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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 第1课时求 值 问 题 同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式平方和关系公式表达语言叙述平方关系.同一个角的正弦、余弦的等于 1商数关系.同一个角(k2(kZ)的正弦、余弦的等于的正切商sin cos tan sin2+cos2=11 1如何理解同角三角函数关系中如何理解同角三角函数关系中“同角同角”的含义？的含义？提示：“同角”有两层含义 一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如 sin22cos221，sin22cos221 等2 2平方关系对任意平方关系对任意RR均成立，对
2、吗？商数关系呢？均成立，对吗？商数关系呢？提示：正确因为对任意R，sin，cos 都有意义，所以 sin2cos21 对任意角R 都成立 而商数关系，sin cos tan 则不然，需保证 cos 0，则 tan 有意义，所以商数关系，只对R，且k2(kZ)成立(2)cos 8170.sin 1cos2181721517，tan sin cos 1517(178)158.当是第三象限角时，sin 0，则 sin 1517，tan 158.1 1同角三角函数基本关系式揭示了同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名同角不同名”的的三角函数的运算规律，其最基本的应用是三角函数的运算规律，其最基本的应
3、用是“知一求二知一求二”2 2知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围当角所在的象限不确定时，要运算，应注意角的取值范围当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论注意就角所在的象限分类讨论1 1 多维思考多维思考 若本讲若本讲(2)(2)条件改为条件改为“cos cos m(m0)”m(m0)”，结果如何？结果如何？解：当 m1 时，sin 0，tan sin cos 0；当 m1 时，由于 m0，所以角为象限角若为第一或第二象限角，则 sin 1cos2 1m2，tan sin cos m1m2.若为第三或第四
4、象限角，则sin 1cos2 1m2，tan sin cos m1m2.当是第三象限角时，cos 0，cos 55，sin cos tan 2 55.(2)sin cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos tan 1tan 1212123.sin cos=sin cos sin2cos2=sin cos cos2sin2cos2cos2=tan tan21222125.1已知角的正切值在求角的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解：cos211tan2开方,cos sin.2本例(2)是已知角的正切值，求关于 sin，cos 的齐次式值的
5、问题解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于 tan 的表达式，然后整体代入 tan 的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论用 sin=tan cos2.已知 tan()12，求：(1)sin cos 的值；(2)2sin212cos2的值解：(1)由已知得 tan 120,是第二或第四象限的角，则 cos2cos2sin2cos21tan211122145.当是第二象限角时，cos 255，sin=tan cos=12(255)=55,sin cos 55；当是第四象限角时，cos 255，sin tan cos 55，sin cos 55.(2)2sin2
6、12cos22sin212cos2sin2cos22tan212tan2121221212210.sin tan cos 55，sin cos 55.(2)由 sin cos 15，得 12sin cos 125.sin cos 12250.又 00，cos 0，sin cos sin cos 2 12sin cos 12122575.可得 sin 45，cos 35，tan sin cos 43.1已知角已知角的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基
7、本关系求解系求解2sin cos，sin cos，sin cos 三个式子中，已三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二知一求二”，它们之间的，它们之间的关系是：关系是：(sin cos)212sin cos，利用此关系求，利用此关系求sin cos 或或sin cos 的值时，要注意判断它们的符号的值时，要注意判断它们的符号3已知 sin，cos 是关于 x 的方程 x2axa0 的两个根(aR)(1)求 sin3cos3的值；(2)求 tan 1tan 的值解：sin，cos 是方程 x2axa0 的两个根，sin cos a，且 sin cos
8、 a，(sin cos)212sin cos.即 a212a，解得 a1 2，而当 a1 2时，(1 2)24(1 2)12 20，a1 2，则(1)sin3cos3(sin cos)(1sin cos)a(1a)(1 2)1(1 2)22.(2)tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 1sin cos 1a11 21 2.若 sin A45，且 A 是三角形的一个内角，求5sin A815cos A7的值错解sin A45，cos A1sin2A35，5sin A815cos A75458153576.错因由 sin A45不能确定 A 是锐角或钝角
9、，那么 cos A就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误正解sin A45，且 A 是三角形的一个内角，A 是锐角或钝角当 A 为锐角时，cos A 1sin2A35.5sin A815cos A75458153576；当 A 为钝角时，cos A 1sin2A35.5sin A815cos A754581535734.2已知 sin 45，是第三象限角，则 tan 等于()A.34B34C.43D433已知 tan 3，且为三角形的内角，那么 cos 的值为()A 3B.2 33C12D24已知 sin 55，则 sin2cos2的值为_5已知 tan 12，则12sin cos sin2cos2的值是_6已知 sin 42mm5，cos m3m5，是第四象限角，试求 tan 的值解：sin2cos21，(42mm5)2(m3m5)21.化简，整理得，m(m8)0，m10，m28.当 m0 时，sin 45，cos 35，不符合是第四象限角，舍去当 m8 时，sin 1213，cos 513，tan 125.
新编高中数学北师大版必修四课件：第三章 167;1 第1课时 求值问题
