江苏省百师联盟2021届高三下学期3月摸底联考数学试题

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1、2021 届高三百师联盟 3 月摸底联考数学试卷20213一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知集合 M =xy=2 x -x 2 ，N=xy=log ( x -1)2 ，则集合M N =2Ax0x 2Bx0x 1或1 x 2C x1x2Dx0x 22复数 z 满足： z +12 -i=2 ，z =A2 1- i5 15B2 1- i15 5C2 1+ i5 15D2 1+ i15 53 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来

2、源根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提截止2020 年 10 月 10 日，我国共进行了六次 人口普查，右图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是A人口数逐次增加，第二次增幅最大C第六次普查人数最多，第三次增幅最大B第六次普查人数最多，第四次增幅最小D人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小4已知圆 C : x2 +y 2-4 x -2 y +3 =0，过原点的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，则 ABC的面积最大时，直线 l 的方程为Ay=0或 y =43xBy =2 x或

3、 y =3 1 x C x = 0 或 y =2 3xD y =34x5将 3 名男生 1 名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女 生和一名男生分到甲社区的概率是A112B13C12D166函数f (x)=ln(x+1)sin2x的部分图象大致是1ABCD7雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的第一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（

4、4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）若按照上述规 律，一个边长为 3 的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是A1433B2049C2569D6438如图，直角三角 ABC 中， ABC =90 ， AB =3， BC =4，M 点是线段 AC 一动点，若以 M 为圆心半径为 5 的圆与线段 AC 交于 P，Q 两点，则 BP BQ 的最小值为A1215B1925C913D1915二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是 符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）2P - , 22 9

5、对任意实数 a，b，c，有以下命题中，正确的是A若ac2bc2，则 a b ，则ab1C若1 1 ，则 a 1 b 0，则 loga(a-b)010设 M，N 是函数 f (x)=2sin (wx+j)(w0,0j0，则不等式(x -2)f(x)0的解集是_16过抛物线 C : x2=2 py上点 M 作抛物线D : y24 x的两条切线l1，l2，切点分别为 P，Q，若MPQ 3 的重心为 ，则 p =_四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）17在 a =11，a =n +1an2a +1n； a +3 a +5 a

6、 + 1 2 3+(2n-1)a =n ；n1 1+ +a a1 21+ =nan2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答：（1）求 an的通项公式； （2）求 (2n-1)an n (n+1)的前 n 项和 Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18已知 ，b ， 是 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边，且 5cos B cos C +2 =5sin B sin C +cos 2 A （1）求角 A 的大小；（2）若 ABC的面积S =3 32，c =3，求 sin B sin C 的值19如图，在直角 ABC 中，直角边 AC = 2， A =60 ，M 为 AB

7、 的中点，Q 为 BC 的中点，将三角AB形 AMC 沿着 MC 折起，使 MQ ；（1）求证：A M MB1，（A1为 A 翻折后所在的点），连接 MQ（2）求直线 MB 与面 A MC 所成角的正弦值14( 20近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710，其中对商品和服务均为好评的有 80 次（1）是否可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 4 次购物中，设

8、对商品和服务全好评的次数为随机变 量 X，求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列及其期望参考公式：独立性检验统计量K2=n (ad-bc )2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n =a +b +c +d临界值表：P (K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821已知椭圆 C：x2 y 2+ =1 a b 0 a2 b2)的上、下顶点分别为 A，B，P 为直线 y =2 上的动点，当点 P 位于点 (1,2 )时， ABP的面积SABP=1，椭圆 C 上任意一点到椭圆的左

9、焦点 F 的最短距离为2 -1（1）求椭圆 C 的方程；（2）连接 PA，PB，直线 PA，PB 分别交椭圆于 M、N（异于点 A，B）两点，证明：直线 MN 过定点22已知函数 f (x)=aex+sin x +x ， x 0,p （1）证明：当 a = -1时，函数 f(x)有唯一的极大值点；（2）当 -2 a 0时，证明： f (x)p 51 n n +1 n n = -n ( )1 n n ( )n 2 2 n ( )参考答案1B 2A 3C 4A 5D 6B 7C 8B 9AC 10ABD 11ACD 12BC1313或 314215 (-,1)(2,+)16316解析：若选，（l）

10、a 1 2a +1 1 1a = n ，两边取倒数得 = =2 + ，又因为 =1，所以 是首2a +1 a a a a an n +1 n n 1 n项 为 1 ， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， 所 以1an=2n -11， 故 a = . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ： 2n -1(2n-1)a n (n+1)=1 1 1 n (n+1)n n +11 1 1 1 1，所以 T =1 - + - + - +2 2 3 3 4+1 1 1 n - =1 - =n n +1 n +1 n +1.若选，（1） a +3 a +5 a + +(2n-1)a =n .当 n 2 1 2

11、 3 n时， a +3 a +5 a + 1 2 3+(2n-3)an -1=n -1 ，两式相减得 (2n-1)a =1 ，所以 a =n n1 1， n 2 ，当 n =1 时， a =1 ，满足上式，则a = .（2）由 2n -1 2 n -1（1）得：(2n-1)a n (n+1)1 1 1= = - n n +1 n n +1，所以1 1 1 1 1 T =1 - + - + - +2 2 3 3 41 1 1 n + - =1 - =n n +1 n +1 n +1.若选，（1）1 1+ +a a1 21+ =nan2， n 21 1时， + +a a1 2+1an -1=(n-

12、1)，两式相减得1an=n 2 -(n-1)=2n-1，(n2)，当n =1时，a =11，所 以 a =n12n -1， （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ：(2n-1)a n (n+1)=1 1 1= - ， 所 以 n n +1 n n +1T =1 -n1 1 1 1 1 + - + - +2 2 3 3 4+1 1 1 n - =1 - =n n +1 n +1 n +1.18.解析： 5cos (B+C )+2=2cos2A -1 ，2cos2 A +5cos A -3 =01， cos A = 或 cos A = -3 2（舍去）.0 A p ，所以 A =p33 1 p. （2

13、） S = 3 = bc sin2 2 3， bc = 6 ，c = 3，b =2 3，由余弦定理得6QB) ( ) 1 3 3 1 ) (2 4 3 2 2( )( )( ) 4 4 4 4 3 4( ) 4 4 a2=b2+c2-bc =12 +3 -6 =9，a = 3 ，由正弦定理得a 3 ABC 外接圆直径，2 R = = =2 3sin A 3，2(2R)2sin B sin C =6，所以 sin B sin C =12.19.解析（：1）取A B1的中点为 N，连接 MN，NQ，因为A M MB1，所以 A B =2 2 ，BC =2 3 1，A C =2 1，所 以A C A

14、 B 1 11， 又 NQ A C ， 所 以2 1A B QN1. 又 A MB1为 等 腰 三 角 形 ， 所 以A B NM1，MN QN =N，所以A B 1面 MNQ，QM 面 MNQ，所以MQ BA （. 2）MQ BA 1 1，MQ BC，BC BA =B 1，所以 QM 面A CB1，取 所在直线为 x 轴，QM 所在直线为 y 轴，过 Q 点作面 MCB的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系.则B(3,0,0 ，C - 3,0,0 ，M (0,1,0 ) 3 2 6 ， A - ,0, .设 面A MC1一个法向量为n =(x,y,z)，CM =(3,1,0)，CA =2 3

15、2 6,0,3 3 ，得 3 x +y =0 x + 2 x =0,取z =-1 ，x = 2，y =- 6 ，n =(2, - 6, -1 ，又 MB =3, -1,0)，sinq=cos n, MB =2 6 6=6 3，直线 MB 与面A MC1所成角的正弦值为63.解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的 22 列联表如下：对商品好评对商品不满意 总计对服务好评 8060140对服务不满意 402060总计12080200K2=200 (1600 -2400 ) 140 60 120 80=1.587，1.587 2.706，所以，不可以在犯错误概率不超过 0.1 的前提下，认为商品

16、好评与服务好评有关.（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且 X 的取值可以是 0，1，3 81 2 3 216 2 3 2，3，4.其中 P X =0 = = ；P X =1 =C 1 = ；P X =2 =C 25 5 5 5 5 5 5 =2165 4；P(X =3)=C342 3 96 2 16= ； P X =4 = = .X 的分布列为：5 5 5 5 5X0 1 2 3 47X B 4,5 ( )2 APBP1 ( )() ( ) 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 0,2P8121621696165454545454 2 由于 ，则 E (X)=85.解析

17、：（ 1 ） SABP=122b =1 ， b =1 ，a2 -c2=1，设 M(x , y)是椭圆上任意一点，F(-c,0)，c 2 a 2MF2 = x +c +y 2 = x 2 +2cx +a2 ，对称轴 x =- -aa 2 c，区间 x -a,a为增区间，x =-a时，MFmin=a -c，即a -c = 2 -1，a +c = 2 +1，a = 2 ，所以椭圆方程，x22+y2=1.（2）设 P (t,2 )，M (x, y1 1)， N (x , y22)， 则 y -1 1 k = 1 = ,x t1y +1 3k = 2 =x t2所 以 有 3 x (y -1)=x (y

18、 +1 ) ， 因 为2 1 1 2x 21 =1-y 2 2=(1-y)(1+y1 1)-3 -3，代入上式得， x x = y +1 y +1 ， x x =y y + y +y +1 .2 2设直线MN : y =kx +m，代入x2 +2 y 2=2，(1+2k2)y2-2my +m2 -2k 2 =0. 2my +y = 1 +2 k 2 m2 -2 k 2 yy =12 1 +2 k 2,(1+2k2 )x2+4kmx +2m2-2 =0 ， x x1 2=2m2 -2 1 +2k 2将代入得2m2 +m -1=0， m =12 1 或 -1 （舍去）.直线 MN 过定点 .22.

19、 解 析 ：（ 1 ） 证 明 ： f(x)=aex+cos x +1 ， 因 为 x 0,p， 所 以 1 +cos x 0， 当 a = -1时 ，f (x)=-ex+cosx+1 ，令 g (x)=-ex+cos x +1 ， g (x)=-ex-sinx 0 ， g (x)在区间0,p上单调递减； g(0)=-1+2 =1 ， g(p)=-ex0 存在 x 0(0,p)，使得 f(x0)=0 ，所以函数 f(x)递增区间是 0,x0，递减区间是x ,0p，所以函数 f(x)存在唯一的极大值点x0. （ 2 ）当 2 a 0时，令h (x)=aex +sin x +x -p ，hx=ae

20、x+cos x +1，h (x)=aex-sinx0， h (p)=a e x 0 ，存在 x (0,0p)，使得h (x0)=0 ，即 a ex+cos x0+1 =0 ，所以 函 数 h (x)在 区 间0,x0上 是 递 增 函 数 ， 在 区 间x ,0p上 是 递 减 函 数 .8h (x)max=h (x0)=a e x +sin x0+x -0p， x (0,0p)， 因 为 a ex+cos x +1 =0 ， 只 需 证 0h (x0)=sin x -cos x +x -1 - 0 0 0p0，h (x)在区间(0, 0p)上是增函数， h (x0)h(p)=0，即 f (x)p.9