因式分解的16种方法-凑因式 方法

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1、因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称 多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x2 + x = -x(3x-1)分解因式技巧1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形。2. 分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式

2、都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的 相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-” 号时，多项式的各项都要变号。提公因式法基本步骤：(1) 找出

3、公因式；(2) 提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得 的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b。注意：把2 a 2 +变成2( a 2 + 1)不叫提公因式24公

4、式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2 一 b2 =(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2 2ab+ b 2 = (a 土 b)2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的 平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3 + b3 =(a+b)( a2 -ab+b2);立方差公式：a3 一b3 =(a-b)( a2 +ab+b2)；完全立方公式：a3 3a2b+3ab2 b3 =(ab)2 .公式： a 3 + b 3 + c 3 -3abc=(a+b+c)( a 2 + b

5、2 + c 2 -ab-bc-ca)例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y

6、)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看 成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x3-x 2+x-1解法：=(x3-X2)+(x-1) = X2 (x-1)+ (x-1) =(x-1)( X2 + 1)利用二二分法，提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。3. x2-x-y2 -y解法：=(x 2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。十字相乘法这种方法有两种情况。 x 2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类

7、二次三项式的特点是：二次项的系数是1;常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两 个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). k x 2 +mx+n型的式子的因式分解如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx2 +mx+n=(ax+b)(cx+d).图示如下：a d 例如：因为1 -3XXc d7 2 -X7=-21，1X2=2，且 2-21=-19，所以 7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中裂项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相

8、反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因 式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注意，必须在与原多 项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式， 就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原 多项式相等

9、的原则下进行变形。例如：x2+3x-40 = x2+3x+2.25-42.25= (x +1.5* -(6.5*=(x+8)(x-5).应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)= x 2 +5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x 2 +5x+6的一个因式。(事实上，x 2 +5x+6=(x+2)(x+3).)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p (p,q为互质整数时)该多项式值为零，则q 为常数项约数，p最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法有时在分解因式

10、时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解， 最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.例如在分解(x 2 +x+1)( x 2 +x+2)-12时，可以令y=x2 +x,则原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2)=(x2 +x+5)( x2 +x-2) =(x2 +x+5)(x+2)(x-1)-求根法令多项式f(x)=0，求出其根为x1，x，x3， xn，则该多项式可分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).例如在分解 2xA4+7xA3-2xA2-13x+6时

11、，令 2xA4 +7xA3-2x2 -13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3, -2, 1.所以 2xA4+7xA3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,xn，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解 xA3 +2 x 2-5x-6 时，可以令 y=xA3; +2 x 2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3, -1，2则 xA3+2 x

12、2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).QD主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将2或10代入乂，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因 数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解xA3+9x 2+23x+15时，令x=2，则x人3 +9 X 2+23x+15=8+36+46+15=105,将105分解成3个质因数的积，即105=3X5X7 .注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1, x+3, x+5,在x=2时的值，则x人3+9 x2+23x+15可

13、能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式 分解。例如在分解xM-x-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个 二次因式。于是设 xA4-xA3-5 x2-6x-4=(x2+ax+b)( x2 +cx+d)=xA4+(a+c)xA3+(ac+b+d) x 2+(ad+bc)x+bd由此可得 a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6,bd=-4.解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4.则 xA4-xA3-5x2 -6x-4=(x2 +x+1)(x

14、2 -2x-4).双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2 +5xy+6y2 +8x+18y+12.分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：原式=(x+2y+2)(x+3y+6).双十字相乘法其步骤为： 先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中x2 +5xy+6y2 =(x+2y)(x+3y)； 先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=(2y+2)

15、(3y+6)； 再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出 错。多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合 适。”几道例题1.分解因式(1+y) 2 -2x2 (1+y2)+x4 (1-y) 2 .解：原式=(1+y) 2 +2(1+y)x2 (1-y)+x4 (1-y

16、) 2 -2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y2)(补项)=(1+y)+x2 (1-y) 2 -2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y 2 )(完全平方)=(1+y)+x2 (1-y) 2 -(2x) 2=(1+y)+x2 (1-y)+2x(1+y)+x2 (1-y)-2x=(x 2 -x 2 y+2x+y+1)(x2 -x 2 y-2x+y+1)=(x+1) 2 -y(x2 -1)(x-1)2 -y(x2 -1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y2. 求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：x 5 + 3 x 4 y 一 5 x 3 y 2

17、 -15 x 2 y 3 + 4 xy 4 +12 y 5解：原式=(xA5+3xA4y)-(5xA3y2 +15xA2yA3)+(4xyA4+12yA5)=xA4(x+3y)-5x2 y 2 (x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5x2 y 2 +4yA4)=(x+3y)(x2 -4y2 )(x2 -y 2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=乂人5不等于33；当y不等于0时，x+3y, x+y, x-y, x+2y, x-2y互不相同，而 33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3. . AABC的三边a、b、c有如下关

18、系式：-c2+a2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：-c 2 +a 2 +2ab-2bc=0,(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.(a-c)(a+2b+c)=0.La、b、c是ABC的三条边，a+2b+c0 . ac=0,即a=c,AABC为等腰三角形。4 .把-12xA2n X yAn+18xA(n+2)yA(n+1)-6xAnX yA(n-1)分解因式。解：-12xA2n X yAn+18xA(n+2)yA(n+1)-6xAnX yA(n-1)=-6xAnX yA(n-1)(2xAnX y-3xA2yA

19、2+1).四个注意初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几何代数主要有以下几点：1. 有理数的运算，主要讲有理数的三级运算(加减乘除和乘方开方)在这里要注意数字和字母的符 号意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。2. 整式的三级运算，注意符号意识的培养，还有就是因式分解，这和整式的乘法是互换的，注意像 平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。3. 方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住，方程是一种 方法，是一种解题的手段。4. 函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像，记住他们的特征，要会根据

20、条件来应用。 尤其要注意二次函数，这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的几何主要有以下几点：1. 识别各种平面图形和立体图形，这你应该非常熟悉。2. 图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。3. 三角形的全等和相似，要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤，背过证明三角形全等的五 种方法和证明相似的四种方法；还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质，要会应用， 这在证明题中会有很大的帮助。4. 四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，选择体里会拿着它们之间 的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。5. 圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点，但是圆的难度会很大，它的知识点很多、很 碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。