机器视觉空间几何变换.ppt

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1、机器视觉及应用,李东 ,主要内容,2.1 空间几何变换 2.2 几何变换的不变量 2.3 欧式空间的刚体变换,摄像机成像的几何变换？,射影几何是三维计算机视觉的数学理论基础。,2.1 空间几何变换,摄像机的成像过程是一个射影变换（透视或中心射影）的过程。,Figures Stephen E. Palmer, 2002,Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D),3D world,2D image,Projection can be tricky,Slide source: Seitz,Projection can be tricky,Slide so

2、urce: Seitz,成像几何（Projective Geometry）,What is lost? Length,Which is closer?,Who is taller?,成像几何（Projective Geometry）,空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩,Projective Geometry,What is lost? Length Angles,Perpendicular?,Parallel?,Projective Geometry,What is preserved? Straight lines are still straight,成像几何（Projective

3、Geometry）,消失点/无穷远点（Vanishing Point）,成像特点（Properties of Projection ）,点（points）投影后为点； 线（lines）投影后为线； 平面（planes or polygon ）投影后为平面（可能不是整个平面）。 特殊情况： 经过光心的线投影后退变为点； 经过光心的平面投影后退变为线。,无穷远元素,平行线交于一个无穷远点; 平行平面交于一条无穷远直线;,在一个平面上, 所有的无穷远点组成一条直线, 称为这个平面的无穷远直线.,无穷远元素,3维空间中所有的无穷远点组成一个平面, 称为这个空间的无穷远平面.,无穷远元素,Vanishi

4、ng points and lines,Vanishing points and lines,Slide from Efros, Photo from Criminisi,Vanishing points and lines,Photo from online Tate collection,Note on estimating vanishing points,射影空间,对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限元素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成了 n 维射影空间.,1维射影空间是一条射影直线, 它由我们所看到 的欧氏直线和它的无穷点组成; 2维射影空间是一个射影平面, 它由我们所

5、看到 的欧氏平面和它的无穷远直线组成; 3维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组 成.,在 n 维空间中, 建立欧氏坐标后, 每一个有限的点的坐标为 , 对任意 n+1 个数 , 如果满足: 则 被叫作这个点的齐次坐标. 被称作非齐次坐标. 不全为0的数 组成的坐标 被称作无穷远点的齐次坐标.,齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）,一维齐次点坐标定义,齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）,二维齐次点坐标定义,有穷远点,方向为 =x2/x1的无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,y轴上的无穷远点,(x, y),x = x1 / x3, y = x2

6、/ x3,(x1, x2, x3) (x30),(x1, x2, 0) (x10),(=x2/x1),(0, x2, 0) (x20),无穷远点,齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）,Homogeneous coordinates,Conversion,Converting to homogeneous coordinates,homogeneous image coordinates,homogeneous scene coordinates,Converting from homogeneous coordinates,Homogeneous coordinates

7、,Invariant to scaling Point in Cartesian is ray in Homogeneous,Homogeneous Coordinates,Cartesian Coordinates,Basic geometry in homogeneous coordinates,Line equation: ax + by + c = 0 Append 1 to pixel coordinate to get homogeneous coordinate Line given by cross product of two points Intersection of t

8、wo lines given by cross product of the lines,homogeneous coordinates,Intersection of parallel lines,齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）,为什么要用齐次坐标表示？ 可以表示无穷远点； 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。,射影变换(projective transformation),n维射影空间的射影变换: 射影变换由Tp矩阵决定， 有(n+1)2个参数，独立参数(n+1)2-1个,1维射影变换:,射影变换(pr

9、ojective transformation),3维射影变换:,仿射变换（Affine transformation）,仿射变换是射影变换的特例 ，当射影中心平面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射变换。,1维仿射变换:,仿射变换（Affine transformation）,3维仿射变换:,比例变换（Metric transformation）,比例变换是带有一比例因子的欧氏变换，其三维空间变换形式：,比例变换有7个自由度，其中3个旋转，3个平移和1个比例因子。,比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小，所以有时将比例变换称为相似变换。,欧氏变换（Euclidean transforma

10、tion）,欧氏变换是在欧氏空间进行的变换，与比例变换很类似，只是比例因子取为1。在三维欧氏空间其变换形式可表示为,欧氏变换有6个自由度，其中3个旋转，3个平移。,在几何变换中，某些几何特性在变换前后具有不变化的特性。这样的特性或特征量称为不变特性或不变量。 2.2.1 简比与交比 直线L上三个点A, B, C。以A、B为基础 点，点C为分点，由分点与基础点所确 定的两个有向线段之比称为简比，记为 一条直线上四个点中两个简比的比值称为 交比 以O点为交点的任意4条直线的交比称为线束交比,2.2 几何变换的不变量,射影变换不变性和不变量如下: （1）同素性和接合性 （2 ）保持直线上点列的交比不

11、变。 （3） 保持线束的交比不变。 （4）如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截，则截点列的交比和线束的交比相等。 （5）点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换的充分必要条件，且共线四点交比具有如下特性：,不变量,仿射变换除具有以上射影变换不变性外，还具有如下特性: （l）两直线间的平行性是仿射不变换。 （2）共线三点的简比是仿射变换的基本不变量。 （3）两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （4）两条封闭曲线所围成的面积之比是仿射不变量。 比例变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条相交直线的夹角不变，因此其形状保持不变; 欧氏变换不仅保持两条相交直线的夹角不变，而且还保持任意两点的距离不变，因此，其形状和大小均保持不变。,不变量,不变量,特征矢量CR反映了空间平面多边形的结构和形状.,在机器视觉中，刚体变换经常用于 1、计算一个刚体经过旋转和平移后的新坐标; 2、计算同一个刚体在不同坐标系中的坐标。 假设在欧氏空间有一点p，其在两个坐 标系中的坐标分别是 和 ，有变换 其中，,2.3 欧氏空间的刚体变换,旋转矩阵R有9个参数，但并不是互相独立的，具有如下特性: R只有3个独立参数，即满足以下6个约束条件:,刚体变换,欧拉角表示法,旋转矩阵的表示形式,Rodrigues rotation formula,四元数表示法,旋转矩阵的表示形式,The End,