浙江专版高考数学一轮复习第5章数列热点探究训练3数列中的高考热点问题
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1、热点探究训练(三)数列中的高考热点问题1已知数列an是等比数列,a24,a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式;(2)设bn2log2an1,求数列anbn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q,因为a24,所以a34q,a44q2.2分因为a32是a2和a4的等差中项,所以2(a32)a2a4.即2(4q2)44q2,化简得q22q0.因为公比q0,所以q2.所以ana2qn242n22n(nN*).6分(2)因为an2n,所以bn2log2an12n1,所以anbn(2n1)2n,7分则Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n,2Tn122323524(2n
2、3)2n(2n1)2n1.由得,Tn222222322n(2n1)2n122(2n1)2n16(2n3)2n1,所以Tn6(2n3)2n1.14分2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f(x)6x2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,试求数列bn的前n项和Tn.解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0),则f(x)2axb.由f(x)6x2,得a3,b2,所以f(x)3x22x.2分又因为点(n,Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上,所以Sn3n22n.当n2时,anSnSn13n22n
3、3(n1)22(n1)6n5;当n1时,a1S131221615,所以an6n5(nN*).6分(2)由(1)得bn,10分故Tn.14分3(2017宁波镇海中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a11,S36.正项数列bn满足b1b2b3bn2Sn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若bnan,对nN*均成立,求实数的取值范围解(1)等差数列an中,a11,S36,d1,故ann.2分由得bn2SnSn12an2n(n2),b12S1212,满足通项公式,故bn2n.6分(2)bnan恒成立,即恒成立,8分设cn,则,当n1时,cn1cn,cn单调递减,(cn)maxc1,故,的
4、取值范围是.14分4已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn1qSn1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a22成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x21的离心率为en,且e2,证明:e1e2en. 【导学号:51062179】解(1)由已知,Sn1qSn1,Sn2qSn11,两式相减得到an2qan1,n1.又由S2qS11得到a2qa1,故an1qan对所有n1都成立,所以数列an是首项为1,公比为q的等比数列.3分从而anqn1.由2a2,a3,a22成等差数列,可得2a33a22,即2q23q2,则(2q1)(q2)0.由已知,q0,故q2.所以an2n1(nN*).6分(2)证明:由(1)可知,anqn1,所以双曲线x21的离心率en.9分由e2,解得q.因为1q2(k1)q2(k1),所以qk1(kN*).12分于是e1e2en1qqn1,故e1e2en.14分
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