高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理教师用书理

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1、第十二节定积分与微积分基本定理2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；2.了解微积分基本定理的含义。2015，天津卷，11,5分(求面积)2015，福建卷，8,5分(定积分与概率的综合)2014，陕西卷，16,5分(定积分的计算)1.定积分的计算、利用定积分求平面图形的面积是高考命题的内容之一；2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题；3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题。微知识小题练自|主|排|查1定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在

2、每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx。2定积分的相关概念在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0，0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_。(2)(2015福建高考)如图，点A

3、的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2。若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_。【解析】(1)由图象可知A1，所以1，f(x)sin。图中其与x轴的交点横坐标为，所以图中的阴影部分的面积为0dx，因为sin，所以原式cos01。(2)依题意知点D的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD的面积S144，阴影部分的面积S阴影4x2dx4x34，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P。【答案】(1)1(2)考点三 定积分在物理中的应用【典例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶

4、至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln5 B825lnC425ln5 D450ln2(2)已知作用于某一质点的力F(x)(单位：N)，则力F(x)从x0处运动到x2处(单位：m)所做的功为_。【解析】(1)73t0，t4或t0(舍去)。dt425ln5，故选C。(2)根据题意，力F所做的功为Wx2dx(x1)dxx3(J)。【答案】(1)C(2) J反思归纳定积分在物理中的两个应用1求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt。2变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从xa移动到

5、xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx。【变式训练】(1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m；力的单位：N)【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，因为(t3t5t2)3t2110t，所以(3t211

6、0t)dt(t3t5t2)t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得t5。故选C。(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx因为x21，所以原式342(J)。【答案】(1)C(2)342微考场新提升1定积分2|x22x|dx等于()A5 B6C7 D8解析2|x22x|dx2(x22x)dx(2xx2)dx448。故选D。答案D2(2016怀化模拟)定积分dx的值为()A. B.C D2解析令y，则(x1)2y21(y0)，由定积分的几何意义可知，dx的值为区域的面积，即以(1,0)为圆心，1为半径的圆面积的，即。故选A。答案A3(

7、2017莆田模拟)如图，由函数f(x)exe的图象，直线x2及x轴所围成的阴影部分面积等于()Ae22e1 Be22eC. De22e1解析由已知得Sf(x)dx(exe)dx(exex)(e22e)(ee)e22e。故选B。答案B4(2016江西八校联考)计算：3(x3cosx)dx_。解析yx3cosx为奇函数，3(x3cosx)dx0。答案05(2016北京模拟)如图，圆O：x2y22内的正弦曲线ysinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_。解析阴影部分的面积为2sinxdx2(cosx)4，圆的面积为3，所以点A落在区域M内的概率是。答案