高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线理

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1、第九章 解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线 理1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)表示的曲线大致是()答案D解析将方程a2x2b2y21变形为1，ab0，b0，0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合

2、的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)

3、于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点题型二弦长问题例2(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于

4、A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积(2)当2|AM|AN|时，证明：k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12

5、t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为

6、直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_答案(1)D(2)x2y80解析(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线

7、AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015浙江)如图已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个

8、不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则|AB|.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d .当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A

9、，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代

10、入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点P(，y0)在线段BB上(B，B为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yBy0yB，也即y0.所以m，e 2，即e(2，)，故选B.2直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4答案C解析易知直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(，0)，|AB|为焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N(，)，|AB|x1x2p4.AB中点到直线x0的距离为.3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B

11、. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.4(2017天津质检)直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D0答案A解析因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.答案D解析双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以()240，2，e .6

12、已知F为抛物线y28x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则|FA|FB|的值为()A4 B8 C8 D16答案C解析依题意知F(2,0)，所以直线l的方程为yx2，联立方程，得消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x212，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.7(2016安顺月考)在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M，N的坐标分别为_答案(2,4)，(1,1)解析设直线MN的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，b.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x21，bb，由(，b)在直线y

13、x3上，即b3，解得b2，联立解得8已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_答案6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.9过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.10已知双曲线C：x21，直线y2xm与双曲线C的右

14、支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为_答案(1,74)解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，则得m1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,74)11(2016郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(ab0)，则所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点

15、分别是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn(n0.y1y2，y1y2.|AB|.将代入上式得|AB| ，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立(SAOB)max1.