山东省济南市历城区2021学年高二数学下学期期中试题理（含解析）

《山东省济南市历城区2021学年高二数学下学期期中试题理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省济南市历城区2021学年高二数学下学期期中试题理（含解析）（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、山东省济南市历城区2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（含解析）2016-2017学年山东省济南高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1复数z=的虚部为（）AiBiC1D12古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A36B45C99D1003A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左

2、边，那么不同的排法种数为（）A720B240C120D604已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）ABCD 5曲线y=2x3x2+1在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x4By=4x2Cy=4x+3Dy=4x56已知向量，若则x+y=（）A5B0C5D77函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A1个B2个C3个D4个8若f（x0）=3，则=（）A3B12C9D69下列求导运算正确的是（）ABC（3x）=3xlog3eD（x2cosx）=2xsinx10若（1+2x

3、）n的展开式中，x2的系数是x系数的7倍，则n的值为（）A5B6C7D811为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A36种B30种C24种D6种12已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf（x）0，则（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）为减函数Df（x）为增函数二填空题：本大题共4小题，每小题5分13设mR，复数z=2m23m5+（m22m3）i，当m= 时，z为

4、纯虚数14设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为 15如图，阴影部分的面积是 16某监理公司有男工程师7名，女工程师3名，现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况，不同的选派方案有 种三.解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an满足Sn=2nan+1（nN*）（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想18如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=求二面角PBCD余弦值的大小19设f（x）=x32x+6

5、，当x1，2时，求f（x）的最小值20已知复数z满足：|z|=1+3iz，（1）求z并求其在复平面上对应的点的坐标；（2）求的共轭复数21如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值22已知函数f（x）=blnx（1）当b=1时，求函数G（x）=x2xf（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在1，e上存在x0，使得x0f（x0）成立，求b的取值范围2016-2017学年山东省济南外国语学校三箭分校高二（下）期中数学

6、试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1复数z=的虚部为（）AiBiC1D1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求【解答】解：z=，则复数z=的虚部为：1故选：C2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A36B45C99D100【考点】F1：归纳推理【分析】根据图

7、形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项an=n（n+1），同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由bn=n2（nN+）可排除B，C，由n（n+1）=100，即n（n+1）=200，无正整数解，故排除D故选A3A、B、C、D、E、F六人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法种数为（）A720B240C120D60【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他4个元素，共5个元素排列，由乘法计数原理可得答

8、案【解答】解：根据题意，分2步进行分析：、A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；、将A、B与其他4个元素，共5个元素全排列，即A55=120种排法，则符合条件的排法有1120=120种；故选：C4已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则+（+）等于（）ABCD 【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义【分析】直接根据G是CD的中点，可得（），从而可以计算化简计算得出结果【解答】解：因为G是CD的中点；（），+（+）=故选：C5曲线y=2x3x2+1在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x4By=4x2Cy=4x+3Dy=4x5【考点】6H：

9、利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据曲线方程y=x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；【解答】解：曲线y=2x3x2+1，y=6x22x，切线方程的斜率为：k=y|x=1=62=4，又因为曲线y=2x3x2+1过点（1，2）切线方程为：y2=4（x1），即y=4x2，故选：B6已知向量，若则x+y=（）A5B0C5D7【考点】M5：共线向量与共面向量【分析】由，可得：存在实数k使得=k，即可得出【解答】解： ，存在实数k使得=k，解得k=，x=1，y=6则x+y=7故选：D7函数f（x）的定义域为（a，b）

10、，导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A1个B2个C3个D4个【考点】6C：函数在某点取得极值的条件【分析】根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点故答案为 C8若f（x0）=3，则=（）A3B12C9D6【考点】63：导数的运算【分

11、析】根据= 4=4（）=4f（x0），利用条件求得结果【解答】解：f（x0）=3，则= 4=4（）=4f（x0）=4（3）=12，故选：B9下列求导运算正确的是（）ABC（3x）=3xlog3eD（x2cosx）=2xsinx【考点】63：导数的运算【分析】分别求导，再判断即可【解答】解：ln（2x+1）=（2x+1）=，（3x）=3xln3，（x2cosx）=2xcosxx2sinx，于是可得A，C，D错误故选：B10若（1+2x）n的展开式中，x2的系数是x系数的7倍，则n的值为（）A5B6C7D8【考点】DB：二项式系数的性质【分析】根据题意写出（1+2x）n展开式的通项，进而可得x2的

12、系数与x的系数，依题意得到两个系数之间的关系式，解方程可得答案【解答】解：根据题意（1+2x）n展开式的通项为Tr+1=Cnr（2x）r=（2）rCnr（x）r，x2的系数为4Cn2，x的系数为2n，根据题意，有4Cn2=2n，解可得n=8，故选D11为使高三同学在高考复习中更好的适应全国卷，进一步提升成绩，济南外国语学校计划聘请北京命题组专家利用周四下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A36种B30种C24种D6种【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整

13、体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=6种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：666=30，故选：B12已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf（x）0，则（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）为减函数Df（x）为增函数【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=xexf（x），g（x）=ex（x+1）f（x）+x（x），可得函数g（x

14、）在R上单调递增，而g（0）=0即x0时，g（x）=xexf（x）0f（x）0；x0时，g（x）=xexf（x）0f（x）0；在（x+1）f（x）+xf（x）0中取x=0，得f（0）0【解答】解：构造函数g（x）=xexf（x），g（x）=ex（x+1）f（x）+x（x），（x+1）f（x）+xf（x）0，g（x）=ex（x+1）f（x）+x（x）0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0x0时，g（x）=xexf（x）0f（x）0；x0时，g（x）=xexf（x）0f（x）0；在（x+1）f（x）+xf（x）0中取x=0，得f（0）0综上，f（x）0故选：A二填空题：本大题共4小题，每

15、小题5分13设mR，复数z=2m23m5+（m22m3）i，当m=时，z为纯虚数【考点】A2：复数的基本概念【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解【解答】解：由题意，得，解得m=故答案为：14设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为【考点】JI：空间两点间的距离公式；MK：点、线、面间的距离计算【分析】求出A，B的中点M的坐标，然后利用距离公式求解即可【解答】解：设A（3，4，1），B（1，0，5），则AB中点M（2，2，3），C（0，1，0），M到点C距离为： =故答案为：15如图，阴影部分的面积是【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】求阴影

16、部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可【解答】解：直线y=2x与抛物线y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则 =所以阴影部分的面积为，故答案为：16某监理公司有男工程师7名，女工程师3名，现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况，不同的选派方案有378种【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2步进行分析：、在7名男工程师中选2名，3名女工程师中选1人，、将选出的3人全排列，安排到3个不同的工地，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：

17、根据题意，分2步进行分析：、在7名男工程师中选2名，3名女工程师中选1人，有C72C31=63种选法，、将选出的3人全排列，安排到3个不同的工地，有A33=6种情况，则不同的选派方案有636=378种；故答案为：378三.解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an满足Sn=2nan+1（nN*）（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理【分析】（1）根据已知等式确定出a1，a2，a3，a4，归纳总结猜想出通项公式an即可；（2）当n=1时，结论成立，假设n=k时，结

18、论成立，推理得到n=k+1时，结论成立，即可得证【解答】解：（1）根据数列an满足Sn=2nan+1（nN*），当n=1时，S1=a1=2a1+1，即a1=；当n=1时，S2=a1+a2=4a2+1，即a2=；同理a3=，a4=，由此猜想an=（nN*）；（2）当n=1时，a1=，结论成立；假设n=k（k为大于等于1的正整数）时，结论成立，即ak=，那么当n=k+1（k大于等于1的正整数）时，ak+1=Sk+1Sk=2（k+1）ak+12k+ak=2+akak+1，2ak+1=2+ak，ak+1=，即n=k+1时，结论成立，则an=（nN*）18如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平

19、面ABCD，PA=AD=2，BD=求二面角PBCD余弦值的大小【考点】MT：二面角的平面角及求法【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBCD的余弦值【解答】（本小题满分12分）解：棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），=（0，2，0），=（2，0，2），=（2，2，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），取x=1，得=（1，0，1），设平面BCD的法向量

20、=（a，b，c），取a=1，得=（1，1，0），设二面角PBCD的平面角为，则cos=，二面角PBCD的余弦值为19设f（x）=x32x+6，当x1，2时，求f（x）的最小值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求出函数的最小值【解答】（本小题满分12分）解：f（x）=3x2x2=3（x1）（x+2），因为x1，2，所以令f（x）0，解得2x1；令f（x）0，解得x2或x1，所以f（x）在1，1）上单调递减；在（1，2上单调递减所以当x1，2时，f（x）的最小值是f（1）=故答案为：20已知复数z满足：|z|=1+3iz，（1）求z并求其在复平面上对应

21、的点的坐标；（2）求的共轭复数【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A2：复数的基本概念【分析】（1）设z=x+yi（x，yR），则|z|=代入已知，化简计算，根据复数相等的概念列出关于x，y的方程组，并解出x，y，可得z（2）将（1）求得的z代入，化简计算后，根据共轭复数 的概念求解【解答】解：（1）设z=x+yi（x，yR），则由已知， =1+3i（x+yi）=（1x）+（3y）i，z=4+3i其在复平面上对应的点的坐标为（4，3）（2）由（1）z=4+3i，=3+4i 共轭复数为34i21如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2

22、AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，1，0），面EAC的法向量=（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】（）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC

23、，AB=2，AD=CD=1，AC=BC=，AC2+BC2=AB2，ACBC，又BCPC=C，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（）如图，以C为原点，取AB中点F，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）设P（0，0，a）（a0），则E（，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（，），取=（1，1，0），则=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则=0，即取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2于是=（2，2，2），=（1，1，2）设直线PA与平面EA

24、C所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为22已知函数f（x）=blnx（1）当b=1时，求函数G（x）=x2xf（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在1，e上存在x0，使得x0f（x0）成立，求b的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数G（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可；（2）设若在1，e上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在1，e上的最小值小于零，通过讨论b的范围，求出h（x）的单调区间，从而进一步确定b的范围即可【解答】解：（1）当b=1时，

25、G（x）=x2xf（x）=x2xlnx（x0），令G（x）=0，得x=1，当x变化时，G（x），G（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）g（x）0+G（x）极小值因为，G（1）=0，G（e）=e2e1=e（e1）11，所以G（x）=x2xf（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，G（x）min=G（1）=0（2）设若在1，e上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在1，e上的最小值小于零又=，令h（x）=0，得x=1（舍去）或x=1+b当1+be，即be1时，h（x）在1，e上单调递减，故h（x）在1，e上的最小值为h（e），由，可得因为，所以当1+b1，即b0时，h（x）在1，e上单调递增，故h（x）在1，e上的最小值为h（1），由h（1）=1+1+b0，可得b2（满足b0）当11+be，即0be1时，h（x）在（1，1+b）上单调递减，在（1+b，e）上单调递增，故h（x）在1，e上的最小值为h（1+b）=2+bbln（1+b）因为0ln（1+b）1，所以0bln（1+b）b，所以2+bbln（1+b）2，即h（1+b）2，不满足题意，舍去综上可得b2或，所以实数b的取值范围为- 30 -