效用函数-哈尔滨工业大学

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1、第三章 效用函数31 效用的定义和公理系统一、引言为什么要引入效用 决策问题的特点：自然状态不确定以主观概率表示； 后果价值待定以效用度量。1. 无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；2. 即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边际价值问题。例二： 上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义。有人认为打赌不如礼品，即 *由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实

2、际价值，以便反 映决策人偏好次序(preference order)的问题 *偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。如工资/工作时间权衡，年龄对带伞与否的影响。 * 除风险偏好之外，还有时间偏好。i. 折扣率；ii. 其他。 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数)。Daniel Bernoulli 在1738年指出： “若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择各种可能后果中偏好期望值最高的行动。” 二、

3、效用的定义1.符号 i. afb (即aPb)读作“a优于b”(a is preferred to b)。f：严格序 ab (即aRb) “a不劣于b”。：弱序 ab (即aIb) “a无差别于b”(I: indifference)。：无差异 ii. 展望 (prospect): 或称“预期”，可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合 P=( ) 既考虑各种后果 (consequence)又考虑了各种后果的概率 (probability or likelihood) 分布复合展望 所有P的集合记作p iii. 抽奖 (lottery) 与确定当量（certainty equivalent） 抽

4、奖L2=。若 L2则称 确定性后果 为抽奖 L2 的确定当量2. 效用的定义(A) 在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p , 当且仅当 u()u() 则称u为效用函数效用函数定义在展望集上，而非后果集上。三、效用存在性公理（理性行为公理） Von Neumann-Morgenstern, 1944公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p, 则 or or 公理2 传递性 (Transitivity) p, 若, 则 公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若p, 且 0 a b 则 a+(1-a)b+(1-b) 即二种后果中，决策人所偏好的后

5、果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。公理4 连续性公理 - 偏好的有界性若 则 存在 0a1, 0bb使 a+(1-a)b+(1-b) 由 a+(1-a) 可知 不是无穷劣,即 u()- 由 b+(1-b) 可知 不是无穷优, 即 u() 即使是死亡，亦不至于无穷劣例：i, 过马路 若死亡为无穷劣，则不能过马路 ii, 狂犬病疫苗 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.例：Allais 悖论（Paradox 例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Savage回答Savage的回答是A组宁择i， B组宁择ii，Allais指出：B组的i, ii, 均以0.

6、89的$500,000 取代0.89的 $0，即与A组的i, ii相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。Savage当时语塞。效用的公理化定义 在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使i. f 当且仅当 u() u() ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u()线性性iii. 对满足上述条件的、， 必有 () =b( )+c , 其中 b, c , b0则u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u() 推广到一般,若p ;0 , i=1,2,m; =1; 则 u( )= u()四、基数效用与序数效用

7、(Cardinal & Ordinal Utility)基数：实数：2，2.01, 100序数：第1，2，区别：1. 基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布), 是实数;序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是自然数2. 基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为: b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c , b0.而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为 16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.序数效用的存在性公理1.连通性(可比)2.传递性3.连续性：对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材

8、：P29 3.1)3.2 效用函数的构造一、离散型的概率分布后果元素有限各后果效用设定的步骤 NM法（von Neumann-Morgenstern），也称概率当量法 由公理4: 若ff ,则可找到 01, 使+(1-)第一步： 选定 , C , 使f 令 u()=0, u()=1 所选择的 、 应使比较易于进行.第二步：对ff ,求(01), 使+(1-) 则 u()=u(+(1-)= u()+(1-)u() u()=第三步：若pp, 求(01), 使+(1-) 则u()=u(+(1-)=u()+(1-)u() u()=/(-1)第四步：若 ff, 求(0 0 u在x 处凹, 风险厌恶 r(

9、x)=-u”(x)/u(x) = 0 u在x 处线性, 风险中立 0 在x处有递减的边际价值 m(x)=-v”(x)/v(x)= 0 在x处有不变的边际价值 r(x)称为在X内相对风险追求四、风险酬金 k=E(x)-S 这是决策人为了避免风险而愿意损失的金额 五、货币的效用1. 性质 i. 单调递增：愈多愈好 有界：全世界财富总量不足$, u()与u()几乎无差异 ii. x较小(相对于决策人资产而言)时, u(x)近乎线性 iii. x0时u(x)通常是凹的 递减的边际价值 风险厌恶 x0与x0的形状不同, 负债较多有追求风险的倾向.2. 钱的效用曲线的构成 设某人现有1000元存款(某商店

10、有资产10万，企业有1000万等等) i. NM法(见3.2) 利用 +(1-) ii. 修正的NM法 利用 0.5+0.5 例: 设u(0)=0, u(1000)=1 有3000.5+0.5 u(300)=0.5 又1250.5+0.5 u(125)=0.25 5500.5+0.5 u(550)=0.75 由00.5+0.5 设 a=-250 则u(-250)=-u(500)=-0.72 -2500.5+0.5原因：i,价值函数是S型 ii,在一定范围内相对风险态度不变 iii,负债到一定程度以上有冒险倾向 Friedmann-Savage 效用曲线(1948): 3.4 损失、风险和贝叶斯

11、风险一、损失函数L 有些文献采用损失函数进行分析 u(c)=u(,a) l(,a)=-u(,a) 则损失函数与效用作用相同 为了使损失值非负，可取 l(,a)= u(,a)-u(,a) 二、风险函数 自然状态集 -参数空间 行动集 A -决策空间 观察值集 X -测度空间 决策规则 :xa , , 为策略空间 损失l(,a)=l(,(x) 由于X是随机变量，对给定的，采用决策规则时定义风险函数 R(,)= l(,(x) =l(,(x) f (x |) dx 或 l(,(x) p (x |)三、贝叶斯风险r(，) = E R(,)含义：的先验分布为，决策规则为时风险函数的期望值叫贝叶斯风险即: r(，)= R(,) = l(,(x) f (x |) dx () d 或 l(,(x) p (x |)()3- 10