8套利定理--南开大学

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1、套利定理套利定理南开大学数学科学学院南开大学数学科学学院白晓棠白晓棠Nankai UniversityContents概率的起源概率的起源1 赌博中的概率赌博中的概率2 套利定理套利定理3 套利定理的应用套利定理的应用4Nankai University概率的起源概率的起源v 概率的历史源于中世纪的赌博问题。概率的历史源于中世纪的赌博问题。v 意大利修道士帕奇利在意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为年出版的书中介绍了被称为“problem of points”的赌博问题。的赌博问题。v 1654年，帕斯卡年，帕斯卡Pascal的朋友，的朋友，一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人一

2、位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人们所知道的们所知道的“德德 美尔美尔”问题，帕斯卡与问题，帕斯卡与朋友费尔马书信交流，成为概率论的实朋友费尔马书信交流，成为概率论的实质性出发点。质性出发点。Nankai University概率的起源概率的起源v“德德 美尔美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押32个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌个金币。赌博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这时赌博被迫中

3、断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？个金币的赌金呢？31646444甲分个，乙分个11646422甲分个，乙分个21646433甲分个，乙分个Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）v 投掷一个骰子，出现点数投掷一个骰子，出现点数6的概率为的概率为1/6.v 于是甲在第四局赌博中获胜的概率为于是甲在第四局赌博中获胜的概率为v 1/2v 甲在第四局落败在第五局获胜的概率为甲在第四局落败在第五局获胜的概率为v(1/2)(1/2)=1/4v 于是甲最终获胜的概率为于是甲最终获胜的概率为113244Nankai Universi

4、ty赌博中的概率赌博中的概率v 于是赌金于是赌金“公平公平”的分配方式是的分配方式是31646444甲分个，乙分个v“公平公平”一词在赌博中的含义是什么？一词在赌博中的含义是什么？v 假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，如果出现来负责打扫寝室，如果出现2至至6点则明天由你来打扫寝点则明天由你来打扫寝室，如果出现点数室，如果出现点数1则明天由他来负责打扫，你认为此次则明天由他来负责打扫，你认为此次“赌博赌博”是否是是否是“公平公平”的？的？Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 现在我们把刚才的

5、那场现在我们把刚才的那场“赌博赌博”中的中的“赌注赌注”改一下。改一下。v 还是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负还是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，这次是如果出现责打扫寝室，这次是如果出现2至至6则明天由你来打扫寝室，则明天由你来打扫寝室，如果出现点数如果出现点数1则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次“赌博赌博”是否是是否是“公平公平”的？的？v 事实上，赌博的公平性是和概率中的一个事实上，赌博的公平性是和概率中的一个概念概念“期望期望”密切相关的。密切相关的。Nankai University赌博中的概率

6、赌博中的概率v 设设X是离散型随机变量，它的概率函数是是离散型随机变量，它的概率函数是:P(X=xk)=pk,k=1,2,v 定义定义X的数学期望为的数学期望为1)(kkkpxXEv 如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学期望都是零，则这次赌博是公平的。期望都是零，则这次赌博是公平的。Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 比如对于第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随比如对于第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随机变量机变量X，则它的概率分布为：，则它的概率分布为：X-11P1/65/6v 于是，你赢得的劳动天数于是，你

7、赢得的劳动天数X的数学期望的数学期望EX为为152(1)10663EX Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 所以刚才的那次赌博确实不是所以刚才的那次赌博确实不是“公平公平”的，由于你平均的，由于你平均赢得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博赢得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博中处于中处于“不利地位不利地位”。v 对于另外的一种赌博方式，对于另外的一种赌博方式，X的概率分布为的概率分布为X-51P1/65/6TEXTv 于是，你赢得的劳动天数于是，你赢得的劳动天数X的数学期望的数学期望EX为为15(5)1066EX Nankai Universi

8、ty赌博中的概率赌博中的概率v 所以第二种赌博方式对于你来说是公平的。所以第二种赌博方式对于你来说是公平的。v 有的时候，赌博的公平性是很难直观看出来的，这时要有的时候，赌博的公平性是很难直观看出来的，这时要用刚才介绍的数字期望与公平性的关系进行判断。用刚才介绍的数字期望与公平性的关系进行判断。v 在非公平的赌博中，我们可以进行适当的计算从而进行在非公平的赌博中，我们可以进行适当的计算从而进行“套利套利”，得到一份，得到一份“Free Lunch”。v 下面我们介绍套利定理，以及如何在确定赌博不公平的下面我们介绍套利定理，以及如何在确定赌博不公平的时候用适当的策略进行套利。时候用适当的策略进行

9、套利。Nankai University套利定理套利定理v 考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为考虑一个试验，其所有可能结果构成的集合为1，2，m，现有，现有n个不同的赌博结果与此试验有关。个不同的赌博结果与此试验有关。v 假设我们在第假设我们在第i个赌博结果中投入了个赌博结果中投入了x单位的赌金，若试验单位的赌金，若试验结果是结果是j(j=1,2,m)，可以得到收益，可以得到收益xri(j)，其中，其中ri()是在是在第第i个赌博结果上投入一个单位赌金的收益函数。个赌博结果上投入一个单位赌金的收益函数。v 投入的赌金数量可以是正的、负的或零。投入的赌金数量可以是正的、负的或零。Nanka

10、i University套利定理套利定理v 向量向量x=(x1,x2,xn)称为赌博策略，其中称为赌博策略，其中xi表示有表示有xi个单位的赌金个单位的赌金投在赌博结果投在赌博结果i上。上。v 若试验的结果是若试验的结果是j，则由策略，则由策略x得到的收益可由下式表示：得到的收益可由下式表示：v 下面介绍的套利定理表明，在试验的所有可能结果所构成的集下面介绍的套利定理表明，在试验的所有可能结果所构成的集合上，要么存在一个概率向量合上，要么存在一个概率向量p=(p1,p2,pm)，使得在此概率，使得在此概率下每种赌博结果的期望收益为零；要么存在一个赌博策略，在下每种赌博结果的期望收益为零；要么存

11、在一个赌博策略，在此策略下试验出现任何结果都会得到一个正的收益。此策略下试验出现任何结果都会得到一个正的收益。1()的收益ni iix r jxNankai University套利定理套利定理v 套利定理：下面两个结论有且仅有一个结论是正确的，套利定理：下面两个结论有且仅有一个结论是正确的，即要么即要么v（1）存在一个概率向量）存在一个概率向量p=(p1,p2,pm)使得使得v 要么要么v（2）存在一个赌博策略）存在一个赌博策略x=(x1,x2,xn)使得使得1()01,2,，对所有 ni iix r jjm1()01,2,，对所有 mj ijp r jinNankai University

12、套利定理套利定理v 记试验结果为随机变量记试验结果为随机变量X，套利定理表明：所谓公平的赌，套利定理表明：所谓公平的赌博即存在一个概率的集合博即存在一个概率的集合(p1,p2,pm)，使得使得PX=j=pj，对所有对所有j=1,2,mv 并且并且Eri(X)=0，对所有对所有i=1,2,nv 定义在试验的可能结果上的一个概率测度，如果它使得定义在试验的可能结果上的一个概率测度，如果它使得所有的赌博都是公平的，那么这个概率测度称为风险中所有的赌博都是公平的，那么这个概率测度称为风险中度概率测度。度概率测度。Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 在某些情况下，所允许的赌博类

13、型仅仅是选择一个结果在某些情况下，所允许的赌博类型仅仅是选择一个结果i(i=1,2,m)，且打赌试验的结果就是，且打赌试验的结果就是i，这样的一个赌博收益通，这样的一个赌博收益通常用常用“赔率赔率”的形式表示。的形式表示。v 如果关于结果如果关于结果i 的赔率是的赔率是oi(通常表示为通常表示为“oi 比比1”)，那么当试验的，那么当试验的结果是结果是i 时，一个单位的赌金会收益时，一个单位的赌金会收益oi，而当结果不是，而当结果不是i 时收益则时收益则会是会是-1.这个赌博的收益函数可由下式给出这个赌博的收益函数可由下式给出,()1,.若 若 iiojir jjiNankai Univers

14、ity赌博中的概率赌博中的概率v 假设有赔率假设有赔率o 1,o 2,o m,为了使得不存在一个稳赢的策略，为了使得不存在一个稳赢的策略，那么就一定要存在一个概率向量那么就一定要存在一个概率向量 P=(p1,p2,pm)v 使得在这个概率下对每个使得在这个概率下对每个i，都有，都有v 0=Epri(X)=oi pi-(1-pi)v 也就是说，我们必须有也就是说，我们必须有11iipoNankai University赌博中的概率赌博中的概率v 由于所有由于所有pi 的和必须为的和必须为1，这就意味着这场赌博保证，这就意味着这场赌博保证“公平公平”的的条件是条件是1111miiov 如果上式不满

15、足，我们就可以通过选择合适的赌博方式来获得如果上式不满足，我们就可以通过选择合适的赌博方式来获得“free lunch”！v 我们假设你可以在某个结果上押我们假设你可以在某个结果上押-1个单位的赌金，如果你押个单位的赌金，如果你押-1个个单位的赌金在结果单位的赌金在结果i上时，那么意味着当结果不是上时，那么意味着当结果不是i 时你可以赢得时你可以赢得一个单位的赌金，而当结果是一个单位的赌金，而当结果是i 的时候你将输掉的时候你将输掉oi个单位的赌金。个单位的赌金。Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 下面我们来看一个例子：一个赌博有三种结果，其赔率下面我们来看一个例子：

16、一个赌博有三种结果，其赔率如下如下结果结果赔率赔率112233v 由上表可知，结果由上表可知，结果1的赔率是的赔率是1比比1；结果；结果2的赔率是的赔率是2比比1；结果；结果3的赔率是的赔率是3比比1.Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 一种可以选择的策略是：在结一种可以选择的策略是：在结1押押-1个单位的赌金；在结果个单位的赌金；在结果2上押上押-0.7个单位的赌金；在结果个单位的赌金；在结果3上押上押-0.5个单位的赌金。个单位的赌金。v 若结果是若结果是1，能赢得，能赢得-1+0.7+0.5=0.2；v 若结果是若结果是2，能赢得，能赢得1-1.4+0.5=0.

17、1；v 若结果是若结果是3，你能赢得，你能赢得v 1+0.7-1.5=0.2。111131,23412v 由于由于故稳赢是有可能的。故稳赢是有可能的。Nankai University赌博中的概率赌博中的概率v 因此，无论何种情形都会有一个正的收益。因此，无论何种情形都会有一个正的收益。v 事实上，我们可以证明如果有事实上，我们可以证明如果有v 那么下面的赌博策略那么下面的赌博策略v 会赢得价值为会赢得价值为1的收益。的收益。1111miio111(1),1,2,1(1)iimiioximoNankai University赌博中的概率赌博中的概率v 我们用一个最近现实中博彩的例子来结束赌博中

18、的概率这一问我们用一个最近现实中博彩的例子来结束赌博中的概率这一问题的讨论。题的讨论。v 2009年年10月月21日，网易体育频道报道了英超的战况，并公日，网易体育频道报道了英超的战况，并公布了最新的夺冠赔率。布了最新的夺冠赔率。v 切尔西切尔西 2.75 曼联曼联 2.75 阿森纳阿森纳 5.00 曼城曼城 10.00 利物浦利物浦 15.00（前一日（前一日5.00）热刺热刺 26.00 维拉维拉 151.00 埃弗顿埃弗顿 501.0v Q：你认为：你认为21日的赔率对你来说是否有套利的可能？日的赔率对你来说是否有套利的可能？20日的日的呢？对于有套利可能的情形给出你的投资策略。呢？对于

19、有套利可能的情形给出你的投资策略。Nankai University多时期二项模型多时期二项模型v 现在我们考虑一个有现在我们考虑一个有n个交易时间段的股票期权，设每个个交易时间段的股票期权，设每个时间段的名义利率均为时间段的名义利率均为r。v 用用S(0)表示股票的初始时刻价格，表示股票的初始时刻价格，S(i)表示股票在第表示股票在第i个时个时刻的价格，其中刻的价格，其中i=1,n。v 假设假设S(i)的取值只可能是的取值只可能是uS(i-1)或或dS(i-1)，其中，其中d1+ru.v 假设我们在假设我们在0时刻购买了一个时刻购买了一个n时刻到期的，执行价格为时刻到期的，执行价格为K的上述

20、股票的欧式看涨期权。在的上述股票的欧式看涨期权。在0时刻到时刻到n时刻之间，股时刻之间，股票可以在任意时刻买进或卖出。票可以在任意时刻买进或卖出。Nankai University多时期二项模型多时期二项模型v 引进随机变量引进随机变量Xiv 我们可以把随机向量我们可以把随机向量(X1,X2,Xn)看作是试验结果。由套看作是试验结果。由套利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存利定理知，为了不存在套利机会，在这个结果集上必存在一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一在一个使得所有的赌博都是公平的概率测度。即存在一个概率集合个概率集合v PX1=x1,Xn=xn,xi=0,1,i=

21、1,nv 使得所有的赌博都是公平的。使得所有的赌博都是公平的。1(-1)0(-1)若（）若（）iS iuS iXS idS iNankai University多时期二项模型多时期二项模型v 考虑下面的赌博：选定一个考虑下面的赌博：选定一个i(i=1,n)和一个向量和一个向量(x1,xi-1)，该向量的每个元素取值为，该向量的每个元素取值为0或或1.v 观察前个时间段股价的变化，如果对每个观察前个时间段股价的变化，如果对每个j(j=1,i-1)都都有，有，Xj=xj那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将那么就立刻购买一个单位股票并在下一时刻将其卖出。其卖出。v 若我们在若我们在i-1时刻购买

22、股票将花费时刻购买股票将花费S(i-1)，下一时刻股票上，下一时刻股票上涨则卖出得涨则卖出得uS(i-1)，现值为，现值为(1+r)-1uS(i-1)；下一时刻股票；下一时刻股票下跌则卖出得下跌则卖出得dS(i-1)，现值为，现值为(1+r)-1dS(i-1)。Nankai University多时期二项模型多时期二项模型v 若令若令v 为股票被购买的概率，并且令为股票被购买的概率，并且令v 为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌为一只股票在下一时间段价格上涨的概率，那么这种赌博在博在i-1时刻的期望收益为：时刻的期望收益为：1111,iiP XxXx11111|,iiipP XXx

23、Xx(1)(1)(1)(1)11ppuS idS iS irrNankai University多时期二项模型多时期二项模型v 若无套利产生，上述期望值应为若无套利产生，上述期望值应为0，于是，于是v 解得：解得：v 这就是无套利的风险中度概率。这就是无套利的风险中度概率。v 下面我们在此结果的基础上讨论期权的无套利定价。下面我们在此结果的基础上讨论期权的无套利定价。v 定义定义 (Z)+=max(0,Z)(1)111pup drr1rdpud Nankai University多时期二项模型多时期二项模型v 用用Y表示所有表示所有Xi的和，即的和，即 。v 这是一个参数为这是一个参数为n和和p的二项分布随机变量。的二项分布随机变量。v n时刻股票的价格可以表示为：时刻股票的价格可以表示为：v 如果购买了期权，那么到期时期权的价值为如果购买了期权，那么到期时期权的价值为(S(n)-K)+，当，当前价值为前价值为1niiYX()(0)Yn YS nu dS(1)()nrS nKNankai University多时期二项模型多时期二项模型v 期权现值的期望值为期权现值的期望值为v 故，不存在套利的期权价格故，不存在套利的期权价格C的唯一值为：的唯一值为：(1)()nrE S nK(1)(0)nYn YrE Su dK(1)(0)nYn YCrE Su dK