计算方法的课后答案

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1、计算方法习题答案第一章数值计算中的误差1.什么是计算方法？(狭义解释)以便在计算机上答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。2.一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题f建立数学模型f构造数值算法f编程上机f获得近似结果4.利用秦九韶算法计算多项式P(x)xx3x54在x3处的值，并编程获得解。解:P(x)x50x4x30x2X4,从而10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223所以，多项式P

2、(x)xx3x54在x3处的值P(3)2235.叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：(1)模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。(2)观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。(3) 截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限

3、次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差(或方法误差)。(4) 舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。6.掌握绝对误差(限)和相对误差(限)的定义公式。If答：设x是某个量的精确值，x是其近似值，ex*x为近似值x的绝对误差(简称误差)。若存在一个正数*exx则称差使,称这个数为近似值x的绝对误差限(简称误差限或精度)把绝对误差e与精确值把绝对误差e与精确值*x之比ere*x*x*xx-称为近似值x的相对误差，称为近似值x的相对误差限e

4、,由于真值x*是未知的，所以常常用xerere一来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出7.近似值的规格化表示形式如何?答：一般地，对于一个精确值*x，其近似值x的规格化形式为x0.X1X2xp10m,其中xi0,Xi0,1,2,9(i1,2,p),p为正整数，m为整数。8.有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。答：若近似值x的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。若近似值x的（绝对）误差限为ex*xJi10mn，则称x为具有n位有效2数字的有效数，或称它精确到10mn位，其中的每一位数

5、字xi,X2,xn都是x的有效数字。设精确值x的近似值x的规格化形式为x0.xiX2Xp10m，若x具有n位有效数字，则其相对误差限为erH101n；反之，若x的相对误差限为2x1er1101n，则x至少有n位有效数字2（X11）()x8105;9.下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。(1)0.024()解:X1(1)e2X2*X1X0.41353X357.500.0005;(2)eX2X20.00005;4X4Xx60000550.0021;有三位有效数字。0.000121;有四位有效数字。(3)ee*X3X3X40.005;

6、0.5;er0.000087；有四位有效数字。e0.0000084;有五位有效数字X5*X510.为了使19的相对误差解：由19的首位数是er(x)*10124不超过0.1%。11.已知yP(x)x20.5；er0.1%，问至少应取几位有效数字?4.设近似数x0.001，解得*1150,x0.000000625；有六位有效数字。有n位有效数字，由定理4.1可知，相对误差3.097，即取4位有效数字，近似数的相对误差100,x33，计算y3100p()及yP(33),3x并求和y的相对误差。*100p()3解：y100()3P(33)(33)2(33)100()31150()*0.333exxx

7、er(x)0.0101()i*22.44444eyyye(y)ier(y)0.8015871y1y12.写出误差估计的一般公式(以二元函数解：二元函数zf(x,y)的绝对误差:()fez(x,y)x()-f二元函数的相对误差:er(z)e(z7z11505.5555528zf(x,y)为例)。(X,y)f|(x,y)申xz|(x,y)e(yjyzx|(x,y)er(x)y1(x,y)er(y)13.用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V并估算其绝对误差和相对误差。Vo所以:2I100.1A，求这个电阻的阻值解：e（V）2,|e(I)|LRkv,.)VVe(V)LRIMIIe(I)

8、斗2102201000.10.42er(R)*)1.99102oR1x*14.若X11.030.01,*x20.450.01，计算yX12ex2的近似值，l（v,i）e(R)e(V)e(I)并估计2其上界。Rl(V,I)解：y(1.03)21e0452202V,e(y)及e(y)*yy(X1*)(X11eX2)*1/X*X(xX1)(为X1)(e2e2)12222*(X1X1)(xX11(e2x2*ex22.0610e0.01,*(x?,x?)15.已测得某场地长为110m,的值为d80m,已知|e(l)0.2m,e(d)0.1m，试求面积sId的绝对误差限和相对误差限。解:由sld,-slI

9、，e(l)0.2m，e(d)0.1mos,s,fs,八)1sI-|(l,d)e(d)e(s)|(l,d)e(l)I(l,d)e(d)I(l,d)e(l可得：ldld11100.2800.1303er(s)e(s)3.4s1016.掌握二元函数的加、减、解：（1）加、减运算:乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。1,xy/x1,xy/y1,，所以exey,erxery,exyerxy/xyery,从而有|erxy|x/xy|erx|Iy/xy|ery|由于xy.y,xxyyx,所以exyyexxey,erxyerxery，从而1exyIIy|exIx|eyI(3)除法运算：x/1xxx1

10、x由于tFfIf耳J，所以e()e(y)，(y)xy、(y)yy2yye(x)y2xer()er(x)er(y)y(4)乘方及开方运算：由于nxn1,所以exnnxn1ex,erxnnerxx17.求方程x256x1的两个根，使它至少具有4位有效数字(78327.982)2s56暫(56)2411解:X12827.98255.78221X2X2CX1155.7820.01786319.求方程x216x10的较小正根，要求有3位有效数字16解：X1I(16)24112187.93715.937c1X20.062747X115.937所以较小正根为X20.062747。120.设Inxnexdx,

11、n0,1,2,104。(1)证明：Inenln1,n0,1,2,104;(2)给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。(1)证明:In11nxnxxedxxdee001n1xnxedxenln10(2)1In1(eIn)n设en设enen1enn12金neo*I0I0*I0I021.用递推算法计算积分n1xdx,n014x0,1,2,10，并验证算法的数值稳定性。解：In14xn14xXn11dx-(41n1xdxn11xdx)014x4n4当n无限大时，en越小，所以该算法稳定。*1e1I1I11e041*I丄|e2eI2I2420,e1i*丨|11I10I1010|0e010：，则*0

12、所以该算法是稳定的。22.设计一个计算f(x)x123x232416x36的最小计算量的算法。解：f(x)X123x2416x36xxx2x4x43x12x1216x1224第二章非线性方程的数值解法1.叙述零点定理的内容。答：设函数f(x)在闭区间a,b上连续且f(a)f(b)0，则存在x*(a,b)使*f(x)0，即卩f(x)在区间(a,b)内存在实的零点，称区间2.方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？答：第一步确定方程f(x)0的有根区间。a,b为方程的有根区间第二步近似根的精确化。确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。3.利用作图法确定方程f(x)X3x

13、10的有根区间f(x)X3x1解:由于f(0)10,f(2)82150,于是，在区间(0,2)内至少有一个根，取步长h0.5向右进行根的搜索，即计算f(0.5),f(1.0),f(1.5)的值得到f(0.5)0,f(1.0)0,f(1.5)0,从而，原方程的有根区间缩小为(1,1.5)4.利用逐步搜索法确定方程f(x)x33x24x30的有根区间解：由于f(0)30,f(1)50,于是，方程在(1,0)内至少有一个实根，所以，1f(0.5)得到f(0.5)0，从从x1,取步长h0.5向右进行根的搜索，即计算而，原方程的有根区间缩小为1(1,)。解：由于函数f(x)x34x210的定义域为,用逐

14、步搜索法:由于f(0)100,f(2)140，于是，方程在(0,2)内至少有一个实根，所以，取步长h0.5向右进行根的搜索，即计算f(0.5),f(1.0),f(1.5)f(0.5)0,f(1)0,f(1.5)0，从而原方程的有根区间缩小为(1,1.5)6.二分发的基本思想是什么?解：二分发的基本思想是将方程f(x)0的有根区间逐步分半，通过判别f(x)在端点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程f(x)0有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。7.以方程f(x)0的有根区间为a,b为例(f(a)0,f(b)解：第一步：将有根区间a,b分半，用区间a,b的中点区间，计算中

15、点的函数值*0，则x0)，简述二分法的具体作法。ab杓将a,b分为两个相等2ba就是方程f(x)0的2a根；否则，若f(b)20，由于f(x)在左半区间aba,-2内不变号，所以方程的有根b区间变为a,b。同理，若f(2a0,贝V方程的有根区间变为a_2,从而将新的有根区间记为a1,b1，且区间a1,b1的长度仅为区间a,b的一半，即b1a1第二步：对压缩了的有根区间a1,b1又可施行同样的方法，即用中点a1ba。2b1将区2间a1,b1再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间a2,b2，该区间的长度是区间a1,b1的一半。如此反复可得出一系列有根区间

16、且具有关系a,ba1,b1ak,bk其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间ak,bk的长度bkak时，区间ak,bk的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点a，当2k*,显然x就是方程f(x)0的根。似根所需二分次数k的计算公式。bbakIna解：若事先给定的精度要求为*0，贝y只需|xX，即k22k1ln2此时Xk就是满足给定精度要求的近似值，k为二分法的次数9.用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k(编程)(1)f(X)xeX20.5,1JD0.0001解:Xk0.852600k12(2)f(X)X33x24x31,1.5JD0.00001解:Xk1.4

17、99992k15(3)f(X)X34x2101,2JD0.0005解:Xk1.364746k10(4)f(X)x3x11,1.5JD0.00005解:Xk1.324707k1310 .若应用二分法求方程exsin-x0在区间0,1上误差不超过.的近似值，应二分225多少次？解：其近似根为0.437500,应分k5次。11 .迭代法的基本思想是什么？解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程f(x)0的一个粗糙的初始近似根X0,然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。12 .迭代法的具体做法如何？Up解：(1)将方程f(x)0改写成等价形式x(x),

18、在根x的附近任取一个初始近似根X0。构造近似根序列：将X0代入(x)计算得到X1(X0)，一般X1X0，再把X1作为新的近似根代入(X)得到X2(X1)，重复上述步骤即可。13.迭代法的几何意义是什么?Up答：方程xx的求根问题在几何上就是确定曲线yx与直线yx交点p的横坐标x。设迭代初值为xo，曲线yx上以xo为横坐标的点为po,xo为Po点的纵坐标，过Po点引平行于x轴的直线，并与直线yx相交于Po,其横坐标为X1xo,然后过点Po引平行线于y轴的直线，并与曲线yx的交点记作P1，重复上述过程可得点列P1，P2，,pk,他们横坐标依次由迭代公式Xkixk，k0,1所确定。如果*点列P1,P

19、2,Pk,逐步逼近P，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。14.叙述迭代过程收敛定理的内容。解：假设迭代函数满足下列两个条件(1)对任意的x(1)对任意的xa,b有a(x)L(2)存在正数L(2)存在正数1，使对任意xa,b有(x)则(1)对任意初值xoa,b迭代过程xk1(xk)均收敛于方程*x(x)的根x,*即limXkx(k误差事后估计公式为*xxkx一Xk1kL15.试构造收敛的迭代公式求解下列方程：sinx(1)xcosx；(2)xcosxsinx解：(1)将方程x改写为2sin(x)4/，从而得到迭代公式42sin(xk)442sin(xk)44k0,1,2,。xk1ln(4)将方程

20、xxk)k0,1,2,42x改写为xln(4x)，从而得到迭代公式16.判断迭代法解方程f(x)xln(x2)0在0,2内的根时所用的迭代过程的收敛性。解：将方程xln(x2)0改写为xln(x2),从而得到迭代公式xkiln(Xk2),k0,1,2,。贝U(x)ln(x2)为迭代函数。由(x)由定理3.2可得该迭代法是收敛的。I/JJr17.用迭代法计算s46464646的近似值。19.牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程f(x)0逐步归结为某种线性方程来求解的方法。具体做法：设已知方程f(x)0有近似根Xk，将f(

21、x)在Xk作一阶泰勒展开，于是方程f(x)0可近似地表示为f(Xk)f(xk)(xxk)0是一个线性方程，设f(Xk)0,则xXkf(Xk),于是就有牛顿迭代公式xk1Xkf(Xk),k0,1,2,of(Xk)f(Xk)20.牛顿法的几何意义是什么？解：牛顿迭代法实质上是用过点(Xk,f(Xk)的切线与X轴交点的横坐标Xk1来逐步逼*近曲线yf(x)与x轴交点的横坐标x,所以牛顿法又叫切线法22.试证：用牛顿法求方程22.试证：用牛顿法求方程(x2)2(x3)*0在1,3内的根x2是线性收敛的。迭代公式Xkf(X)1Xkk,k0,1,2,，可得，f(Xk)(X)XSf(X)(X)XSf(X)2

22、x23x3x6，显然，4(2)0,所以该迭代过程是线性收敛的。23.用牛顿法求方程x30，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。解：设f(x)X0,得牛顿迭代公式为k1Xk“,k0,1,牛顿3xk2迭代函数(X)2X3a,3x2(x)2x32a,3x3(3a)1，所以该迭代公式收敛。26.正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？解：基本思想：用过两点(Xk,f(Xk),(Xk1,f(Xk1)的直线的斜率这个差商来代替具体做法：对方程f(x)0经过k次迭代后得到近似根Xk1,Xk,从而取f(Xk)f(Xk)(f(Xk)f(Xk1)于是牛顿迭代公式变为(XkXk1)Xk1X

23、kXk1Xkf(Xk)(XkXk1)，此公式为正割法迭代公式f(Xk)f(Xk1)几何意义：正割迭代法是用过两点几何意义：正割迭代法是用过两点A(Xk,f(Xk)，B(Xk1,f(Xk1)的直线与X轴交点Up的横坐标Xk1来逐步逼近曲线f(X)与X轴交点的横坐标X，因此正割迭代法又叫割线法。xo，在计算Xk1只用到前一步的值Xk，但要27.简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值计算f(Xk)；而正割法在计算时需要两个初值X0,X1，在计算Xk1时要用到前两次的迭代值Xk1,Xk，但不用计算导数。30.使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。答：使迭代

24、法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法:艾特肯加速公式：校正:再校正：210,1,2,2改进：212212斯蒂芬森方法：0,1,2,迭代：,0,1,2,加速:第三章线性方程组的数值解法1线性方程组的数值解法有哪两大类？并简述他们的概念。答：线性方程组的数值解法有两大类：（1）直接法：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算可求得方程组精确解的算法。（2）迭代法：迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。2高斯消去法的基本思想是什么？答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组A

25、Xb化为与其同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。3高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的？答：用高斯消去法解线性方程组AXb的消元过程中，可能会出现以下两种情况：第一是主元素全是0的情形，致使消元过程无法进行下去；第二即使主元素不为0，但其绝对值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播，使计算结果不可靠。所以对于一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。212521252125x115-1180-7-8-90789x211-3-4-40-7-10-130024x32利用完全主元素消去法得：21255-1185-11851-15-11821

26、25078908791-3-4-41-3-4-40234032451-18x110879x32；005-5x21利用列主元素消去法得21255-1185-1185-1185-1182125078907891-3-4-41-3-4-4023400510解：（1）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：x1x2x34用高斯顺序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组，并写出高斯顺序消去法的程序。2x1x22x353x1x24x37（1）5x1x2x38；（2）x12x22x31x13x24x342x13x22x30o1X32X21xi2(2)将方程组的增广矩阵进行初等变

27、化，并利用高斯顺序消去法得:3-1473-1473-147x12-12-2-105-2405-24X212-3-20012200211X32利用完全主兀素消去法得,:3-1474-1374-1374-137-12-2-1-22-1-1031503152-3-20-2-3200-1110-1114-13703150048利用列主元素消去法得:3-1473-1473-147X12-12-2-105-2405-24X212-3-20012200211X325.用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。-248X15123X114(1)-418-16X28;(2)252X218-62

28、-20X37315X320解：(1)对系数矩阵A作如下的三角分解：uU-248100U111213u-418-16l2110022u23。u-62-20l31l3210033根据矩阵的乘法可得:u4u124,1u138u1381u112112,1u12luluu21114212,l21121u22182210,luuul21131u23162332；l31116313,lululu311232222321,l31u13l32231u3320于是有A21003-110于是有A21003-11010-32LU，则原方程组可表示为0-7638100248X15100y15210010-32X28。解

29、方程组Lyb，即210y28，得3-1100-76X373-11y372915248X15190CAy2。解方程组Uxy，即010-32X22，得x21o1000-76X310955(2)对系数矩阵A作如下的三角分解:uuu123100111213uu252l211002223u315l31l3210033根据矩阵的乘法可得:1u111u111,1u122u122,1u133u133;luluu21112212,l211121u22!5221,luul2-1u131u232234;l31113313,lulululuuu311232221325,l3113322313353324o100123

30、于是有A21001-4LU,则原方程组可表示为3-ci100-24100123X114100y11421001-4X218o解方程组Lyb，即210y218，得3-5100-24X3203-51y32014123X1141y10。解方程组Uxy，即01-4X210，得X2o7200-24X37236.用追赶法解下列方程组。2-100X112-100X16一、-12-10X20-13-10X21（i）;(2)0-12-1X300-2-4-3X3200-12X4000-35X41解：（1）由ALU得:2-10010001100-12-10220001200-12-10330001o300-1200

31、4400011于是有12,1111721,21222_3j2222122，31,323234,41,3313333j434245o44120002-1300y111从而Lyf为2y20，解得y3。Uxy为0-140y3013y40400-15141-141-002522X1-1召0130X23，解得x5。3X312001X4454000155（2）由ALU得：2-100100011000-13-102200120。0-24-30330001300-3500440001于是有12,11111,21,212325,22222127i32,31553,43454162000235。43163,453

32、,333163-1500y1从而Lyf为2y20-2160y35y400-33516681，解得y5。Uxy为2-381343511200X10120X2515X300116X400013142358745353，解得X983473435357.设X1,X2,XntRn,掌握常用向量范数的定义式1,X,X12丿XP解:X!8.已知X解:X1maxXiX12X22XiP1,1,3,0X1Xrmaxxi,X2|,Xn;（又叫最大范数）Xn2n(Xi2iT，计算X2maxXiXnXi5；maxx1,x2!,Xn222X2丿X1X2Xnn1.(Xi2)211；i19.设AX|p(|才fi1(23P)P

33、(a)ijnnRnn，掌握常用矩阵范数的定义式njiim解：A1maxaj；i1nmaxaijj1AI2max(ATA);12；2aij)。110.已知A解：A1max-1,计算A，A，AIJAaijmaxAI2max(ATA)I10；n1_aj写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。aj写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。Jacobi迭代法是否收敛？为什么？)2“14。112.解线性方程组的迭代法有哪三种方法？答：(1)雅可比迭代法(Jacobi)(2)咼斯-赛德尔迭代法(G-S)(3)超松弛迭代法(SOR)5x12X2X31213.设有方

34、程组X14X22X3202X13x210X33X10.4X20.2X32.4解：该方程组可化为：X20.25X10.5X35，从而得到Jacobi迭代法的公式：X30.2X10.3X20.3x1(k1)0.4X2(k)0.2X3(k)2.4x2(k1)0.25X1(k)0.5X3(k)5，其矩阵形式为X(k1)D1(UL)X(k)x3(k1)0.2X1(k)0.3X2(k)0.350002100012其中：D040，U002，L-100，b2000100002-303D1b，2)用Jacobi2)用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵-12是严格对角10占优阵，所以Jacobi迭

35、代法收敛。20x12x23x32414设有方程组x18x2x3122081是严格对角占优2x13x215x330（1）写出用G-S迭代法解此方程组迭代公式的分量形式。（2）G-S迭代法是否收敛？为什么？X10.1X20.15X31.2解：该方程组可化为：X20.125X10.125X31.5，从而得到X30.133X10.2X22X1(k1)0.1X2(k)0.15X3(k)1.2X2(k1)0.125X1(k1)0.125X3(k)1.5，X3(k1)0.133X1(k1)0.2X2(k1)2G-S迭代法的公式：2）用G-S迭代法解此方程组是收敛的因为系数矩阵A12-315阵，所以G-S迭代

36、法收敛X18X20X3715.设有方程组X10X29X389X1X2X37怎样改变方程的顺序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛解：将方程组变化成格对角占优矩阵，所以3X11116.设方程组3X121(k1,2,)。求证:证明：由题设知:迭代矩阵B311代法收敛的充要条件9x1X2X1Jacobi3X1223X222X378X2X37，此时系数矩阵AX1X29X38迭代法和b1(311b2G-S迭代法均收敛。X1(k)9-1-1-1-10为严322)，迭代公式为(k)X2(b13111a22(b2由上述迭代公式产生的向量序列X(k)收敛的充要条件是311321312322311312322

37、321312X2(k1)(k1)321X1)a“a22，所以:322(B)321312321322-312311I312321331122，所以由迭1，可得，上述迭代公式产生的向量序列X(k)收敛的充要条件18.简述迭代法的基本定理的内容。答：设有方程组XBXf,对于任意初始解向量X()及任意f，迭代公式X(k1)BX(k)f收敛的充要条件是(B)1o19.设A为非奇异矩阵，贝UA的条件数的计算公式如何？掌握常用条件数的计算公式。解:Cond(A)A2-12.已知A-13-1,求Ap,Cond(A)p(P1,2,)和(A)的值-12limCond(An)解：Aq5；由(AAT)1,4,16。所

38、以|a|24;581418因为：A1斗-1，所以Cond(A)15,Cond(A)216,Cond(A)42411584811.设(n为正整数)，计算An111n解：A11nn，Cond(An)nn-n22.分析方程组1.0001.001X11.0001.000X2A1,Cond(A),limCond(A)(n)nnn4n,limCond(An)(n)。2.001的性态，并求其精确解；当右端项扰动2.000(A)1,2,4(A)4为(2.000,2.000)T时，求其精确解，并计算解的相对误差。解：由Cond(A)20001，所以该方程组为病态方程组。其精确解为(1,1)T；当右端项扰动为(2

39、.000,2.000)T时，其精确解为(2,0)t，解的相对误差为O第四章插值法1.简述插值法方法的概念。答：设函数yf(x)在区间a,b上有定义，且已知在点axxixnb上的函数值yo,yi,yn，如存在一个简单函数P(x)使P(xi)yi(i0,1,n)成立，则称P(x)为f(x)的插值函数，点xo，xi,，xn称为插值节点，区间a,b称为插值区间，满足的条件P(x)yi(i0,1,n)称为插值条件，求插值函数P(x)的方法称为插值方法。(简称插值法)。2.求一个次数不高于3的多项式P(x)使之满足插值条件：P(1)2,P(2)4,P(3)12,P(2)3.解：设P(x)aoa1xa2x2

40、a3x3,则根据条件得：aoa1a2a32ao6ao2a14a28a34，解得：a115ao3a19a227a312a29a14a212a33a32所以：P(x)615x9x22x33.已知数据表Xi-112f(Xi)-304求f(x)的2次插值多项式P(x)所以：P(x)所以：P(x)73x5x2326七解：设P(x)aoa1xa2x2，则根据条件得:7aoaoa1a233aoa1a20，解得：a152ao2a14a24a24.已知数据表(1)写出f(x)的3次拉格朗日插值多项式L3(X)；Xio235f(Xi)i-3-42(2)写出f(X)的3次牛顿插值多项式N3(X)y3l3(x)，其中

41、y3l3(x)，其中(xxo)(XX2)(xX3)(xixo)(xiX2)(xiX3)解：(1)L3(x)yol0(x)yil1(x)y2l2(x)(xxi)(XX2)(xX3)lo(X)；ll(X)(xoxi)(xoX2)(xoX3)(XXo)(XXi)(XX3).(XXo)(XXi)(XX2)l2(x)；l3(x)(X2xo)(X2Xi)(X2X3)(X3xo)(X3Xi)(X3X2)所以:L3(x)iX32X222xi53I5(2)N3(X)f(o)fo,2(xo)fo,2,3(xo)(x2)fo,2,3,5(xo)(X2)(x3)i2xix(x2)ix(x2)(x3)1X3/X222X

42、i3553i55.已知数据表Xioi234f(Xi)i5ii2553(i)列出差分表;写出f(x)的牛顿向前插值多项式N4(xoth)；(3) 计算xo.5的值；写出其余项。解：(I)差分表325I486为：ouAtxrf(xi)yi2yi3Vi4yioii542ii62(2)f(X)的牛顿向前插值多项式453281460N4(X0th)yotyot(t1)2yot(t1)(t2)3yot(t1)(t4y023!4!14(1)(1)(2)32251ttttttttt；(3)x0.5，t0.5，代入上式中得：N4(0.5)t32t25t13.125；(4)Rn(x)t(t1)(t2)(t3)(t

43、4)h5f(n1)(),(0,4)。5!6.已知数据表(1)列出差分表;Xi01234f(Xi)15112553(2) 写出f(X)的牛顿向后插值多项式N4(X4th)；计算X3.5的值；(3) 写出其余项。解：(1)差分表为:Xif(Xi)yi2yi3yi4yi1-45332528211141415686014260(2)f(X)的牛顿向后插值多项式N4(X4th)y4ty3r(r2y2f(r1)(t2)3y1f(T-KT-2(V23!4!53287(1)(1)(2)31023753ttttttttt(3)X3.5t0.5，代入上式中得：N4(3.5)t310t237t5336.875；(4)Rn(X)t(t1)(t2)(t3)(t4)h5f(n1)(),(0,4)5!有的规律性)及其插值余项的形式。解：设函f(x)在n1个占八、XoX1Xn处的函数值为ykf(Xk)(kykf(Xk)(ko,1,2，,n)。作一