通信原理第三章第一部分高级课堂

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1、 信息与不确定性有关信息与不确定性有关。对于接收者来说，如果一个待。对于接收者来说，如果一个待接收的信号或者消息的内容事先已经确知，它就不可能载接收的信号或者消息的内容事先已经确知，它就不可能载有任何信息了。有任何信息了。第第3 3章章 随机过程随机过程 因此，因此，载有信息的信号应该是不可预测的，或者说带载有信息的信号应该是不可预测的，或者说带有某种随机性有某种随机性。另外，干扰信息信号的。另外，干扰信息信号的噪声也是不可预测噪声也是不可预测的。这些不可预测的信号和噪声都称为的。这些不可预测的信号和噪声都称为随机过程随机过程。随机信号和随机噪声的不可预测性完全不同随机信号和随机噪声的不可预测

2、性完全不同。随机信。随机信号的不可预测性是因为它携带有信息，而随机噪声的不可号的不可预测性是因为它携带有信息，而随机噪声的不可预测性则是有害的，将使有用信号受到污染。预测性则是有害的，将使有用信号受到污染。1优选课讲 在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。因在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。因为为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，不能用确定不能用确定的时间函数来表示的时间函数来表示，而只能采用随机过程的理论来描述。而只能采用随机过程的理论来描述。本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概念本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概念的

3、基础上，重点学习的基础上，重点学习通信系统中经常用到的几种重要的随通信系统中经常用到的几种重要的随机过程机过程，以及随机过程通过线性系统的情况。以及随机过程通过线性系统的情况。2优选课讲一、什么是随机过程一、什么是随机过程3.1 3.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念 简单的说：简单的说：由于某一随机性因素而引起的变化过程由于某一随机性因素而引起的变化过程。或者：随机过程是或者：随机过程是随时间作随机变化的过程随时间作随机变化的过程，不能用确切，不能用确切的时间函数描述。的时间函数描述。随机是指取值不定随机是指取值不定，仅有取某值的可能，仅有取某值的可能而无确切的取值；而无确切的取值；过

4、程是指其为时间过程是指其为时间 的函数的函数。t可从两个不同的角度来理解。可从两个不同的角度来理解。3优选课讲 虽然设备和条件完全相同，虽然设备和条件完全相同，但是记录下来的但是记录下来的 个波形并个波形并 不相同。不相同。n即使即使 足够大，也找不到两足够大，也找不到两个完全相同的波形。个完全相同的波形。意味着：意味着：接收机输出的噪声接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预电压随时间的变化是不可预知的知的，因而它是一个，因而它是一个随机过随机过程程。n 部接收机的噪声输出记录部接收机的噪声输出记录n)(1tx)(2tx)(txnttt 台台性能完全相同性能完全相同的接收机的接收机,工作条件

5、相同工作条件相同,用用 部记录部记录仪同时记录它们的仪同时记录它们的输出噪声输出噪声。nn4优选课讲 一随机实验，每一次实验都有一个时间波形（称为一随机实验，每一次实验都有一个时间波形（称为样样本函数本函数或或实现实现），记作），记作 。所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体 就构成一个随机过程就构成一个随机过程，记作，记作 。即：即：无穷多个样本函数的总体叫做随机过程无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。txi txtxtxn,21 t 随机过程是所有样本随机过程是所有样本函数（实现）的集合。函数（实现）的集合。)(1tx)(2tx)(txnttt一个实现一个实现一个实现一个实现一个

6、实现一个实现5优选课讲 随机过程在任一时刻上随机过程在任一时刻上的取值是一个随机变量。的取值是一个随机变量。因此，还可以得到随机因此，还可以得到随机过程的另一种定义过程的另一种定义:随机过程是在时间进程中随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量处于不同时刻的随机变量的集合的集合。)(1tx)(2tx)(txnttt 在某一特定时刻如在某一特定时刻如 ,观察各台接收机的噪声电压。可观察各台接收机的噪声电压。可以发现：以发现：在同一时刻，每个接收机的输出噪声电压值是不在同一时刻，每个接收机的输出噪声电压值是不同的，是随机变化的同的，是随机变化的。1t1t6优选课讲 随机过程的基本特征：首先它是

7、一个随机过程的基本特征：首先它是一个时间函数时间函数，其次其次在每个时刻上，在每个时刻上，函数的取值是随机的函数的取值是随机的。随机变量与随机过程：随机变量与随机过程：区别区别：随机变量的样本是：随机变量的样本是实数值实数值；而随机过程的样本是；而随机过程的样本是时时 间函数间函数。联系联系：随机过程在某一确定时刻的取值是一个随机变量。：随机过程在某一确定时刻的取值是一个随机变量。7优选课讲二、随机过程的分布函数二、随机过程的分布函数 设设 表示一个随机过程表示一个随机过程 ，则在任一时刻，则在任一时刻 上的值上的值 是一个随机变量，其统计特性可以用是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数分布

8、函数或或概率概率密度函数密度函数来描述。来描述。t 1t 1t)(),(11111xtPtxF随机过程一维分布函数随机过程一维分布函数：一维概率密度函数一维概率密度函数：1111111),(),(xtxFtxf 一维分布函数和一维概率密度函数仅仅描述了随机过一维分布函数和一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在程在某个孤立时刻某个孤立时刻的统计特性，并没有说明随机过程在的统计特性，并没有说明随机过程在不不同时刻取值之间的内在联系同时刻取值之间的内在联系。为了对随机过程的描述更为。为了对随机过程的描述更为充分，还应在充分，还应在足够多的时间上足够多的时间上考察随机过程的考察随机过程的多维分布多维分布

9、。8优选课讲n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121 的的 维概率密度函数维概率密度函数:n t 越大，对随机过程的描述越充分越大，对随机过程的描述越充分,但问题的复杂性也但问题的复杂性也随之增加。随之增加。n 的的 维分布函数维分布函数:n t 9优选课讲 均值均值（数学期望数学期望）设随机过程设随机过程 在在任一给定时刻的值为任一给定时刻的值为 ，是一个，是一个随机变量，对应的概率密度函数为随机变量，对应的概率密度函数为 。)(t)(1t),(111txf 由于由

10、于 是任取的，是任取的，直接写为直接写为 ，改为改为 ，则得到随机，则得到随机过程过程 在任意时刻在任意时刻 的数学期望的数学期望:1tt1xx)(tt dxtxfxtE),(1)(ta该随机变量的数学期望为：该随机变量的数学期望为：111111),()(dxtxfxtE三、随机过程的数字特征三、随机过程的数字特征10优选课讲 tt01ta(t)(),(1tadxtxfxtE 是时间是时间 的函数，的函数，表示随机过程表示随机过程 个样本函数曲线的个样本函数曲线的摆动中心。摆动中心。tn11优选课讲 2)(tatEtD 表示了随机过程在时刻表示了随机过程在时刻 对于均值对于均值 的偏离程度。的

11、偏离程度。t)(ta tatE22 t2 方差方差均方值均方值均值平方均值平方 数学期望和方差只与随机过程的一维概率密度函数有数学期望和方差只与随机过程的一维概率密度函数有关，描述了随机过程在关，描述了随机过程在某个孤立时刻某个孤立时刻的特性。为了描述随的特性。为了描述随机过程机过程在两个不同时刻状态之间的联系在两个不同时刻状态之间的联系，可采用，可采用相关函数相关函数或或协方差函数协方差函数。dxtxftax,12时间时间 的函数的函数t12优选课讲 协方差函数协方差函数 、相关函数、相关函数 协方差函数描述了随机过程在协方差函数描述了随机过程在任意两个时刻任意两个时刻 和和 ，相对均值的起

12、伏量之间的相关程度。，相对均值的起伏量之间的相关程度。)(t1t2t)()()()(),(221121tattatEttB 21212122211),;,()()(dxdxttxxftaxtax 、是随机过程是随机过程 在任意两个时刻在任意两个时刻 和和 上上的两个随机变量。的两个随机变量。)(1t)(2t)(t 1t2t二维概率密度函数二维概率密度函数13优选课讲)()(),(2121ttEttR若若 则有则有 0)(0)(21tata或),(),(2121ttRttB若若 12tt 12tt令则则 可表示为可表示为),(21ttR),(11ttR与协方差函数的关系：与协方差函数的关系：)(

13、)(),(),(212121tatattRttB相关函数相关函数212121221),;,(dxdxttxxfxx 说明：相关函数依赖于起始时刻说明：相关函数依赖于起始时刻 以及以及 与与 之间的之间的时间间隔时间间隔 ,即即相关函数是相关函数是 和和 的函数的函数。1t2t1t1t),(1tR14优选课讲 这里，这里，和和 衡量了同一随机过程的相关衡量了同一随机过程的相关程度，因此，应称为程度，因此，应称为自自协方差函数协方差函数、自自相关函数相关函数。),(21ttB),(21ttR 对于两个或更多个随机过程，可引入对于两个或更多个随机过程，可引入互互协方差函数协方差函数和和互互相关函数相

14、关函数。若。若 和和 分别表示分别表示两个随机过程两个随机过程，则互，则互协方差函数为：协方差函数为：)(t)(t)()()()(),(221121tattatEttB互相关函数为：互相关函数为：)()(),(2121ttEttR15优选课讲 2cos211EEEcos2Ecos2E2cos210cos2121解：解：表示表示 时时 的数学期望的数学期望；表示表示 时时 的自相关函数的自相关函数。1E1t t1,0R1,021tt t例例3-3-13-3-1：设随机过程：设随机过程 可表示为可表示为 。式。式中，中，是一个离散随机变量，且是一个离散随机变量，且 ，试求试求 和和 。tt2cos

15、221)2(0PP 1E1,0R t16优选课讲例例3-3-13-3-1：设随机过程：设随机过程 可表示为可表示为 。式。式中，中，是一个离散随机变量，且是一个离散随机变量，且 ，试求试求 和和 。tt2cos221)2(0PP 1E1,0R t1,0R 10E2cos2cos2E2cos4E2cos4E2cos210cos21422217优选课讲3.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程一、定义一、定义ttttttxxxftttxxxfnnnnnn,;,;,21212121 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称称严平稳随机过程严平稳随机

16、过程。若随机过程的若随机过程的 维分布函数或概率密度函数与时间起维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即点无关，即统计特性不随时间的推移而变化统计特性不随时间的推移而变化:n18优选课讲由定义可知：一维分布函数与一维概率密度函数应满足由定义可知：一维分布函数与一维概率密度函数应满足:ntxFtxFtxF,11211111ntxftxftxf,11211111);,(),;,(21221212xxfttxxf 平稳随机过程的一维分布与时间无关平稳随机过程的一维分布与时间无关，上面表达式中，上面表达式中的时间可以省略。的时间可以省略。)(11xF)(11xf二维分布只与时间间隔二维分布只与时间间

17、隔 有关：有关：12tt 19优选课讲 dxtxxftEta,1平稳随机过程的平稳随机过程的均值：均值：a dxxxf1常数常数方差：方差：22tEtEt dxtxftax,12 dxxfax122常数常数20优选课讲 2121,ttEttR自相关函数：自相关函数：R212121221,;,dxdxttxxfxx 2121221;,dxdxxxfxx 时间间隔时间间隔 的函数的函数21优选课讲 严平稳必定是广义平稳的，反之不一定成立。严平稳必定是广义平稳的，反之不一定成立。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为广义平广义平稳的随机过程稳的随机过程。把满

18、足把满足均值为常数、自相关函数只与时间间隔均值为常数、自相关函数只与时间间隔 有关有关的随机过程定义为的随机过程定义为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。平稳随机过程的均值和方差是与时间无关的常数；自平稳随机过程的均值和方差是与时间无关的常数；自相关函数仅是时间间隔相关函数仅是时间间隔 的函数，而与所选取的时间起点的函数，而与所选取的时间起点无关。无关。22优选课讲 在广义平稳随机过程的定义中，只提到了均值为常数在广义平稳随机过程的定义中，只提到了均值为常数自相关函数仅与时间间隔有关，没有提到方差。那么自相关函数仅与时间间隔有关，没有提到方差。那么方差方差应该是一个什么样的函数？应该是一个什么样

19、的函数？思考：思考：23优选课讲例例3-2-13-2-1：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波，：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波，其相位值是随机的，即其相位值是随机的，即 。式中：式中：与与 为常数，为常数，是在是在 内均匀分布的随机内均匀分布的随机变量，试证明其为广义平稳过程。变量，试证明其为广义平稳过程。tAt00cos0A02,0解：按广义平稳的定义，只要证明解：按广义平稳的定义，只要证明均值为常数均值为常数且且自相关函自相关函数仅与时间间隔有关数仅与时间间隔有关即可即可。200021cosdtAtE024优选课讲 ttEttR,0002coscos0ttEA22cos2cos

20、20020200tEAEA02cos20A0002coscos0ttAE广义平稳随机过程广义平稳随机过程25优选课讲二、各态历经性二、各态历经性 平稳随机过程在平稳随机过程在满足一定条件下满足一定条件下具有一个有趣而又非具有一个有趣而又非常有用的特性，称为常有用的特性，称为“各态历经性各态历经性”。具有各态历经性的具有各态历经性的平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征（均为（均为统统计平均计平均）完全可以用随机过程中的）完全可以用随机过程中的任一实现的数字特征任一实现的数字特征（均为（均为时间平均时间平均）来替代）来替代。26优选课讲 若若 是平稳随机过程是平稳随机过程 的任意一个实现（

21、样本），的任意一个实现（样本），其其时间均值时间均值和和时间相关函数分别时间相关函数分别为为：)(tx)(t2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa如果下式成立：如果下式成立：)()(RRaa则称该平稳随机过程则称该平稳随机过程具有各态历经性具有各态历经性。27优选课讲注意：注意：具有各态历经性的随机过程一定是平稳的具有各态历经性的随机过程一定是平稳的，反之不，反之不 一定成立。一定成立。“各态历经各态历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现都经历随机过程中的任一实现都经历了了随机过程的所有可能状态随机过程的所有可能状态

22、，从而包含了全部的统计特性信，从而包含了全部的统计特性信息。因此，在求解统计平均时，无需获得大量用来计算统息。因此，在求解统计平均时，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而计平均的样本函数，而只需一个样本函数只需一个样本函数就可获得它的所就可获得它的所有数字特征，使有数字特征，使“统计平均统计平均”化为化为“时间平均时间平均”，测量和，测量和计算计算大为简化。大为简化。在通信系统中所遇到的随机信号与噪声，在通信系统中所遇到的随机信号与噪声，一般均能满一般均能满足各态历经条件足各态历经条件。28优选课讲 RttEttEttEttR112121)(),(三、平稳过程的自相关函数三、平稳过程的自

23、相关函数 平稳随机过程的自相关函数仅仅是平稳随机过程的自相关函数仅仅是 的函数的函数，描述了，描述了平稳随机过程在相隔平稳随机过程在相隔 的两个时刻的相关程度。的两个时刻的相关程度。29优选课讲 tatEt222 220aR 220aR主要性质：主要性质：)()0(2tER平均功率平均功率)()(RR偶函数偶函数证明：证明：ttER令：令：tt ttE ttE R 的平均功率的平均功率)(t直流功率直流功率交流功率交流功率30优选课讲)0(RR自相关函数在自相关函数在 有最大值有最大值022)()(atER2)()0(RR均值为均值为0 0时，有时，有2)0(R方差计算方差计算 可见，平稳随机

24、过程的自相关函数与可见，平稳随机过程的自相关函数与均值均值、方差方差及及功功率率都有一定的关系。此外，与平稳随机过程的都有一定的关系。此外，与平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度之间也有一个重要的实用关系。之间也有一个重要的实用关系。的直流功率的直流功率)(t 的交流功率的交流功率)(t31优选课讲四、平稳过程的功率谱密度四、平稳过程的功率谱密度 随机过程中的随机过程中的任一实现任一实现 是一个确定的功率信号是一个确定的功率信号，可以用功率谱密度描述。可以用功率谱密度描述。)(tfTfFmi lfPTTf2)()(是截短函数是截短函数 的傅里的傅里叶叶变换，即变换，即)(fFT)(tfT)()(

25、fFtfTTt02T2T()f t()Tft)(tfT32优选课讲 随机过程的总能量往往是无穷的，因此，其频谱特性随机过程的总能量往往是无穷的，因此，其频谱特性也是用也是用功率谱密度功率谱密度来描述。来描述。由于由于 是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不可预知的。因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程不可预知的。因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。的功率谱密度。过程的功率谱密度应该是过程的功率谱密度应该是对所有样本的功对所有样本的功率谱取统计平均率谱取统计平均，故，故 的功率谱密度的功率谱密度可定义为：可定义为：)(t)(tTfFEmi

26、 lfPEfPTTf2)()()(33优选课讲dePRdeRPjj)(21)()()(或或dfefPRdeRfPjj)()()()(维纳维纳-辛钦关系辛钦关系)()(fPR 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 与自相关函数与自相关函数 是一对是一对傅里叶变换傅里叶变换关系。关系。)(fP R34优选课讲dffPR)()0(或者或者1.1.时，有时，有0SdPR)(21)0(由由维纳维纳-辛钦关系辛钦关系以及以及 的性质，可得到如下结论：的性质，可得到如下结论：)(R2.2.功率谱密度具有功率谱密度具有非负性非负性和和实偶性实偶性，即，即0)(P)()(PPdePRdeRPjj)(

27、21)()()(dfefPRdeRfPjj)()()()(平稳过程的功率平稳过程的功率35优选课讲dttfAttfAcc22cos2122cos2212022122122cos2ttfAccfA2cos22例例3-2-23-2-2：已知某平稳随机过程：已知某平稳随机过程 ，在在 内均匀分布，求其功率谱密度及功率。内均匀分布，求其功率谱密度及功率。tfAtc2cos20解：解：2121,ttEttR212cos2costfAtfAEcc22cos2cos221212ttfttfEAcc22cos22cos2212212ttfEAttfEAcc36优选课讲 cfAR2cos22 ccffAP2222ccffffA42功率：功率：202ARS37优选课讲