函数极限的定义高教课堂

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1、1教育教学 在上节中，我们讨论了数列的极限在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数而我们又知道数列是一种特殊的函数列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数定义在正整数集上的函数.那那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义面引入函数极限的定义.2教育教学引例引例 设函数设函数21()1,1.1xf xxxx尽管函数在点尽管函数在点 处没有定义，处没有定义，1x 但当但当 无限趋近于无限趋近于1而不等于而不等于1时，时，x相应相应 无限趋近于无限趋近于2.y3教育教学(),f xA0lim().xxf xA或或0(

2、).f xAxx定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个空心邻域中有定义，的某个空心邻域中有定义，如果存在常数如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数，使得对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正数正数 ，对于满足对于满足 的一切的一切 ，都有，都有 f x0 xA00 xxx那么常数那么常数 就称作函数就称作函数 当当 时的时的，记，记为为A f x0 xx4教育教学Oxy0 x()yf xAAA0 x0 x0lim()xxf xA函数极限函数极限 的几何意义的几何意义 对于任意对于任意 ，0对满足对满足 的一切的一切 ，00 xxx都有都有().f xA总存在正数总存在正数 ，5教育教学例例

3、函数函数21 1().1 0 1xxf xxx 注注1：函数：函数 在点在点 处的极限与函数在这一点是否有处的极限与函数在这一点是否有 f x0 x定义、或定义、或 为多少毫无关系，它所反映的是为多少毫无关系，它所反映的是 在在0f x f x则有则有 1lim2,xf x该点附近该点附近的变化趋势的变化趋势.6教育教学(),f xA经过不等式的变形，得到关系经过不等式的变形，得到关系0(),f xAM xx0(),f xAM xx 注注2:函数函数 在点在点 的极限的定义说明了如何去证明的极限的定义说明了如何去证明 f x0 x其中其中 是一个与是一个与 无关的常量无关的常量.再取再取 ，则

4、当，则当MMx f x0 xA0,函数函数 在点在点 的极限为的极限为 的方法：对于的方法：对于 考虑考虑00 xx 时，有：时，有：7教育教学此即说明此即说明0lim().xxf xA8教育教学例例1 证明下列极限证明下列极限 2lim(21)5;xx证证 因因()21 52422f xAxxx 0limsin0.xx所以所以,取取 ，当，当 时，可使时，可使 0 202x()21 522,f xAxx 故故2lim(21)5.xx9教育教学因因()sin0sinf xAxx欲使欲使 即即sin,xsin,x 所以所以 不妨取不妨取 此时令此时令0,01,arcsin,()sin0,f xA

5、x0 x则当则当 时，有时，有因而因而0limsin0.xx10教育教学例例2 证明证明 1221 4lim2.21xxx证证 因因221 4(21)1()22,21212xxf xAxxx21 41()22,212xf xAxx所以所以,取取 ，当，当 ，可使，可使 0 210()2x 所以所以1221 4lim2.21xxx11教育教学例例3 证明证明 22lim4.xx证证 因因2()422,f xAxxx为能解出不等式为能解出不等式 ，要对，要对 进行适当的控制，进行适当的控制，x2M xx13x为此限定为此限定 的变化范围为的变化范围为 ，此时有，此时有25,x所以所以,取取 ，当，

6、当 时时，0 min1,502x可使可使2()42252,f xAxxxx所以所以22lim4.xx12教育教学证证 因因例例4 证明证明 2123lim.12xxx222123231()1,12212(1)xxxxf xAxxxx取取 即即 所以所以11,x02,x21311,2222xxx所以所以,取取 ，当，当 时时，0 min1,01x223()1,12xf xAxx13教育教学所以所以2123lim.12xxx14教育教学证证 因因例例5 设设 ，证明，证明 00 x 00lim.xxxx000001(),xxf xAxxxxxxx所以所以,取取 ，当，当 时时，0 0 x00 xx

7、可使可使0001(),f xAxxxxx所以所以00lim.xxxx15教育教学1yx1yx1 0()0 0,1 0 xxf xxxx考虑函数考虑函数:x0 x是当是当 在该点两侧趋近于在该点两侧趋近于 时，函数有一个确定的变化时，函数有一个确定的变化趋势趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数前面讨论的是函数 在某一点在某一点 的极限，它反映的的极限，它反映的 f x0 xOxy1116教育教学1yx1yxOxy11该函数在点该函数在点 两侧的变化趋势是不同的两侧的变化趋势是不同的:0 x

8、 当当 在在 0 的右侧趋近于的右侧趋近于 0 时，时，x 1;f x 当当 在在 0 的左侧趋近于的左侧趋近于 0 时，时，x 1.f x 这就导出左右极限的概念这就导出左右极限的概念.17教育教学那么那么 称作称作 在在 处的处的左极限左极限，记为，记为A f x0 x0,0,左极限定义：若左极限定义：若 当当 时，时，00 xx(),f xA使得使得那么那么 称作称作 在在 处的处的右极限右极限，记为，记为A f x0 x0,0,右极限定义：若右极限定义：若 当当 时，时，00 xx(),f xA使得使得0lim()xxf x0()f x或或0lim()xxf x0()f x或或18教育

9、教学容易证明：容易证明：01lim,xx 例如：例如：01lim,xx 10lim e0,xx10lim e,xx 定理定理 极限极限 存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是 在点在点0lim()xxf x()f x0 x 处的左右极限存在并且相等处的左右极限存在并且相等.即即 存在存在 均存在，且均存在，且0lim()xxf x00lim(),lim()xxxxf xf x00lim()lim().xxxxf xf x19教育教学解解 因因例例6 说明极限说明极限 不存在不存在.1/01lim1 exx1/01lim0,1 exx1/01lim1,1 exx所以极限所以极限 不存在不存在.

10、1/01lim1 exx20教育教学二、函数在无穷远处的极限二、函数在无穷远处的极限定义定义 设函数设函数 在在 时有定义，时有定义，为常数为常数.f xxMA(),f xA0 0XxX若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在 时的极限，记为时的极限，记为Ax f xlim()xf xA().f xA x或或(),f xA0 0XxX若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在 时的极限，记为时的极限，记为Ax f xlim()xf xA().f xA x或或21教育教学(),f xA0 0XxX 若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在

11、 时的极限，记为时的极限，记为Ax f xlim()xf xA().f xA x或或22教育教学例例7 证明证明 1lim0.xx证证 因因11()0f xAxx所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得0 1XxX1(),f xAx1lim0.xx所以所以23教育教学例例8 证明证明 lim arctan.2xx证证 因因()arctanarctan22f xAxx()arctan,2f xAx只要只要 ，即，即arctan2xtan2x所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得0 xXtan2Xlim arctan.2xx所以所以类似可证类似可证 lim arctan.2xx 24教育教学

12、证证 因因222222()1111,f xAxxxxx 22()11,f xAxx例例9 证明证明 22lim110.xxx 所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得0 2XxX所以所以22lim110.xxx 25教育教学例例10 证明证明 11lim.212xxx所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得0 1max1,2XxX证证 因因 111,2122 21xf xAxx当当 时，则有不等式时，则有不等式1x 2121xxx 11,2 212xx 11,2 212f xAxx26教育教学所以所以11lim.212xxx27教育教学三、极限的性质三、极限的性质28教育教学即：即：在在

13、的某个空心邻域内有界的某个空心邻域内有界.f x0 x定理定理1 (局部有界性局部有界性)如果极限如果极限 存在存在，0lim()xxf x证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在0lim()xxf xA1,0,当当 ，即，即 有有00 x x0(,),xU x()1,f xA0 x f x那么在那么在 的某个空心邻域内，函数的某个空心邻域内，函数 有界有界.()()f xf xAA()1,f xAAA 29教育教学证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在limnnxa1,0,N 1,nxa当当 时，有时，有 从而从而nN定理定理 (有界性有界性)如果极限如果极限 存在存在，那么存

14、在，那么存在10,M limnnx1,nnxxaaa 取取 ，则对所有的，则对所有的 ，有，有n12max,1NMxxxa.nxMn.nxM使得对所有的使得对所有的 ，有，有30教育教学)如果如果 ，则存在点，则存在点0lim()0 xxf xA0 x的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：0.f x 证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在0lim()xxf xA,2A0,当当 时，有时，有0(,)xU x()2Af xA 0.2Af xA0 x0 x0 x yf xxOy2AA32A31教育教学)如果如果 ，则存在正整数，则存在正整数lim0nnxaN

15、当当 时，有：时，有：0.nx nN0lim0.xx推论推论 在在 的某个空心领域中，有的某个空心领域中，有 且且0 x 0,f x 0lim(),xxf xA则则0.A注意：如果推论的条件改成注意：如果推论的条件改成 （严格大于），则（严格大于），则 0f x 0,f x 0,A不能推出不能推出 例如例如 时时 但但(),0f xx x32教育教学证证 设设 ，则，则 当当 时，时，0lim()xxf xA0,0,0(,)x U x(),f xA定理定理3()则此数列相应的函数值数列则此数列相应的函数值数列 收敛，且收敛，且1nnf x0lim()lim().nnxxf xf x f x0l

16、im()xxf x1nnx设设 存在，又设存在，又设 是函数是函数 定义域中的定义域中的0,nxx0,limnnxx一个任意数列，一个任意数列，且且33教育教学由条件由条件 故对故对 ，当，当 时，有时，有 0lim,nnxx0,0NnN00,nxx即即0(,),nxU x因而因而(),nf xA即即0lim()lim().nnxxf xAf x34教育教学0lim()xxf xAxyO yf xA1x1()f x2()f x3()f x4()f x()nf x2x3x4x0 xnx0,limnnxx0lim()lim().nnxxf xAf x35教育教学此定理的一个实际意义是：此定理的一个

17、实际意义是：使其函数值数列收敛到两个不同的值，即使其函数值数列收敛到两个不同的值，即如果能够找到自变量的两个不同子列如果能够找到自变量的两个不同子列00,nnxx xx则说明函数在这一点无极限则说明函数在这一点无极限.00lim()lim()nnxxxxf xf x36教育教学所以所以 不存在不存在.0lim sinxx例例 证明函数证明函数 在在 时极限不存在时极限不存在.()sinf xx0 x 证证 令令1221,nnx21,nny 则则limlim0,nnnnxy1limlimsin 21,2nnnf xn但但limlimsin20,nnnfyn37教育教学xy11sinyx38教育教学对于数列，有对于数列，有定理定理 设设 存在，则对于存在，则对于 的任一子列的任一子列1,knkx1nnxlimnnx用此定理，即可说明数列用此定理，即可说明数列 的极限不存在的极限不存在.11nn limlim.knnknxx有有39教育教学40教育教学