届高三数学一轮复习：立体几何练习题7[精选]

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1、第9章 第7节一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心若zxy，则xyz的值为()A1 B.C2 D.答案C解析.2将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|2的值为()A. B2C. D.答案D解析由题意，翻折后ACABBC，ABC60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.3(2010广西南宁二中模考)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为()A. B. C. D.答案C解析解法一：取BC的中点D，在正三角形ABC中，ADBC，在正三棱柱中，CC1平面AB

2、C，AD平面ABC，CC1AD，AD平面BCC1B1，AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角，设ABAA11，则AD，AC1，sinAC1D，故选C.解法二：以线段BC的中点D为原点，直线BC、AD分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图设AB1，则A(0，0)，C1(，0,1)，设AC1与平面BB1C1C所成角为，易知平面BB1C1C的一个法向量为(0，0)，又(，1)，sin|cos，|，故选C.4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为()A. B. C. D.答案B分析求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距

3、，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求一般地，平面的法向量为n，平面内一点P和平面外一点Q，则Q到的距离d.解析如图建立空间直角坐标系，则B(2,2,0)，G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，(2,2,0)，(2,0，1)，(0,0,2)设平面GB1D1的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，2x2y0,2xz0，即yx，z2x.令x1，则n(1，1,2)BDB1D1，BD平面GB1D1.BD与平面GB1D1的距离为d.故选B.5已知二面角l的大小为120，点B、C在棱l上，A，D，ABl，CDl，AB2，BC1，CD3，则A

4、D的长为()A. B. C2 D2答案D解析由条件知|2，|1，|3，60，|2|2|2|2222419223cos6020，|2.6正四棱锥PABCD的底面边长为2，高为3，E、F分别为PC，PD的中点，则异面直线AC与EF的距离为()A. B. C. D.答案B分析若能找到n，n0，n0，则d.解析以正方形ABCD的中心为原点，与边BC、CD垂直的直线分别为x轴、y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则由条件知：C(1,1,0)，D(1,1,0)，P(0,0,3)，E，F，(1,1,0)，(1,0,0)，设n(x，y，z)，则n0，n0，xy0，x0，xy0，取n(0,0,1)，又，d，故选

5、B.点评只要向量n与两条异面直线的方向向量垂直，不论两点M、N分别是两异面直线上的哪一点，都有d.7(2010河南新乡市模考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B. C. D.答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABCD的法向量n(x，y,1)，则，n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.点评1.建立坐标系可以有不同的方案，如以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x

6、轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则O，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，则，n(0，1,1)，O到平面ABC1D1的距离h.2也可以不用空间向量求解取B1C1的中点M，连结B1C交BC1于O，取OC1的中点N，连结MN，则MNBC1，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，OM平行于平面ABC1D1，则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN，故选B.8将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是()A B C. D.答案D解析设正方形的边长

7、为1，AC与BD交于点O，当折成120的二面角时，AC12222cos120.又，|2|2|2|222212121cos13521cos135222|cos，2cos，cos，.9(2010陕西宝鸡)已知正四面体ABCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则()A BC D答案B解析如图，取底面BCD的中心为点O，连接AO，BO，易知ABO，取BC的中点E，连接AE、OE，易知AEO，OBOE，0，故选B.10二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2

8、，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D120答案C解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.二、填空题11(2010上海奉贤区调研)在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是_(用反三角函数值表示)答案arccos解析设正四面体的棱长为1，a，b，c，则(ab)，cb，|a|b|c|1，abbcca，(ab)(cb)acbcab|b|2，|2(|a|2|b|22ab)，|2|c|2|b|2bc，|，|，cos，因异面直线所成角是锐角或直角，AE与

9、CF成角为arccos.12(2010江西九江一中)空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为，而另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为，则sin2sin2_.答案1解析由正四棱柱的对称性知，若直线l1与各面成角都相等，则该直线一定经过或平行于四棱柱的一条体对角线，l2也一样，于是取对角线BD1研究，则BD1B1，BD1D，sin2sin2sin2cos21.13(2010山东聊城联考)如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：0；BAC60；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平面ABC的法向

10、量互相垂直其中正确的是_(填序号)答案解析BD平面ADCBDAC，错；ABACBC，对；由知，对错14给出下列命题：直线l的方向向量为a(1，1,2)，直线m的方向向量为b(2,1，)，则l与m垂直直线l的方向向量为a(0,1，1)，平面的法向量为n(1，1，1)，则l.平面、的法向量分别为n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，则.平面经过三点A(1,0，1)，B(0,1,0)，C(1,2,0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1.其中真命题的序号是_答案解析ab(1，1,2)(2,1，)0，ab，lm，故真；an(0,1，1)(1，1，1)0，an，l或l，故假；n1与n2不平行

11、，与不平行，假；(1,1,1)，(2,2,1)，由条件n，n，即，ut1.三、解答题15(2010温州中学模拟)如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离； (2)方法1：过A作AFPD，垂足为F.在RtPAD中，PA2，ADBC4，PD2，AFPDPAAD，AF，即点B到平面PCD的距离为.方法2：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0

12、,0,2)，(4,0，2)，(0，2,0)，(4,0,0)，设面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则，所以面PCD的一个单位法向量为，所以|(4,0,0)(，0，)|，则点B到面PCD的距离为.(3)方法1：过C作CHAE，垂足为H，连接DH，由(1)可知CD面PAD，AEDH，CHD为二面角CAED的平面角在RtADH中，DHADsinDAH4，在RtCDH中，CH2CD2DH2CH.所以cosCHD.方法2：建立空间直角坐标系同(2)的方法2，则依题意可知A(0,0,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，E(2,0,1)，易知面ADE的一个法向量为n1(0,1,0

13、)，设面ACE的一个法向量为n2(x，y,1)，又(2,0,1)，(4,2,0)，则，所以平面ACE的一个法向量为n2(，1,1)设二面角CAED的平面角为，则cos.结合图形可知二面角CAED的余弦值为.16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离解析(1)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，P，E的坐标为A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,

14、1,0)，P(0,0,2)，E(0，1)，从而(，1,0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos，AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0，z)，则(x，1z)，由NE平面PAC可得，即，化简得，即N点的坐标为(，0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.17直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABDC，AB2AD2DC2，E为BD1的中点，F为AB中点(1)求证EF平面ADD1A1；(2)若BB1，求A1F与平面DEF所成角的大小解析(1)证明：连结AD1，在ABD1中E是BD1的中点，F是BA中点，EF綊AD1又EF平面

15、ADD1A1，AD1平面ADD1A1EF平面ADD1A1.(2)解法1：延长D1A1至H，使A1HD1A1，延长DA至G，使AGDA，并连结HG和A1G，则A1GD1AEFA1G平面DEF，A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x由题意可得，DFBCAD1，连DB，在RtD1DB中，DED1B又DB，且DD1，DE，又EFAD1，在DEF中，由余弦定理得：cosEDFsinEDFSDEF1，又点E到平面DGF的距离dDD1不难证明DFG是Rt(FADG)SDFGDFFG1由VEDGFVGDEF得，xSDEFdSDFG，x，x，即A1到平面DEF的距离为，设A1F与平面DEF成角，则sin，arcsin，即A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin.解法2：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz(DG为AB边上的高)则有A1(，)，F(，0)，D1(0,0，)，B(，0)，E(，)，设平面DEF的一个法向量为n(x，y，z)，由，取x1解得y，z法向量n(1，)，(0,1，)，设A1F与平面DEF所成的角为，则sin|cos，n|，A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin.