函数的对称性与函数的图象变换总结讲课适用

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1、有些函数有些函数 其图像有着优美的对称性，其图像有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式同时又有着优美的对称关系式1优选课堂1-3-1-265432-xx(1)(1)ff(2)(2)ff()()fxf x780 x（偶函数）（偶函数）Y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称知识回顾知识回顾l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从“数数”的角度看，的角度看，f(-x)=f(x)XY2优选课堂1-3-1-265432782x()f x f(x)=f(4-x)f(1)=f(0)=f(-2)=f(310)=f(6)f(4-310)0 x4-xY=f(x)图像关于直线图像关于直线x=2对称

2、对称f(3)f(4)l从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，xy3优选课堂-1+x-1-x1-3-1-26543278x=-1 f(-1+x)=f(-1-x)思考思考?若若y=f(x)图像关于直线图像关于直线x=-1对称对称 f(x)=f(-2-x)Yx4优选课堂ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=a对称对称 f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)图像关于直线图像关于直线x=0对称对称 f(x)=f(-x)特例：特例：a=0轴对称性轴对称性思考？思考？若若y=f(x)满足满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对

3、称对称 a+b2x=直线直线xa5优选课堂-xxxyof(-x)=-f(x)y=f(x)图像关于图像关于(0,0)中心对称中心对称中心对称性中心对称性类比探究类比探究 al从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，6优选课堂f(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyo al从从”形形”的角度看，的角度看，l从从”数数”的角度看，的角度看，中心对称性中心对称性类比探究类比探究 a+x a-x y=f(x)图像关于图像关于(a,0)中心对称中心对称b7优选课堂af(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心对称性中心对称性 y=f(x)

4、图像关于图像关于(a,b)中心对称中心对称类比探究类比探究xyo8优选课堂思考？思考？(1)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=-f(b+x),(2)若若y=f(x)满足满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2(,0)点点则函数图像关于则函数图像关于 对称对称 a+b2(,C)点点9优选课堂-x x 函数图像关于直线函数图像关于直线x=0对称对称f(-x)=f(x)函数图像关于直线函数图像关于直线x=a对称对称f(a-x)=f(a+x)x=af(x)=f(2a-x)函数图像关于函数图像关于(0,0)中心对称中心对称函数图像关于函数图像关于(a,0

5、)中心对称中心对称f(-x)=-f(x)f(a-x)=-f(a+x)f(x)=-f(2a-x)轴对称轴对称中心对称性中心对称性a10优选课堂练习练习:(1)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于则函数图像关于 对称对称(2)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=f(4+x)(4)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=-f(4+x)(3)若若y=f(x)满足满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若若y=f(x)满足满足f(3-x)=3-f(4+x)11优选课堂 函数图象是研究函数图象是研究函数的重要工具函数的重要工具,它能它能为所研究函数的数量为所研究函数的

6、数量关系及其图象特征提关系及其图象特征提供一种供一种”形形”的直观的直观体现体现,是利用是利用”数形结数形结合合”解题的重要基础解题的重要基础.12优选课堂描绘函数图象的两种基本方法描绘函数图象的两种基本方法:描点法描点法;(通过列表通过列表描点描点连线三个步骤完成连线三个步骤完成)图象变换图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与即一个图象经过变换得到另一个与之相关的函数图象的方法之相关的函数图象的方法)函数图象的三大变换函数图象的三大变换平移对称对称伸缩伸缩13优选课堂问题问题1：如何由：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函的图象得到下列各函数的图象？数的图象？（1）f(x-1)=(x-

7、1)2（2）f(x+1)=(x+1)2（3）f(x)+1=x2+1（4）f(x)-1=x2-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1函数图象的平移变换：函数图象的平移变换：左右平移左右平移y=f(x)y=f(x)y=f(x+a)y=f(x+a)a0,向左平移a个单位a0,向右平移|a|个单位上下平移y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+kk0,向上平移k个单位11-1-114优选课堂同步练习同步练习:若函数若函数f(x)恒过定点恒过定点(1,1),则函数则函数f(x-4)-2恒过恒过定点定点 .若函数若函数f(x)关于直线关于直线x=1对称对称,

8、则函数则函数f(x-4)-2关于直线关于直线 对称对称.(5,-1)x=515优选课堂问题问题2.设f(x)=(x0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。x1x xyo1y=f(x)x xyo1y=f(x)x xyo1y=f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)对称变换对称变换（1）y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称；（2）y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称；（3）y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称；x 轴y 轴原 点 16优选课堂练习

9、：说出下列函数的图象与指数函数练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2y=2x x的的图象的关系，并画出它们的示意图图象的关系，并画出它们的示意图.(1)y=2-x(2)y=-2x(3)y=-2-xOyOyOy11-11-1xxx17优选课堂1.函数函数y=f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于y轴对称轴对称2.函数函数y=-f(x)与函数与函数y=f(x)的图像关于的图像关于x轴对称轴对称3.函数函数y=-f(-x)与函数与函数y=f(x)的图像关于原点对称的图像关于原点对称4.函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线 对称对称函数图象对

10、称变换的规律函数图象对称变换的规律:思考思考:“函数函数y=f(x)与函数与函数y=f(2a-x)的图像关于直线的图像关于直线x=a对称对称”与与“函数函数y=f(x)满足满足f(x)=f(2a-x),则函数则函数y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称”两者间有何区别两者间有何区别?对称变换是指对称变换是指两个两个函数图象之间的对称关系函数图象之间的对称关系,而而”满足满足f(x)=f(2a-x)或或f(a+x)=f(a-x)有有y=f(x)关于直线关于直线x=a对称对称”是指是指一个一个函数自身的性质属性函数自身的性质属性,两者不可混为一谈两者不可混为一谈.x=a18优选课堂问题问题3：

11、分别在同一坐标系中作出下列各组函：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？数的图象，并说明它们之间有什么关系？（1）y=2x与与y=2|x|Oxy由由y=f(x)的图象作的图象作y=f(|x|)的图象：的图象：y=2x 保留保留y=f(x)中中y轴右侧部分，轴右侧部分，再加上再加上y轴右侧部分轴右侧部分关于关于y轴对称轴对称的图形的图形.1y=2|x|19优选课堂22(2)23|23|yxxyxx与Oyx-414-1由由y=f(x)的图象作的图象作y=|f(x)|的图象：的图象：保留保留y =f(x)在在 x 轴上方部分，再加上轴上方部分，再加上x轴轴下方部分关于下

12、方部分关于x轴轴对称到上方的图形对称到上方的图形20优选课堂函数图象的对称变换规律：函数图象的对称变换规律：（1）y=f(x)y=f(x+a)a0,a0,向左平移向左平移a a个单位个单位a0,a0,k0,向上平移向上平移k k个单位个单位k0,k0,向下平移向下平移|k|k|个单位个单位（1）y=f(x)与与y=-f(x)的图象关于的图象关于 对称；对称；（2）y=f(x)与与y=f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称；（3）y=f(x)与与y=-f(-x)的图象关于的图象关于 对称；对称；函数图象的平移变换规律：函数图象的平移变换规律：(4)(4)由由y=f(x)y=f(x)的图象作的

13、图象作y=f(|x|)y=f(|x|)的图象：保留的图象：保留y=f(x)y=f(x)中中 部分，再加上这部分关于部分，再加上这部分关于 对称的图对称的图形形.(6)(6)由由y=f(x)y=f(x)的图象作的图象作y=|f(x)|y=|f(x)|的图象：保留的图象：保留y=f(x)y=f(x)中中 部分，再加上部分，再加上x x轴下方部分关于轴下方部分关于 对对称的图形称的图形.x轴轴y轴轴原点原点y y轴右侧轴右侧y y轴轴x x轴上方轴上方x x轴轴左右平移21优选课堂 练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2

14、)y=-f(x).yox1-1-212-0.5 y=f(-x)yox-1-1-2120.5 y=-f(x)(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.22优选课堂 练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.yox1-1-212-0.5yox1-1-212-0.5y=f(|x|)y=|f(x)|23优选课堂例例1.将函数将函数y=2-2x的图象向左平移的图象向左平移1个单位，再作关于个单位，再作关于原点对称的图形后原点对称的图形后.求所得图象对应的函数

15、解析式求所得图象对应的函数解析式.y=2-2xy=2-2(x+1)-y=2-2(-x+1)y=-22x-2向左平移向左平移1个单位个单位关于原点对称关于原点对称x换成换成-xy换成换成-yx 换成换成 x+124优选课堂例例2.已知函数已知函数y=|2x-2|（1）作出函数的图象；）作出函数的图象；（2）指出函数）指出函数 的单调区间；的单调区间；（3）指出）指出x取何值时，函数有最值。取何值时，函数有最值。Oxy3211-1y=2x y=2x-2 y=|2x-2|y=|2x-2|25优选课堂例例2.已知函数已知函数y=|2x-2|（1）作出函数的图象；）作出函数的图象；（2）指出函数）指出函

16、数 的单调区间；的单调区间；（3）指出）指出x取何值时，函数有最值。取何值时，函数有最值。Oxy3211-1y=|2x-2|0 xxa 变式:1.讨论关于 的方程|2-2|-实根个数。26优选课堂|1|)2xxx1变式3:求关于 的方程(2的实根有个.27优选课堂1函数f(x)ln|x1|的图像大致是()解析：函数f(x)ln|x1|的图像是由函数g(x)ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B.答案：B28优选课堂29优选课堂答案：C30优选课堂4使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A(1,0)B1,0)C(2,0)D2,0)解析：作出ylog2(x)，yx1的图像知满足条件的x(1

17、,0)答案：A31优选课堂32优选课堂33优选课堂易错点一 对“平移”概念理解不深导致失误【自我诊断】把函数ylog2(2x3)的图 像 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 函 数_的图像解析：由题意，得所求函数解析式为ylog22(x1)3log2(2x1)答案：ylog2(2x1)34优选课堂易错点二 判断图像的对称性失误【自我诊断】设函数yf(x)的定义域为R，则函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于()A直线y0对称 B直线x0对称C直线y1对称 D直线x1对称35优选课堂解析：方法一：设(x1，y1)是yf(x1)图像上任意一点，则y1f(x11)，而f(x11)f1(

18、2x1)，说明点(2x1，y1)定是函数yf(1x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2x1，y1)关于直线x1对称，所以yf(x1)的图像与yf(1x)的图像关于直线x1对称，所以选D.方法二：函数yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称，yf(1x)f(x1)把yf(x)与yf(x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到yf(x1)与yf(1x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x1，故选D.36优选课堂方法三：(特殊值法)设f(x)x2，则f(x1)(x1)2，f(1x)(x1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x1)和f(1x)的图像关于直线x1对称，只有D正确答案：D3

19、7优选课堂题型二函数图像的识别【例2】函数yf(x)与函数yg(x)的图像分别如图、所示则函数yf(x)g(x)的图像可能是()38优选课堂解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.由g(x)图像不过(0,0)得f(x)g(x)图像也不过(0,0)，排除C、D.答案：A规律方法：注意从f(x)，g(x)的奇偶性、单调性等方面寻找f(x)g(x)的图像特征39优选课堂【预测2】(1)已知函数yf(x)的图像如图所示，yg(x)的图像如图所示，则函数yf(x)g(x)的图像可能是下图中的()40优选课堂(2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇

20、函数，例如，f(x)、g(x)图像分别如图、所示，则f(x)g(x)的图像为()41优选课堂解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)g(x)为偶函数，可排除A、D.注意x0时图像变化趋势是“负正负”，故只能选C.(2)f(x)g(x)为偶函数，可排除A、C、D，选B.答案：(1)C(2)B42优选课堂43优选课堂(2)由题意，有C：ylg(x1)2.因为C1与C关于原点对称，所以C1：ylg(x1)2.因为C2与C1关于直线yx对称(即两函数互为反函数)，故C2：y1102x(xR)44优选课堂规律方法：(1)化为同底数；(2)翻折、平移；(3)平移、对称、反函数；(4)平移、伸缩

21、45优选课堂题型四函数图像的应用【例4】当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围46优选课堂解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图像在f2(x)logax的下方即可当0a1时，由图像知显然不成立当a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图像在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)即(21)2loga2，loga21，1a2.47优选课堂【预测4】已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求m的取值范围，使得方程f(x)mx有四个不等实根f(x)的图像如图所示函数f(x)的单调区间有(，1、1,2、2,3、3，)，其中增区间有1,2、3，)，减区间有(，1、2,348优选课堂49优选课堂小结 1.已学的画函数图像的基本方法（1）描点法；（2）图象变换法：平移变换、对称变换 2.画函数图像时可先确定函数的定义域、讨论函数 的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等），再用描点法或图像变换得出图像50优选课堂