常微分方程数值解58678

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1、微分方程数值解陈文斌MEuler方法atuTttutfu)(,),(00考虑常微分方程：方法有如下令EulerNmhttmmm,1,.,1,0,11atuuNmuthfuummmm)(1,.,1,0),(001Euler方法的三种解释z数值微分：用差商来代替导数z数值积分：把微分方程变成积分方程z幂级数展开：将u(t+h)在t 做Taylor展开)(,()()(tuthftuht)(,()(,()()(tuthfduftuhtuhtt)(,()(.)(!2)()()(2tuthftutuhthutuhtu单步方法和多步方法z单步方法：利用h,tm和um即可算出um+1z多步方法：要用到h,tm

2、,tm+1,tm+k-1和um,um+1,um+k-1才能求出 um+k);,(1huthuummmmkjkjjmjjmjfhu00显式和隐式方法z显式格式：um+1通过递推可以直接求得z隐式格式：um+1需要求解代数方程才能求得，例如改进的Euler方法atuuNmutfutfhuummmmmm)(1,.,1,0,),(),(200111局部截断误差和整体截断误差z局部截断误差Rm：假设第m步精确计算的前提下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差z整体截断误差 :在考虑误差累积的效应下，计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差mmmmutu)(相容性和相容的阶zq阶相容:若一个离散变

3、量方法的局部截断误差对任意m满足：)1()(1qhORqm收敛性与收敛的阶z收敛：对任意的 ，成立z若此时，整体截断误差满足 则称方法的收敛阶为p,简称为p阶的,(0Ttt)(lim00tuumtmhth)(pmhO稳定性z方法稳定性稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例，即为存在常数C和h00,使得当 时z这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 情况下的稳定性。mmkmmmNmkvuCvu10maxmax,0(0hh 0h绝对稳定性z绝对稳定性指对某类模型问题，对固定的 ,当 时计算是稳定的。z复平面上所有这样的 组成的区域称为这个方法绝对稳定区域thhhhuu记为复数域中

4、一个常数，,高阶单步方法-Taylor级数法qjjjjmmmmqmqqmmmmmtutfdtdjhhtutuhuthuuutftuhOtuqhthutuhtuTaylorqthtu1111011)()(,(!);(,0),;,(),()()()(!.)()()(1)(（这里得到计算公式：表示，可以导数可以由满足微分方程，其各阶由于展开项处作在将高阶单步方法Runge-Kutta方法方法系数得到不同的注意这里可以通过调节（高阶逼近函数值来得到导数值的方法本质上是用多点的KuttaRungeNibakbhuhatfkutfkkchutKuttaRungeijijiijjijiiNiii,.,3,2

5、,),(),();,111111Runge-Kutta方法例z中点法（修正的Euler法）：二阶方法z古典四阶Runge-Kutta方法),()2,2()2,2(),(3423121hkuhtfkkhuhtfkkhuhtfkutfkmmmmmm),(2,2(1mmmmmmutfhuhthfuuAdams方法z考虑微分方程的积分形式用f的k次Lagrange插值多项式来代替fhttduftuhtu)(,()()(kikjjmkimkijjjmimjmkmkmttkuftttttrtptutf00)2(0,)()!1()()()()(,(Adams-bashforth外插方法z在积分方程中取 可得

6、计算格式11)()()()(,1mmmmttttkmkmmmdrdptutu,1mmttt10,0,1)1()1()()(dikiibfbhtutuikikkiimikmmAdams-Moulton内插方法z类似取 ，可以得到注：这里的t在插值点的内部，所以叫内插方法,1mmttt01,0,*1)1()1()()(dikiibfbhtutuikikkiimikmmGear方法z类似Adams方法，如果用多项式来逼近u，则可以得到Gear方法0,0,0,/1,/kkkikikmkkiimikmcgcccfhgucu0,1)1(0,11,iikiijcikjik线性k步方法z结合上面的Adams方

7、法和Gear方法，我们可以有更一般的方法 如果需要q阶相容，用Taylor方法容易知道kjjmjkjjmjfhu00kjkjjnjnnkjjjnjncc001000)!1(1!10)2(k方法z在线性多步方法中z最高阶的两步方法四阶两步方法(Milne)为参数令02,1)51()1(8)5(12)1(1212mmmmmmfffhuuu)4(3122mmmmmfffhuu线性多步方法1,.,2,1,0),(,.,1,0,00knhsukNmfhunnkjjmjkjjmj线性多步方法的性态分析z收敛性：z相容性：计算格式的误差z稳定性：计算解对初始扰动的连续依赖性z绝对稳定性：对线性问题稳定的最大

8、步长)()(,0)()(00tututmhthatuhsmn是否有时，考虑当初始逼近线性多步方法相容的充要条件z定义第一特征多项式为z定义第二特征多项式为z相容的充要条件kjjj0)(kjjj0)()1()1(,0)1(例：相容不收敛2)(,23)()(),()2(23)(,0)0(2211001122相容：用线性两步方法真解为hsuhsuffhuuuttuutummmmm例：相容不收敛（续）),0()()(0)()()1()1(2)()()()(2)1(2221021010221tmhhthmhmhuhshshmmhshshshsuhmmccummmmm时，有当满足初值的特解为计算的通解为例

9、：相容不收敛（续）不收敛的特解为满足初值则通解为考虑右端的扰动）（不收敛且）当（)()1(2)()(0)()()()1(2)()1(223)()(32lim2lim)()()(,0)(,0)(221022121200110hmhmmhhuhshshmhmmccuhmhuuuhOhmthhOhshshshsmmmmmmmqqmqmqqtmhhq线性多步方法的稳定性z定理定理：线性多步方法稳定充要条件是 满足根条件，即 的所有根均在复平面的单位园内，且在单位园周上的根为单根。)()(相容+稳定=收敛z收敛的线性多步方法必定相容并且稳定z相容且稳定，初始值 的线性多步方法必定收敛。若方法是q阶相容，且 ,则方法是q阶收敛)()(0tuhsn)()()()(0qnhOtuhs绝对稳定性z考虑试验方程z记 ，用线性多步法有z其稳定的条件是特征多项式的满足根条件1|)(|)()(),(hhhi根条件hhkjjmjkjjmjuhu00uu绝对稳定性z对指定的 ，如果特征多项式的根 按模都小于1，则称线性多步方法关于此 绝对稳定，所有这样的 组成的集合称为该方法的绝对稳定区域z利用边界轨迹法可以求得绝对稳定区域。h)(hihh0)()(),(iiiehehe