用空间向量解立体几何题型与方法

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1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a = (a b c ) 平面a 8的法向量u = (a b c ) v=(a，,，b4，C4)(1) 线面平行：lii aaua-u = 0a1a3 + b1b3 + c1c3 = 0(2) 线面垂直：l aoa ii uoa = kua1 = ka3，b1 二 kb3，c1 二 kc3(3) 面面平行：ail punvu = kva3 = ka4, b3 二 kb4，c3 二 kc4(4) 面面垂直：a puvu-v=0a3a4 + b3b4 + c3c4 = 0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中，PA底面

2、ABCD, E，F分别是PC，PD 的中点，PA= AB=1，BC = 2.求证：EFii平面PAB;(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标(11)系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E-，1，-，k22r1F0，1，2 ，I勺EF =r 1一一一2,0,0，PB =(1,0，-1)，PD =(0,2，-1)，AP = (0,0,1)， k 2)AD =(0,2,0)，DC = (1,0,0)，AB = (1,0,0).1(1)因为时=-2AB

3、，所以EF II AB，即 EFiiAB.又ABu平面PAB,EF平面PAB,所以EFii平面PAE(2)因为 AP DC =(0,0,1)(1,0,0) = 0，AD DC =(0,2,0)(1,0,0) 二 0，所以 AP DC，AD DC，即 APDC，ADDC.又APnAD=A，APu平面PAD, ADu平面PAD,所以DC平面PAD因为DCu平面PDC，所以平面PAD_i平面PDC.方法技巧使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方 向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平 面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证

4、明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以 证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC A1B1C1中，匕ABC=90,BC = 2,CC1 = 4，点E在线段BB1上， 且 EB1 = 1,D,F,G 分别为 CC1, C1B1, C1A1 的中点.求证：(1)BD平面ABD;(2)平面EGFii平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BBj所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，如图所示，则 B(0,0,0) , D(0,2,2) , Bi(0,0,4)，设 BA= a，则 A(a,0,0),所以BA =(a,0,0),邸二(0,2,2) , BD 二(0

5、,2,-2),BD BA =0, BD BD =0 + 4-4 = 0,即 B1DBA, B1DBD.又 BAnBD=B,因此 B1D平面 ABD.fa)一口_由(1)知，E(0,0,3) ,G-,1,4 , F(0,1,4)，则函=-,1,1, EF = (0,1,1), I2BD EG = 0 + 2-2 = 0, BD EF =0 + 2-2 = 0，即 B1DEG，B1DEF.又EGnEF = E，因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGFii平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线a , b的方向向量分别为a, b，异面直线所成|a

6、b|的角为。，则 cos 0 = |cosa , b| =|a|b|(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ,直线的方向向量a ,设线面所成的角为B,则 sin 0 = |cosn , a| =|na|丽(3)向量法求二面角：求出二面角a - l-P的两个半平面屿两勺法向量叫，n2,若一面角a-l-8所成的角。为锐角则cos 0 = |cos(n n)|二匹叫;T-I1-0-1 |/71jztd Murid，人、1，2，I |n |n | ；若一面角a-1 - 8所成的角。为钝角则cos 0=- |cos (n n)|=_ 叫T-I1-0-1 |/71jztdurid，人jju -

7、1，2，|n |n |例 1、如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中，ABAC ,AB= AC = 2,AjA = 4,点D是BC的中点.(1) 求异面直线Ag与C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成一面角的正弦值.解以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A(0,0,0),B(2,0,0) , C(0,2,0) , D(1,1,0) , A1(0,0,4) , C1(0,2,4)，所以A1B = (2,0 ,-4),甲=(1,-1,-4).卒.甲 183101 = 10因为cos(Aib , CD=| 矽|C1Dv示.再 所以异面直线A1B与C

8、1D所成角的余弦值为理0.(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1 = (x ,y ,z)，因为 AD =(1,1,0), AC =(0,2,4)，所以 n1-=0,的 AC =0，即 x + y = 0 且 y + 2z = 0，取 z = 1，得 x = 2,y =-2,所以，岛二(2, -2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2 = (0,1,0)设平面ADC1 与平面ABA1所成一面角的大小为B.n1n2由|cos 0| = L：；11 = =u，得sin。= .|n1|n2|l v9；1 33因此，平面ADC1与平面ABA1所成一面角的正弦值为季例 2、如图

9、，三棱柱 ABC A1B1C中,CA=CB , AB = AA1 ,zBAA1 = 60.(1) 证明：ABA1C ;(2) 若平面ABC平面AA1B1B ,AB = CB,求直线A】C与平面BBf所成角的正弦值.解(1)证明：取AB的中点O，连接OC ,OA1, A1B.因为CA=CB，所以OCAB.由于AB = AA1 ,zBAA1 = 60,故以入我为等边三角形，所以OAAB.因为OCnOAj = O，所以AB平面OA又A1C 平面OAjC,故ABA1C.(2)由(1)知 OCAB , OA1AB.又平面 ABC平面 AAB，交线为 AB ,所以OC上平面AA1B1B，故。A,OA1 ,

10、OC两两相互垂直.氏y以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，| OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz.由题设知 A(1,0,0) , A1(0 ,. , 0) , C(0,0，诲),B( -1,0,0).，BB = AA=(-1/3,0), A1C =(0,-.,也).设n = (x,y, z)是平面BB1C1C的法向量，则BC =(1,0,膜)n bc =0, 则1n BB =0.1xM,-3z = 0，-厂可取 n = G: 3 ,1,-1).-x + *3y = 0.故cos n, AC1n辛-,.10= |n| Ac | =-、项 所以A1C与平面BB1C1C

11、所成角的正弦值为亍.方法技巧(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤:建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进 行论证、计算；转化为几何结论.(2)求空间角应注意:两条异面直线所成的角。不一定是直线的方向向量的夹角P，即cos a=|cos P|.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求.例 3、如图，在四棱锥S ABCD中，ABAD,ABiiCD,CD=3AB=3,平面，AD平面 ABCD, E是线段 AD上一点，AE=ED-；3 , SEAD.(1) 证明：平面SBE平面SEC ;(2) 若SE=1，求直线CE与平面SBC所成

12、角的正弦值.解：(1)证明：.平面SAD平面ABCD,平面SADn平面ABCD二AD,SEu平面SAD,SEAD,aSE平面 ABCD. vBEu平面 ABCD,aSEBE. vABAD, ABiiCD,CD = 3AB=3 , AE=ED = 0 ,nAEB=30,zCED=60. .nBEC = 90, 即 BECE. 又 SEnCE二 E ,aBE平面 SEC. vBEu平面 SBE,平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES , EB, EC两两垂直.如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES 为 z 轴，建立空间直角坐标系.则 E(0,0,0),C(02. ,0),S(0,

13、0,1),B(2,0,0)，所以 CE 二(0,-2,： ,0), CB =(2,-2.很,0), C =(0,-2 很,1).nCB =0, e即3n CS =0.设平面SBC的法向量为n = (x,y,z),2x-/3y = 0,l令 y=1,得 x = . ： 3,z = 2-.: 3 ,则平面SBC的一个法向量为n = (.3 , 1,2.3).-2.J3y + z = 0.n CE1设直线CE与平面SBC所成角的大小机则血向国司1故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体ABC A1B1C1和它的三视图.线段cq上是否存在一点E ,使BE平面ACC ?若不存在,请说

14、明理由，若存在, 请找出并证明；(2)求平面qAC与平面A】CA夹角的余弦值.解:由题意知AA ,AB ,AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0),气(0,0,2) , B( - 2,0,0) , C(0 , - 2,0) , R( -1 , -1,2)，则乓=(-1,1,2) z AC =(-lz -1,0)，AC=(0f -2f -2).设 E(x,y,z),则 C =(x,y + 2,z),EC-1- y,2 - z).设 C 入 EC】(A 0),x= - A - Ax zJ-入-2-入 2入则y + 2=_入-入y,则帝可亦场,、z = 2入-入z,一仅+入-2-

15、入2入)BE1TA BE - A C = 0 ,BE AC =0f-2 -入 2入解得入二2,所以线段Cq上存在一点E, CE =2EC，使BE平面气3.m AC* =0 , (2)设平面C AC的法向量为m = (x , y , z),则由 得1 1mAC =0,i i-x-y=0,-2y - 2z = 0 ,取 x = 1,则 y = -1 ,z = 1.故 m = (1, -1,1)，而平面 AfA 的一个法向量为 n = (1,0,0),m-n1 Xl33则cosm ,n二而而| 二飞二孕，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1,正ABC的

16、边长为4,CD是AB边上的高，E , F分别是AC和既边的 中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A DC B(如图2).困an(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E DF C的余弦值;BP(3) 在线段BC上是否存在一点？，使APDE?如果存在，求出瓦痛值；如果不存在， BC请说明理由.解(1) 在aABC中，由E,F分别是AC, BC中点，得EFiiAB.又AB平面DEF,EF平面DEF,.ABii平面DEF.以点D为坐标原点，以直线DB, DC, DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2) , B(2,0,0) , C(0,2：

17、, 0) , E(0 ,、 , 1) , F(1, , 0),(0,0,2).DF =(1,& ,0), D =(0,寸3 ,1), DA 二平面CDF的法向量为=(0,0,2) .设平面EDF的法向量为n = (x,y,z),DF -n = 0,DE -n = 0,取 n = (3,-、.B,3),DA -n .互121cos (, n=| DA而二，所以二面角E DF C的余弦值为-.(3)存在.设 P(s, t,0),有AP =(s,t,-2),则AP-DE 二,t-2 = 0,.t二学,又 BP =(s-2, t,0) , PC =( - s,.3 -t,0)， BP ii PC ,.

18、(s - 2)(2 .,)=-st,m CB1 =0m CD =0A.341 一.j3s + t = 2q3.把t = 一代入上式得s = 3，.BP =3BC ,BP 1 二在线段BC上存在点P，使AP DE.此时，就=孑方法技巧1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断2 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解等，所以为使问题的解决更简单、 有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，匕ACB= 90, AA1 = BC

19、 = 2AC=2.若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D ;(2)在AA上是否存在一点D，使得二面角B1 CD 的大小为60?解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA,CB, CC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则 C(0,0,0) , A(1,0,0), B1(0,2/2) , (0,0,2), D(1,0,1),即 C = (0,2,0),叫=(-1,0,1) , CD = (1,0,1).由 C1B CD = (0,2,0)(1,0,1) = 0 + 0 + 0 = 0,得 CB CD，即 C1B1CD.由DC CD =(-1,0,1)(1,0,1)=-1

20、 + 0 + 1 = 0,得DC1 CD，即 DC1cd-又DC nC B =C .CD平面B C D又CDu平面B CD .平面B CD平面BCD *11 1 *1 ,1*1l-1fcl* ,-111 *存在.当AD = W-AA时，二面角B1 CD 的大小为60.理由如下： 设 AD = a，则 D 点坐标为(1,0 ,a) , CD =(1,0 ,a),阿=(0,2,2), 设平面B1CD的法向量为m =(x,y,z),f2y + 2z = 0 ,9所以AD = (4入，3-3入，4入).由AD A B = 0，即9-25入=0，解得入=五.因为25曰0,1,所以在线段Bq上存在点D，使

21、得ADA1B.BD 9此时，瓦=入=西3 .如图(1),四边形ABCD中,E是BC的中点，DB = 2,DC=1, BC=胰,AB = AD=、q.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A BD C为60,如图(2).求证：AE平面BDC;求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.1 解：(1)证明：取 BD的中点 F ,连接 EF ,AF ,则 AF=1,EF = 2，zAFE=60.由余弦定理知AE = 12+ 2 2-2x1 x；cos 60 =vAE2 + EF2 = AF2,aAEEF.AB=AD, F 为 BD 中点.BDAF.又 BD = 2,DC=1, BC.5 ,aBD2 + DC

22、2二BC2,即 BDCD.又 E为 BC中点，EFnCD,.BDEF.又 EFnAF二F,aBD 平面 AEF. 又 BDAE,vBDnEF=F,.AE 平面 BDC.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 0,0,r 1 C -1,2,0V 2r1 ,B1,-,0 ,r1 一-1,-2,0 , DB =(2,0,0),V2DA =aC =1LV2 )设平面ABD的法向量为n = (x,y,z),n DB =0 由nDA =0 得1方取z二；3 ,乂+歹+参=0,则y=-3,又5 = (0,-3,.饵).n- AC ,: 6 cosn, AC=面丽=-切.故直线AC与平面ABD所成角的余

23、弦值为44 .如图所示，在矩形ABCD中，AB = 3必，AD=6, BD是对角线，过点A作AEBD，垂足为。，交CD于E,以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且求证：PO平面ABCE;(2)求二面角E AP B的余弦值.解：(1)证明：由已知得AB=3佥,AD=6,.BD=9.在矩形ABCD中，vAEBD ,RfAODsRfBAD,DO ADadbd，DO = BO=5.在POB 中，PB 二寸41, PO = 4 , BO=5 ,.，.PO2 + BO2 = PB2, POOB.y POAE,AEnOB = O,.PO 平面 ABCE .BO=5,.AO=-JAB2 - OB

24、2 = 2-.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4) , A(2 ., 0,0) , B(0,5,0), PA =(2；5,0,-4),瓦二(0,5,-4).nPA =0, 设ni = (x,y, z)为平面APB的法向量.则前i 1取x = 2*得ni = (2胰，4,5) .又n2 = (0,1,0)为平面AEP的一个法向量，cos (n1, n2故二面角E AP B的余弦值为615.如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD =、R , PAPD ,底面ABCD为直角梯形，其中BCiiAD ,ABAD ,AB=BC =1,。为AD中点.(1

25、) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2) 求B点到平面PCD的距离；云PQ(3) 线段PD上是否存在一点Q ,使得二面角QACD的余弦值为亍？若存在求出而3的值；若不存在，请说明理由.解：(1)在aPAD中，PA=PD ,O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD, PO平面PAD,所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接0C ,易得OC_lAD ,所以以0为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为X , y , z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,l) , A(0 , -1,0) , B(1 ,- 1,0), C(l,0,0),

26、D(0,l,0),PB =(1, -1, -1),易证 OA_l平面 POC, ：.oa = (0 , -1,0)是平面 POC的法向量,cos初，成乙弩籍尸* 直线PB与平面POC所成角的余弦值为| PB OA |33(2) PD = (0,1, -1), CF =( -1,0,1).设平面 PDC 的一个法向量为 u = (x, y, z),u CP 二-x + z = 0 ,|BF u|则取z = l得u = (1,1,1)展点到平面PCD的距离为d=u-PD =y-z = 0 ,lul一也一 3 假设存在一点Q,则设？S二入函(0Al) . TD =(0,1 f -1),PQ =(0f

27、Xf )= OQ OF , .02=(0,入，1-入)，.Q(0,入，1-入).设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z),又志二(1,1,0), AQ= (0 ,入+1,1 -入),m AC =x + y = 0 ,则|.|m|n|3-虹，得3入2-10入+3 = 0 ,解得入再或入二3(舍),PQ 1所以存在点Q,且商了6 .如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是直角梯形,侧棱SA_l底面ABCD, AB:于 AD和 BC , SA = AB = BC= 2 , AD = 1.M 是棱 SB 的中点.求证：AM|平面SCD;(2) 求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(3)

28、 设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为饥求sin。的最大值.解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2) ,M(0,1,1) .所以 AM =(0,1,1) , SD =(1,0,-2), CD =(-1,-2,0).设平面SCD的法向量是n = (x,y,z),SD n = 0,x-2z = 0,则彳一即彳令z = 1,则x = 2,y=-1,CD n = 0,-x-2y = 0.，于是 n = (2,-1,1). AM n = 0,. AM n.又 AM 平面 SCD,AM

29、ii 平面 SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为的二(1,0,0) .设平面SCD与平面SAB所成的二面角 为中，I n1-n则cos叫同而展二亍，即cos中二sin 0x.j5x2-12x + 1016 平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为专.(3)设 N(x,2x -2,0)(xe1,2)，则 MN =(x,2x -3,-1).又平面SAB的一个法向量为n1 = (1,0,0),x,2x-3,-1 1,0,0、%+ 2x-3 2+ .111+ 513535当侦5,即x二时，二亍.7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，zFAB=zDAB=90,AF=AB= BC

30、= 2 , AD=1, FACD.(1) 证明：在平面BCE上，一定存在过点。的直线l与直线DF平行；求二面角F CDA的余弦值.解：(1)证明：由已知得，BEiiAF, BCiiAD, BEnBC二B,ADnAF二A, 平面BCEii平面ADF.设平面DFCn平面BCE=l,则l过点C.平面BCEii平面ADF，平面DFCn平面BCE=l,平面DFCn平面ADF二DF.DFii l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DFiil.(2) vFAAB, FACD,AB与CD相交，.子入上平面ABCD.故以A为原点，AD,AB,AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.由 已知

31、得，D(1,0,0) , C(2,2,0) , F(0,0,2),.质=(-1,0,2) , DC = (1,2,0).设平面DFC的一个法向量为n = (x,y,z),n- Dr =0,n DC =0x = 2z，3 c不妨设z=1.x=-2y，则n = (2，-1,1)，不妨设平面ABCD的一个法向量为m = (0,0,1).cosm，n，由于二面角F CD A为锐角，二面角F CD A的余弦值为6 .8、.如图，在四棱锥P ABCD中，PD平面ABCD,四边形ABCD是菱形，AC = 2，BD二 2、：3, E是PB上任意一点.(1)求证:ACDE;(2)已知二面角APBD的余弦值为专，

32、若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值.解：(1)证明：vPD平面ABCD, ACu平面 ABCD,aPDAC,.四边形ABC D是菱形，.北。上入&又BDnPD=D,.AC平面PBD,.DEu平面 PBD,aACDE.(2)在aPDB中，EOnPD,AEO平面ABCD,分别以OA,OB,OE所在直线为x轴，厂r ny轴Z轴建立空间直角坐标系设PD=t,则A(1,0,0) ,B(0疆,0) ,C( - 1,0,0)孔0 ,0,2j, P(0,-.，如 AB =(-1,.,0), AP =(-1,-，t).n2 AB = 0, z），则根据 e n AP =0由(1)知，平面PBD的

33、一个法向量为叫二(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2 = (x,y ,-x +、.,：3y = 0,令y=1,得n2 =-x - .J3y + tz = 0 ,二面角A PB D的余弦值为,则|cos (n1, n2| 二官?，即吏节二号，解得t = 2、g或t=-2-3(舍去),aP(0 ,-.,& , 2如.4+e设 EC 与平面 PAB所成的角为。, E =（-1,0,-、），n2 = U3 , 1,1）,2 .但i515则sin 0 = |cos（ EC ,n2|=2| 二 侦.EC与平面PAB所成角的正弦值为9、如图 1, A, D 分别是矩形 A1BCD1 的点，AB = 2

34、AAj = 2AD = 2,DC = 2DD,把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A】B , D1C得几何体ABA1 DCD1.(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1EA1D ;n在棱AB上是否存在点E，使二面角D1 EC D的平面角为6?若存在，求出AE的长;若不存在，请说明理由.解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点，DA,DC, DD1所在直线为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz,则 D(0,0,0) , A(1,0,0) , C(0,2,0),气(1,0,1) , (0,0,1) .设 E(1, t,0),则卒=(1,t,-1), AD

35、 =(-1,0,-1),a DE AD =1x(-1) + tx0 + (-1)x(-1) 二 0,aD1EA1D.n ec =0, 则(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n = (x,y,z)，由(1)知EC =(-1,2 -t,0),-x+ 2-t y=0,11得&令 y =则 x = 1-5t,z = 1,x + ty-z = 0,22(11.，.n = 1-2t ,2,1是平面DEC的一法向量,|nDD |则 cosn, DD=|n|次|IT显然平面ECD的一个法向量为DD=(0,0,1),n3= = cos ,解得 t = 2-(0t2).1632+4 + 1故存在点E,当AE=2-M时二面角D1 ECnD的平面角为甘