1(2)bnan0，1600（）n140001（）n0化简得，5（）n2

10、（）n70设x（）n，5x27x20x，x1（舍)即（）n，n5.说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。例5设实数，数列是首项为，公比为的等比数列，记，求证：当时，对任意自然数都有=解：。记+得说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定是等差数

11、列，等比数列。解法一：设等差数列a的首项a=a，公差为d，则其通项为根据等比数列的定义知S0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二：依题意，得例7设二次方程x-+1x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用表示a；例8在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=（

12、3），T中最大数.设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。例9数列中，且满足求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故（3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。例10如图，在y轴的正半轴上依次有点其中点，且，在射线上依次有点点的坐标为（3，3），

13、且用含的式子表示；用含的式子表示的坐标；求四边形面积的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐标，是以为首项，为公差的等差数列（3）连接，设四边形的面积为，则单调递减.的最大值为.说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比，为等差，（3）利用函数单调性求最值。例11设正数数列a为一等比数列，且a=4，a=16说明：这是xx年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力例12已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率

14、为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（）令，求证：数列是等比数列（）设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得，故是以为公比的等比数列；（2），故只要比较与的大小方法（一），当时，；当时；当时，方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有,则当时,.a)，是公差为-1的等差数列，又2a-a，2a-a，2a-a，(1)求数列a的通项公式；(2)计算(a+a+a)分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列an的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a的方程组解：(1)设b=log(3a-a)，因为bn是

15、等差数列，d=-1b1=log3a-a2 设c=2a-a，c是等比数列，公比为q，|q|1，c=2a-a=例14等比数列a中，已知a10，公比q0，前n项和为S，自然数b，c，d，e满足bcde，且b+e=c+d求证：SSSS分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键(证明不等式首选方法是差比较法，即作差变形判定符号，变形要有利于判定符号)be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因为ce，de，所以c-e0，e-d0，于是(c-e)(e-d)0又同理(要比较SS与SS的大小，只要比

16、较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法)(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e，寻求变形的途径，c=b+e-d，d、e出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)恒等变形只有目标明确，变形才能有方向)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)因为q0所以q-d0(运用函数的思想将问题转化为根据指

17、数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由bde，q0，当0q1时，y=qx是减函数，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0；当q1时，y=qx是增函数，qeqd，qbqd，即qe-qd0，qb-qd0所以无论0q1还是q1，都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)0综上所述，无论q=1还是q1，都有SSSS说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力例15（xx年北京春季高考）如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，

18、圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.（）证明是等比数列；（）求的值.（）证明：记rn为圆On的半径，则 所以故成等比数列.（）解：因为所以说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.例16（xx年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）712（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。（I）写出的值；（II）写出的计算公式；（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。分析：本小题主要考查等差

19、数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。解：（I）（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：第二行是首项为7，公差为5的等差数列：第i行是首项为，公差为的等差数列，因此（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得从而即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而可见N在该等差数阵中。综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。（）、强化训练1设S和T分别为两

20、个等差数列的前n项和，若对任意nN， （ ）A43B32C74D78712一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于 （ ）A5 B6C7 D83若数列中，且，则数列的通项4设在等比数列中，求及5根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式6数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式7某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到xx年底全县的绿化率已达30%。从xx年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。（1）设全县面积为1，xx年底绿化面积为经过年绿化总面积

21、为求证（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？8（xx年春招试题）已知点的序列（，0），其中=0，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段的中点，。（I）写出与、之间的关系式（3）（II）设，计算，由此推测数列的通项公式，并加以证明。9(94年全国理)设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列an的前三项；(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)；(3)令bn=(nN)，求：b1+b2+bn-n.（）、参考答案1解：设这两个等差数列分别为an和bn故选择A说明：注

22、意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系2解：依题意知数列单调递减，公差d0因为S3=S11=S3+a4+a5+a10+a11所以 a4+a5+a7+a8+a10+a11=0即 a4+a11=a7+a8=0，故当n=7时，a70，a80选择C解选择题注意发挥合理推理和估值的作用3解：多次运用迭代，可得4解：，又，由以上二式得 或；由此得或.说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。5解：（1），（2）=又解：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。6解：由可得当时，

23、是公比为的等比数列. 又当时，。说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化。7（1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=即=80%+16%=+（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=故有=，若则有即两边同时取对数可得故，故使得上式成立的最小为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.8（I）解：当n3时，（II）解：.由此推测。证法一：因为，且（n2）所以。证法二：（用数学归纳法证明：）（i）当时，公式成立，（ii）假设当时，公式成立，即成立。那么当时，=式仍成立。根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识

24、，考查运算能力和逻辑思维能力。9解：(1)由题意=an0令n=1时，=S1=a1解得a1=2令n=2时有=a1+a2解得a2=6令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10故该数列的前三项为2、6、10.(2)解法一：由(1)猜想数列an有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列an的通项公式是an=4n-2(nN)1当n=1时，因为41-22，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.2假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2由题意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2由题意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)整理a2k

25、+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+10，解得：ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2这就是说n=k+1时，上述结论成立.根据1，2上述结论对所有自然数n成立.解法二：由题意有，=(nN)整理得Sn=(an+2)2由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=（an+1+2)2-(an+2)2整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知an+1+an0,所以an+1-an=4即数列an为等差数列，其中a1=2,公差d=4，所以an=a1(n-1)d=2+4(n-1)即通项公式an=4n-2.(3)令cn=bn-1,则cn=b1+b2+bn-n=c1+c2+cn=说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.