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1、利用定积分求简单几何体利用定积分求简单几何体的体积的体积2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积一、教学目标一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。求简单旋转体的体积问题。二、二、学法指导学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问建立起正确的数学模型，根据定积
2、分的概念解决体积问题。题。三、教学重难点：三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。难点；数学模型的建立及被积函数的确定。四、教学方法：四、教学方法：探究归纳，讲练结合探究归纳，讲练结合五、教学过程五、教学过程2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积（一）、复习：（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积）、求曲边梯形面积的方法是什么？的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是、定积分的几何意义是什么？（什
3、么？（3）、微积分基本定理是什么？）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析（二）新课探析 yfx,xa bxV 2()baVf xdx问题：函数问题：函数，的图像绕的图像绕轴旋转一周，所得到的几何体的体积轴旋转一周，所得到的几何体的体积 。2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积例例1、求由曲线求由曲线142 xxy,所围成的图形绕所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。轴旋转所得旋转体的体积。例题研究例题研究 利用定积分求曲边旋转体的体积利用定积分求曲边旋转体的体积 2410 dxxVxyox=1xy42 分析：分析：（1）分割）分割;(
4、2)以直代曲；以直代曲；（3）求和；）求和；(4)逼近。逼近。2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积xye0 x 12x xx)(12e变式练习变式练习1 1、求曲线求曲线，直线，直线，与与轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋轴旋转一周所得旋；转转体的体积。体的体积。答案：答案：例例2 2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。周所成的形状，尺寸如图所示，试求
5、其体积。2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积分析：分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程，和抛物线方程，“冰激凌冰激凌”可看成是由抛物线弧可看成是由抛物线弧OB和线段和线段AB绕绕X轴旋转一周形成的。轴旋转一周形成的。),(012A),(44Bpxy22解：解：将其轴载面按下图位置放将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则置，并建立如图的坐标系。则，设抛
6、物线弧，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：所在的抛物线方程为：，2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积),(44B2pxy420y代入代入求得：求得：抛物线方程为：抛物线方程为：（）12 qyx),(44B2q621xy设直线设直线ABAB的方程为：的方程为：，代入，代入求得：求得：直线直线ABAB的方程为：的方程为：所求所求“冰激凌冰激凌”的体积为：的体积为：3401242232246212)()()(cmdxxdxx2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积变式引申变式引申:某电厂冷
7、却塔外形如图所示某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕双曲线的一部分绕其中轴其中轴(双曲线的虚轴双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中旋转所成的曲面，其中A,A是双曲是双曲线的顶点，线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是是下底直径的两个端点，已知下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐标系，并写出该曲线方程建立坐标系，并写出该曲线方程(2)求冷却塔的容积（精确到求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，塔壁厚度不计，取取3.14）22xy114998()8822121212 Vx dyy49 d
8、y2()()2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积()yf x,xa xbxx2()baVf xdx归纳总结：归纳总结：求旋转体的体积和侧面积求旋转体的体积和侧面积由曲线由曲线，直线，直线及及轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为轴旋转而成的旋转体体积为.其侧面积为其侧面积为22()1()baSf xfxdx侧 yfx求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：1 1先先求出求出的表达式；的表达式；2 2代
9、入公式代入公式2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积 2baVfx dx，即可求旋转体体积的值。，即可求旋转体体积的值。yfx 2baVfx dx（三）、课堂小结：（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：体积公式步骤如下：1 1先求出先求出的表达式；的表达式；2 2代入公式代入公式，即可求旋转体体积的值。，即可求旋转体体积的值。（四）、作业布置：（四）、作业布置：课本课本P90P90页练习题中页练习题中2 2；习题；习题4-34-3中中6 6、7 7五、教后反思：五、教后反思：2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积2022-9-17北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用三利用定积分求简单几何体的体积
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