高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量25解三角形的应用试题理

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1、考点测试25解三角形的应用一、基础小题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90D180答案B解析根据仰角与俯角的含义，画图即可得知2在ABC中，若sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，则ABC的形状一定是()A等边三角形B不含60的等腰三角形C钝角三角形D直角三角形答案D解析sin(AB)12cos(BC)sin(AC)12cosAsinB，sinAcosBcosAsinB12cosAsinB，sinAcosBcosAsinB1，即sin(AB)1，则有AB，故三角形为直角三角形3一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海

2、里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A 海里/小时B34 海里/小时C 海里/小时D34 海里/小时答案A解析如图所示，在PMN中，MN34.v(海里/小时)故选A.4线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则几小时后，两车的距离最小()AB1CD2答案C解析如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD20080x，BE50x.y2(20080x)2(50x)22(20080x)50xcos60，整理得y212900x242000x40000(0x2.5)当x时，y

3、2最小，即y最小5要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45、30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 mB400 mC200 mD500 m答案D解析由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知BCh m，在RtABD中，由已知BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解得h500(m)6.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线

4、的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方法：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()ABCD答案D解析由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.7.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_ m(取1.4，1.7)答案2650解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB

5、5042021000(m)又在ABC中，BCsin1510500()CDAD，CDBCsinDBC10500()10500(1)7350.故山顶的海拔高度h1000073502650(m)8在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P.上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30、俯角30的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60、俯角60的C处，则轮船航行速度是_千米/时答案2解析PA平面ABC，BAC90，APB60，APC30，PA1千米，从而BC千米，于是速度vBC2(千米/时)二、高考小题92016全国卷在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()ABCD答案C解析解

6、法一：过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则CDBC，ABBC，ACBC，在ABC中，由余弦定理的推论可知，cosBAC，故选C.解法二：过A作ADBC，垂足为D，由题意知ADBDBC，则CDBC，在RtADC中，ACBC，sinDAC，cosDAC，又因为B，所以cosBACcoscosDACcossinDACsin，故选C.102015重庆高考在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.答案解析依题意知BDACBAC，由正弦定理得，sin，CBAC180B60，CBAC45，BAC30，C30.从而AC2ABcos30.11.2015湖北高考如图，一辆汽车在一条水平

7、的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_ m.答案100解析依题意有AB600，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，有CB300，在RtBCD中，CDCBtan30100，则此山的高度CD100 m.12.2014四川高考如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin3

8、70.60，cos370.80，1.73)答案60解析如图所示，过A作ADCB且交CB的延长线于D.在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92 m，由正弦定理，得，即，解得BC60 m.132015全国卷在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使BAD75，则四边形ABCD就是符合题意的四边形过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，则PB；在QBC

9、中，由余弦定理QB2BC2QC22QCBCcos3084()2，故QB，所以AB的取值范围是(，)三、模拟小题142017东北三校联考若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmBa kmC2a kmDa km答案D解析依题意知ACB1802040120，在ABC中，由余弦定理知ABa(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.15.2017汉中期末如图，在平面四边形ABCD中，AB1，BC1，AD，ABC120，DAB75，则CD()AB2C2D1答案A解析如图，过点D作DE

10、AB于E，过C作CFAB交AB的延长线于F，则DECF，CBF60，DEADsinDABsin(4530)，CFBCsinCBF(1)，所以四边形DEFC是矩形，CDEFABAEBF，因为AEADcosDABcos(4530)，BFBCcosCBF(1)，所以CD1.162017郑州模拟在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc且，若点O是ABC外一点，AOB(00，故c8，从而ABC的面积为58sin10.一、高考大题12016浙江高考在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：

11、由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB0)，则BD2x.在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以BC.所以cosCBD.在ABC中，AB3x，BC，AC5，由余弦定理，得cosCBA.所以，解得x5.所以AD的长为5.(2)由(1)得AB3x15，BC5，所以cosCBD，从而sinCBD.所以SABCABBCsinCBA155.52016河南六市联考如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和

12、50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB，同理，在PAC中，AC50，cosPAC.cosPABcosPAC，解得x31.(2)作PDAC于D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米6.2016茂名质检如图，角A为钝角，且sinA，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点(1)若AP5，PQ3，求AQ的长；(2)设APQ，AQP，且cos，求sin(2)的值解(1)A是钝角，sinA，cosA.在AQP中，由余弦定理得PQ2AP2AQ22APAQcosA，AQ28AQ200，解得AQ2或10(舍去)，AQ2.(2)由cos，得sin.在APQ中，A，又sin()sin(A)sinA，cos()cosA，sin(2)sin()sincos()cossin().