机械波大学物理上中南大学.ppt

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1、机械波,第七章,波动是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为物质波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。,振动的传播过程叫波动。 机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波,7-1 机械波的产生和传播,一、机械波产生的条件,如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。,弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。,1、有作机械振动的物体，即波源,2、有连续的介质,二、纵波和横波,横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波

2、.,特征：具有交替出现的密部和疏部.,横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。,纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。,结论：（1）机械波向外传播的是波源（及各质 点）的振动状态和能量。 （2）介质中的个质点在各自的平衡位置 附近振动，并未向外传播。,三、波线和波面,1.波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。,3. 根据波（阵）面的形状分类：平面波、球面波、 柱面波,平面波,球面波,4. 振动参量与波动参量间的关系：,5. 波函数（波动方程）：任意时刻波线上任意质点相 对平衡位置的位移的函数表达式。,6. 波形曲线：某时刻，同一波线上各质点的位移随位

3、置变化的曲线。,四、简谐波:简谐振动在介质中传播所形成的波。,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,2、波长,1、波的周期和频率,周期 T ：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。,频率 ：单位时间内通过波线上某点的完整波形的数目。,1）同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离； 2）波在一个周期内所传播的距离； 3）两个相邻波峰（波谷、疏部、密部）间的距离； 4）同一波线上相邻的振动状态相同的两点间的距。,T、 反映了波的时间周期性,六、描述波动的几个物理量, 反映了波的空间周期性,上式把波的空间周期性和时间周期性联系了起来。,思考题：波在介质中的传播速度为 ，可否用 增大频率的办法来提高机

4、械波的传播速度？,机械波的波速通常由介质的性质决定，对简谐波，在固体中传播的横波和纵波的波速（相速） 分别为,7-2 平面简谐波的波动方程,一、平面简谐波波动方程的推导,y表示该处质点偏离平衡位置的位移 p 为x轴上任意一点，其坐标为 x,简谐波:简谐振动在介质中传播所形成的波。 平面简谐波：在平面波传播过程中，若介质中各质点均做同频率同振幅的简谐振动，则称该平面波为平面简谐波。（要求介质不吸收能量、各向同性、均匀无限大）,1. O点振动状态传到p点需用,2. P点的相位落后O点,(1),由P点的任意性可知，（1）、（2）两式表示任意质点在任意时刻相对平衡位置的位移。,波向x负方向传,P点的相

5、位超前O点,t 时刻P点的振动相位为:,二、波动方程的物理意义,1、如果给定x，即x=x0,x0处质点的振动初相为,为x0处质点落后于原点的位相,若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2,是波在空间上的周期性的标志,2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x),上式表示给定时刻波线上各质点的位移，即t0 时刻的波形,同一波线上任意两点的振动位相差,同一质点在相邻两时刻的振动位相差,T是波在时间上的周期性的标志,3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形,t时刻的波形方程,t+t时刻的波形方程,t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离,在时间t内整个波形沿波的传播方向平

6、移了一段距离x,行波,*三、平面波的波动微分方程,沿x方向传播的平面 波动微分方程,求t 的二阶导数,求x的二阶导数,四、有关波动方程的三类问题,1、已知波动方程，求波动参数,将所知方程与波动方程的标准形式比较即可,例1、 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y =Acos(Bt - Cx)，其中A，B，C 为正值恒量求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； (2)写出传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，同一波线上距离为 d 的两点的位相差,解: (1)已知平面简谐波的波动方程,波振幅为 ，频率 ， 波长 ， 波速 ， 波动周期 ,(2)将 代入波动方程

7、即可得到该点的振动方程,(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为,将 ，及 代入上式，即得 :,2、已知波速及 x0 的振动方程（或振动曲线），求波动方程。,例2、一平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5ms-1，原点处质点的振动曲线如图所示(1)写出波动方程；(2)作出 t =0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线,解: (1)由图知， m， , 且 时， ， ., 波动方程为 :,将 m 代入波动方程，得该点处的振动方程 为:,例3 一平面简谐波沿 轴负向传播，波长 =1.0 m,原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz，振幅 0.1m,且在 =0时恰好通过平衡位置向 轴负向运动

8、，求此平面波的波动方程,解: 时原点处质点的振动状态为 故原点的振动初相为 ,所以原点的振动方程为：,波沿 x 负向传播，所以波动方程为：,3、已知 t0 时刻的波形曲线或波形方程,求波动方程,例4、 如题，已知 =0时和 =0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；(2)P点的振动方程,解: (1)由图知, ， ,又 时, ， ，,而 ， ， .,故波动方程为:,(2)将 代入上式，即得P点振动方程为:,例5、图中(a)表示 t =0 时刻的波形曲线，(b)表示 x =2m 处质元 P 的振动曲线，试求此波的波动方程.,解

9、：由图可知：A=0.2m , =4m , T=2s ;,再结合波形曲线可知，该列波沿轴正向传播。,所以波动方程为 ：,一、波的能量和能量密度,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波,质点的振动速度,7-3 波的能量 *声强,体积元内媒质质点动能为,（可以证明）体积元内媒质质点的弹性势能为：,1）在波动的传播过程中，体积元任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。,2）在波传播过程中，任意体积元的能量不守恒。,温 馨 提 示,能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。,平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。,能流:单位时间内通过介

10、质中某一 截面的能量。,二、波的能流和能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。,分析平面波和球面波的振幅,所以,平面波振幅相等。,所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r,由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,对球面波：,*三、波的吸收,波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。,波通过厚

11、度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA,波强的衰减规律：,*四、声压、声强和声强级,声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。,平面简谐波，声压振幅为,声强：声波的能流密度。,频率越高越容易获得较大的声压和声强,引起人听觉的声波有频率范围和声强范围,声强级,人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定,7-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉,一、惠更斯原理,惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后任一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,惠更斯原理解决了波的传播方向问题。,用惠更斯原理确定 下一时刻平面波的波前,用惠更斯原理确定 下一时刻球面波的波

12、前,用惠更斯原理解释衍射现象,如果你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧),*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律,二、波的叠加,各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。,波的独立传播原理或波的叠加原理：,能分辨不同的声音正是这个原因,振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上,三、波的干涉,温 馨 提 示,两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，有些点的

13、振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。,满足相干条件的波源称为相干波源。,在p点的振动为同方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,传播到p点引起的振动分别为：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,其中：,当两相干波源为同相波源时，相干条件为, 称为波程差,波的非相干叠加,干涉相长,干涉相消,例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B两点之间因干涉而静止的各点的位置.,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联

14、线为X轴。,A点发出的右行波方程：,则B点的振动方程为 :,设A点的振动方程为 :,则B点发出的左行波方程：,两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：,即：,因为：,7-5 驻波,一、驻波方程,驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。,函数不满足,它不是行波,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1、波腹与波节 驻波振幅分布特点,二、驻波的特点,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为：,因此可用测量波腹间的距离，来确

15、定波长。,2、驻波的位相的分布特点,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。在波节处产生 的相位突变 .,两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。,3、驻波能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播.,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.,当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。,三、半波损失（的相位突变

16、）,入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。,折射率较大的媒质称为波密媒质； 折射率较小的媒质称为波疏媒质.,当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。,在绳长为l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：,*四、简正模式（或本征振动）,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为该系统的简正模式（Normal mode).,对应k=2,3,的频率为谐频，产生的音称为谐音(泛音)。,最低的频率(k=1)称为基频，产生的一个音称为基音；,两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 k 次，2 k

17、次.谐频)就不出现，使演奏的音色更优美。,当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频率振动的振幅最大。可用共振法测量空气中声速。,系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。一般是各种简正模式的叠加。,五、驻波的三类问题,（1）求波节和波幅的位置,（2）求反射波方程 反射点固定(波疏进波密介质), 有半波损失 波节 反射点自由(波密进波疏介质), 无半波损失 波腹,(3)求形成驻波的两波源的初相差,例1、一平面简谐波沿 x 轴正向传播，如图所示已知振幅为 A ，频率为 ,波速为 u (1)若t =0时，原点处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出

18、此入射波的波动方程； (2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求 x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置,解: (1) 时， ， 故入射波的波动方程为 m,(2)将 代入波动方程可知入射波在 P点引起 的振动为：,波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在 P点引起的振动为：,故波节位置为,故,根据题意，k 只能取 0,1，,此时驻波方程为,反射波的波动方程为：,例2、如图，两驻波波源P、Q相距30m，以P为原点，则x=9m和12m处为两相邻的波节，求两波源的初相差.,设P、Q在它们之间形成的波动方程为：,7-7 多普勒效应 *冲击波

19、,一、多普勒效应,观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。,选介质为参考系 波源和观察者的运动在两者的连线上,只有波源与观察者相对静止时才相等.,1. 波源不动，观察者相对介质以速度 运动,观察者向波源运动,观察者远离波源,2. 观察者不动，波源相对介质以速度 运动,波源向观察者运动,观察者接收的频率,波源远离观察者,3、波源和观察者同时相对于介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动,多普勒效应指的是观察者接受到的频率发生变化，而振源频率和各质元的振动频率并未变化。,温 馨 提 示,*电磁波的多普勒效应*,光源静止于S系的原点,观察者以速度u远离光源。t=0时刻，光源开

20、始发出了一列频率为的光波，此时观察者的位置x=x0,发光时间为.求观察者接收的此光的频率。,事件1：波列前端到达观察者 事件2：波列后端到达观察者,横向多普勒效应,光源在时间内发出 个完整波形，观察者在 内接收到它们，所以观察者接收到的频率为,即,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、超音速飞行等.,二、多普勒效应的应用,*三、冲击波,*孤 波*,1834年4月，英国造船工程师罗素骑马在运河边行走，发现河中一艘船突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形状前进了很长距离后才逐渐消失。罗素认为这是一个新的波形，称之为孤波。,孤波在传播过程中的特性：,定域性：孤波波形定域在空间的有限范围内，不象一般波动那样弥散在整个空间。,稳定性：孤波传播过程中形状保持不变。,完整性：如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开，每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的速度继续各自传播。,