概率论与数理统计第3章.ppt

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1、第3章 多维随机向量及其概率分布,3.1 随机向量及其联合分布函数,3.3 随机向量的独立性,3.2 二维离散型和连续型随机向量,3.4 随机向量的函数及其概率分布,3.1 随机向量及其联合分布函数,一、多维随机向量,以后除非特别声明，一般只讨论二维随机向量,同样，从右边的图中，不难得到,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).,说明,实例3,X,Y,

2、Z 都是随机变量，则称(X,Y,Z )是三维随机向量.,在三维空间中，飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量 (三个坐标X,Y,Z ）来确定的.,二、随机向量联合分布函数的性质,不难验证其具有如下性质,定义2.,三、随机向量的边缘分布函数,设,边缘分布函数也称为边际分布函数或边沿分布函数,3.2 二维随机离散型和连续型随机向量1,为讨论方便，仍然只分离散型和连续型两大类,一、二维离散型随机向量的联合概率分布,定义1. 若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.,设X的所有可能取值为,Y的所有可能取值为,则称,为二维随机向量(X,Y)的联合概率函数或联合

3、概率分布,联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列,二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质:,二维离散型随机向量的联合分布函数为,例1,一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球,若进行不放回取球,例2 一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取求两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为,思考,将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?,二、二维离散型随机向量的边缘概率分布,若(X,Y)为二维离散型随机向量,X的所有可能取值为,Y的所有可能取值为,联合概率函数为,则分别称,离散型随机变量的边缘分布列可以在联合分布列

4、的基础上增加，即,也可以将X,Y分开后分别表示，即,例3.,在本节例1.中,本节例2.的边缘分布也是一样,解,例4,由乘法公式得,解,下面求边缘分布,若随机向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， ， ， 则称随机向量 服从多项分布。,两个常用的离散型多元分布,（一）多项分布,若随机向量 具有如下 的多元分布列,其中 ， 为自然 数 ，则称随机向量 服从多元超几何分布。,（二）多元超几何分布,三、二维连续型随机向量的联合概率分布,定义2.,二维随机变量的联合密度函数具有以下性质,从而,用联合密度函数的图形分析以上性质,设随机向量(X,Y)具有联合密度,解,例4,设二维随机变量(X,Y)具有概率密

5、度,解：,例5,四、二维连续型随机向量的边缘概率分布,与离散型随机向量一样，X,Y也是单个的随机变量,3.2 二维随机离散型和连续型随机向量2,从上面的分析不难得到X和Y的密度函数为,例6 求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为,解,边缘分布函数分别为,边缘密度函数为,例7 求随机向量(X,Y)的边缘密度函数，已知其联合密度函数为,解,由边缘密度函数和联合密度函数的关系可知,所以,同理,1.均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.,两个常用的分

6、布,例8 已知随机向量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,练习,设(X,Y)在圆域D=(x, y)| x2+y2r 2上服从均匀分布. (1) 判断X与Y是否相互独立.,解,(2),2.二维正态分布,若二维随机向量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的联合密度函数的图象如右图:,二维正态分布随机向量的边缘分布均是正态分布,例9,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考

7、,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,练习 设 有概率密度 （1）试验证 符合概率密度的两个 性质； （2）试求 和 的边际密度。,解 （1）显然，,因为 和 都是分布 的密度，所以根据一元密度的性质，有,又由于 和 都是奇函数， 从而,故而,（2）,同理有,所以 和 都服从分布 。,作业,P89练习3.2 1 2 3,3.3 随机变量的独立性,定义1.,否则称不相互独立或相依,对于离散型随机变量和连续型随机变量也分别有,定理1.,即,显然,例1.,一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球,如果进行无放回取球,X和Y是否独立

8、?,若进行不放回取球,在有放回取球中,第二次取的球的颜色不受第一次取球结果的影响,故X和Y相互独立,而在不放回取球中,第二次取到球的颜色当然受第一次取球结果的影响,故X和Y不相互独立.,例2.,解:,所以,根据联合分布列和边缘分布列的关系,不难得到X和Y的联合分布列,由于,所以X,Y不相互独立,99年考研题,8分,思考,设A,B为两事件,且相互独立,试证X,Y相互独立.,定理2.,证明:,(1) 必要性,所以,(2) 充分性,例3.,解:,(1) 由联合密度函数的性质,可知,显然,所以,定理3.,证明,设二维随机向量,f(x,y)为其联合密度函数,证明X与Y独立的充要条件是=0,证明 由题意得

9、,充分性,将=0代入f(x,y)即得f(x,y)=fX(x)fY(y).,必要性 若X和Y相互独立,则f(x,y)=fX(x)fY(y),例4. 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,其中参数 ,这个分布称为二维指数分布,试讨 论X和Y的独立性.,解: 由已知可得边缘分布函数,例6 某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来 到甲,乙两船,且在24小时内各时刻来的可能性都相 等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时, 试求有一船要在江中等待的概率.,关于X的边缘密度函数,关于Y的边缘密度函数,解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达 码头的时间.由题中条件,X与Y都服从0,24上

10、的均 匀分布,因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为,事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3,表示:甲船来时,乙船已在码头,表示:乙船来时,甲船已在码头,定义 称随机变量序列X1,X2,X n,为相互独立的, 如果它们中任意m(m=2,3,)个随机变量都是相互独立的. 特别若每个X i(i=1,2,)的分布也相同, 则称之为 独立同分布 (i.i.d)的随机变量序列。,随机变量序列独立性的概念,作业,P94 练习3.3 1 2 3 4,3.4 随机向量的函数及其概率分布,分离散型和连续型形式分别进行讨论,一、随机变量和的分布,1.离散型随机变量和的分布,将问题一般化,例1,解

11、,等价于,概率,结论,例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为,求随机变量 Z=X+Y 的分布律.,解,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例4,X, Y 相互独立,证明,由前面的例题可知,例5,例6,设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法.,解,从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.,更一般地，,连续型随机变量函数的概率分布,1. 已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.,若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处,解,例7,X,Y相互独立,设Z的分布函数和概

12、率密度分别为,2.连续型随机变量和的分布,同样也有,因此,由公式,解,例8 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互独立, 实数a1,a2,.,an不全为零,则,特别, 若X1,X2, .Xn独立同正态分布N(,2) ,记:,则,解,例9,此时,二、随机变量差的分布,或,三、随机变量积的分布,或,或,四、随机变量商的分布,或,例10,得所求密度函数,得,五、随机向量一般函数的分布,只讨论连续型情况,则有,故有,推广,例8,解,作业,P106练习3.4 1 2,P106习题三,