一个数除以7余2

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1、一、一个数除以7余2，除以8余4，除以9余3，问最小多少。7与8的最小公倍数 7x8=56，此数加 2, 56+2=58 为 7 余 2, 58+7n 必为除 7 余2, 取n值使之除 8 余4, n 取 6, 58+7*6=100, 除 8 余4, 100+56m, 仍满足上述条件， 取m, 使9余3, m=1, 100+56=156 满足除以9余3, 最小数为156二、中国余数定理，也称中国剩余定理，孙子剩余定理。 从孙子算经到秦九韶数书九章对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了孙子算经的“物不知数”题和秦九韶的“大衍

2、求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯算术探究中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事： 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7 报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他

3、很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。 这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。 最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作孙子算经中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的： “今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？” 用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。孙子算

4、经给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为： 用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道： 孙子算经实际上是给出了这类一次同余式组 的一般解： 其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵： “三人同行七十（70）稀， 五树梅花二一（21）枝。 七子团圆正半月（15）， 除百零五（105）便得知。” 孙子算经的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理

5、论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦 九韶在他的数书九章（见图1一7一1）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。 秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律： 图1-7-1 文澜阁四库全书本数书九章书影 其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7

6、除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由孙子算经“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。三、中国剩余定理有一个关于3、5、7的为什么除以三的余数乘70除以5的余数乘21除以7的余数乘15最后除以105 中国剩余定理 民间传说着一则故事“韩信点兵”。 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将150

7、0名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚

8、军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。 在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数. 这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的. 四、 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有： 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23. 它们除以12的余数是： 2，5，8，11，2，5，8，11，. 除以4

9、余1的数有： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，. 它们除以12的余数是： 1， 5， 9， 1， 5， 9，. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5. 如果我们把的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 512整数， 整数可以取0，1，2，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并

10、成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数. 解：先列出除以3余2的数： 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26， 再列出除以5余3的数： 3， 8， 13， 18， 23， 28，. 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是815整数，列出这一串数是8， 23， 38，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30， 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，

11、应该是10510+23=1073人五、秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。 物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著孙子算经。原题为：今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？ 这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？ 变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。 这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想

12、到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。 这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。 我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？ 这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。 如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。 例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。 要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可

13、以把n分别用1，2，3，代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。 最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。 为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。 我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家

14、程大位在他著的算法统宗（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法： 三人同行七十稀， 五树梅花甘一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 正半月暗指15。除百零五的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。 这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。 按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得： 702+213+154=263，

15、 263=2105+53， 所以，这队士兵至少有53人。 在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是： 70是5与7的倍数，而用3除余1； 21是3与7的倍数，而用5除余1； 15是3与5的倍数，而用7除余1。 因而 702是5与7的倍数，用3除余2； 213是3与7的倍数，用5除余3； 154是3与5的倍数，用7除余4。 如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把702、213与154都加起来所得的结果能同时满足用3除余2、用5除余3、用7除余4的要求。一般地， 70m+21n+15k (1m3, 1

16、n5,1k7) 能同时满足用3除余m 、用5除余n 、用7除余k的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。 我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？ 为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是57=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了三人同行七十稀。 为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是37=2

17、1，21除以5恰好余1，于是我们得到了五树梅花甘一枝。 为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是35=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了七子团圆正半月。 3、5、7的最小公倍数是105，所以除百零五便得知。 例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。 解：我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是57=35，35除以4余3，33除以4余1，因而353=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。 我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是47=28，28除以5余3，37

18、除以5余1，因而287=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。 最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是45=20，20除以7余6，66除以7余1，因而206=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。 利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解： 1053+1962+1205=1307。 由于4、5、7的最小公倍数是457=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。 一般地， 105m+196n+120k (1m4,1n5

19、,1k7) 是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。 上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于57=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。 35+1962+1205=1027 就是符合题意的数。 1027=7140+47， 由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。 算法统宗中把在以3、5、7为除数物不知其数问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。 凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。 上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。