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1、阶段提升突破练(三)(概率与统计)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2017宜宾二模)某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85mm，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图(单位：mm)，则估计()A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B.甲、乙生产的零件质量相当C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好【解析】选D.甲的零件尺寸是：93，89，88，85，84，82，79，78；乙的零件尺寸是：90，88，86，85，85，84，84，78；故甲的中位数是：=84.5，乙的中位数
2、是：=85；故A错误；根据数据分析，乙的数据稳定，故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好，故B，C错误.2.(2017长沙二模)一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列2n-2(nN*)的第2项和第4项，则这个样本的方差是()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列2n-2(nN*)的第2项和第4项，所以a=22-2=1，b=24-2=4，所以s2=(1-4)2+(3-4)2 +(5-4)2+(7-4)2=5.3.(2017衡阳二模)某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配给甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀的
3、学生不能分给同一家公司；另三名有电脑特长的学生也不能分给同一家公司，则不同的分配方案有()A.36种B.38种C.108种D.114种【解析】选A.由题意可得，有2种分配方案：甲公司要2名有电脑特长的学生，则有3种情况；英语成绩优秀的学生的分配有2种可能；再从剩下的3名学生中选一名，有3种方法.根据分步计数原理，共有323=18种分配方案.甲公司要1名有电脑特长的学生，则方法有3种；英语成绩优秀的学生的分配方法有2种；再从剩下的3名学生中选2名，方法有3种，故共有323=18种分配方案.由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种.4.5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参
4、赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A.54B.72C.78D.96【解析】选C.由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有=24种，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有=6种，故有633=54种，所以一共有24+54=78种.5.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则E()=()A.3B.C.D.4【解析】选C.由题意知，的可能取值为2，3，4，其概率分别为P=，P=(+)=，P=1-P-P(=3)=，E()
5、=2+3+4=.6.(2017资阳二模)将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子里放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是()A.40B.60C.80D.100【解析】选A.三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：2=40种.7.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字(如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5)的频数分布直方图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d(d=1，2，9)的概率为P.下列选项中，最能反映P与d的关
6、系的是()A.P=lgB.P=C.P=D.P=【解析】选A.P是d的减函数，所以排除C；由P(1)+P(2)+P(9)=1得，对于P=lg，P(1)+P(2)+P(9)=lg=lg10=1；对于P=，P(1)+P(2)+P(9)=+1；对于P=，P(1)+P(2)+P(9)=1，所以最能反映P与d的关系的是A.8.如图，正方形ABCD是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正方形拼接而成，现随机地向大正方形内部区域投掷小球，若直角三角形的两条直角边的比是21，则小球落在小正方形区域的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.由题意可知：直角三角形的两条直角边的比是21，设直角边分别为2k，k，因
7、此，正方形的边长为k，内部小正方形的边长为k，因此小球落在小正方形区域的概率为P=.二、填空题(每小题5分，共20分)9.(2017资阳一模)某厂在生产某产品的过程中，产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表所示.根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+.当产量为80吨时，预计需要生产能耗为_吨.x30405060y25304045【解析】由题意，=45，=35，代入=0.7x+，可得=3.5，所以当产量为80吨时，预计需要生产能耗为0.780+3.5=59.5(吨).答案：59.510.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_.【解析】样本数据的平均数
8、为5.1，所以方差为s2=(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2=(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42=(0.16+0.09+0.09+0.16)=0.5=0.1.答案：0.111.(2017浙江高考)已知多项式=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a4=_，a5=_.【解析】因为多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，a4为x1项的系数，所以根据二项式定理得a4=1222+132=16，a5是常数项，所以a5=1322=4.答案：16412.
9、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_.【解题导引】先找出离散型随机变量的分布列，再求离散型随机变量的均值.【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以在1次试验中成功次数的取值为0，1，2，其中P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，在1次试验中成功的概率为P(1)=+=，所以在2次试验中成功次数X的概率分布列为P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，E(X)=0+1+2=.答案：三、解答题(每小题10分，共40分)13.(2017武汉二模)PM2.5是衡量
10、空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示.现将PM2.5的值划分为如下等级：PM2.50，100)100，150)150，200)200，250等级一级二级三级四级用频率估计概率.(1)估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数.(2)在样本中，按照分层抽样的方法抽取8天的PM2.5值的数据，再从这8个数据中随机抽取5个，求一级、二级、三级、四级天气都有的概率.(3)如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天PM2.5值X近似满足XN(115，752)，则治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降
11、了多少？【解题导引】(1)根据PM2.50，100)估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数.(2)按照分层抽样的方法抽取的一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为2321，确定基本事件的个数，即可得出结论.(3)求出该市若维持现状不变，PM2.5值的均值，治理后的PM2.5值的均值即可得出结论.【解析】(1)由题意，该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的概率为0.125+0.125=0.25，天数为90天.(2)按照分层抽样的方法从一级、二级、三级、四级的PM2.5值的数据的比值为(20.002550)(0.007550)(0.005050)(0.002550)=
12、2321，从这8个数据中随机抽取5个，共有=56种，一级、二级、三级、四级天气都有，有3种情况，一级天气2个，其余1个；二级天气2个，其余1个；三级天气2个，其余1个.共有+=24种，故概率为=.(3)如果该市维持现状不变，则该市PM2.5值的均值为250.125+750.125+1250.375+1750.25+2250.125=131.25，治理后的PM2.5值的均值为115，所以治理后的PM2.5值的均值比治理前大约下降了16.25.14.(2017太原模拟)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微
13、信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：A组B组总计男性262450女性302050总计5644100(1)根据以上数据，能否在犯错误概率不超过0.4的前提下认为“A组”用户与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数.(3)从(2)中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量.参考数据：P
14、(K2k0)0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.7081.3233.8415.0246.635【解题导引】(1)由22列联表，计算K2，对照临界值表得出结论.(2)根据分层抽样比例求出所抽取的5位女性中，A组、B组应抽取的人数.(3)X的所有可能取值为1，2，3，计算对应的概率，写出分布列和数学期望.【解析】(1)由22列联表可得K2的观测值k=0.6490.708.所以不能在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“A组”用户与“性别”有关.(2)由题意得，所抽取的5位女性中，“A组”有5=3人，“B组”有5=2人.(3)X的所有可能取值为1，2，3，则P(X=
15、1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以X的分布列为：X123P其数学期望为E(X)=1+2+3=.15.(2017临汾三模)学校的校园活动中有这样一个项目.甲箱子中装有大小相同、质地均匀的4个白球，3个黑球.乙箱子中装有大小相同、质地均匀的3个白球，2个黑球.(1)从两个箱子中分别摸出1个球，如果它们都是白球则获胜，有人认为，这两个箱子里装的白球比黑球多，所以获胜的概率大于0.5，你认为呢？并说明理由.(2)如果从甲箱子中不放回地随机取出4个球，求取到的白球数的分布列和期望.(3)如果从甲箱子中随机取出2个球放入乙箱中，充分混合后，再从乙箱中取出2个球放回甲箱，求甲箱中白球个数没有减少的
16、概率.【解题导引】(1)记“获胜”为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出“获胜”的概率与0.5的大小关系.(2)设取出的白球的个数为变量X，则X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望.(3)记“甲箱中白球个数没有减少”为事件B，利用相互独立事件概率公式、互斥事件概率公式能求出甲箱中白球个数没有减少的概率.【解析】(1)我认为“获胜”的概率小于0.5.理由如下：记“获胜”为事件A，则P(A)=0.5，所以“获胜”的概率小于0.5.(2)设取出的白球的个数为变量X，则X的可能取值为1，2，3，4，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)
17、=，所以X的分布列为：X1234P数学期望为E(X)=1+2+3+4=.(3)记“甲箱中白球个数没有减少”为事件B，则P(B)=+=.16.(2017重庆一模)为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的节排器，分别从甲、乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示. 节排器等级及利润如表格所示，其中a.综合得分k的范围节排器等级节排器利润率k85一级品a75k85二级品5a270k75三级品a2(1)若从这100件甲型号节排器中按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率.(2)视频率分布
18、直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望E()；从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润较大？【解题导引】(1)利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率.(2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，若从乙型号节排器中随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为0，1，2，3，且B，由此能求出的分布列和数学期望；由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此可求出投资哪种型号节排器的平均利润较大.【解析】(1)至少有2件一级品的概率P=.(2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，若从乙型号节排器中随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为0，1，2，3，且B，所以P(=0)=，P(=1)=，P(=2)=，P(=3)=，所以的分布列为0123P所以数学期望E()=0+1+2+3=.由题意知，甲型号节排器的利润的平均值E1=a+5a2=2a2+a，乙型号节排器的利润的平均值E2=a+5a2+a2=a2+a，E1-E2=a2-a=a，又因为a，所以投资乙型号节排器的平均利润较大.
高考数学二轮复习阶段提升突破练三理新人教A版
