5.4悬架衬套的特性与设计说明

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1、 .5.4 悬架弹性橡胶衬套特性与设计5.4.1研究意义1 研究的意义随着时代的发展，近年来对汽车的要求是乘坐舒适，高速，操纵稳定，豪华。并且加紧研究解决有关公害、安全措施和噪音问题。随着这些问题的研究解决，汽车上用的弹性件的种类逐年增加，现在据说已达几百种之多。虽然防振橡胶的种类因汽车的车系、车型、车种以及因悬挂机构的不同而多少有些差异，但其有代表性的主要种类可归纳为如图5.4.1。图5.4.1汽车常用的橡胶衬套用橡胶作防振材料的主要理由如下。1)橡胶的弹性模量与金属相比非常小，隔离振动的性能优越。图5.4.1 汽车橡胶减振零部件分布2)橡胶是不可压缩性的物质，泊松比为0.5。能在应力与变形

2、之间产生时间延迟，具有非线性的性质，适合作防振材料使用。3)防振橡胶本身不会诱发固有振动，出现冲击性的谐振现象。 4)具有能自由选择形状的优点，可适当选择三方向的弹簧常数比。 5)容易和金属牢固地粘结在一起，可使防振橡胶本身体积小，重量轻，其支撑方法也很简单。 6)安装后完全不需要给油和保养。 7)橡胶弹簧可通过不同的配方和聚合物来选择其阻尼系数。 8)能在形状不变的情况下改变其弹簧常数；或者在弹簧常数不变的情况下改变其形状，这也是它的优点。悬架系统承受车体重量，防止车轮上下振动传给车身，抑制簧下的不规则运动，传递动力、制动力和操纵时的侧向力等，从而保证汽车能够正常行使。悬架可分为独立悬架和非

3、独立悬架两个大类，而且每一类型中又有多种具体型式。一般前悬架系统和操纵系统及发动机系统有密切关系，前悬架系统的布置会直接影响到乘坐舒适性和操纵稳定性。近年来，在轿车独立悬架系统的设计开发过程中，采用刚度相对较小的弹簧来提高车辆的乘坐舒适性，就必然导致动行程过大等现象，从而直接影响到车辆的转向系统。前悬架系统振动与车身晃动、路面冲击、车轮摆振等现象相关，为防止上述各种振动，车辆悬架系统中使用了许多防振橡胶。橡胶衬套最初在车辆悬架系统中的大量使用，得益于其无需润滑，维修保养简单，可以校正车辆组装时的对准定向，修正各种误差等优点，得到广泛应用。随这人们对车辆性能要求的不断提高，近年来橡胶衬套除了要具

4、备上述功能外，还要求起到抑制振动的作用。例如，振颤现象、路面的冲击和发动机转矩变化造成的后承重板簧系统的角振动谐振，是产生车内噪音的原因，橡胶衬套对此有影响。随着车辆性能的不断提升，影响车辆操纵稳定性、平顺性能等重要因素越来越多的集中在了车辆的悬架系统中，而在车辆悬架系统性能的分析工作中，都必须设计到悬架橡胶衬套性能，特别对于高速行驶的车辆，橡胶弹性衬套性能的影响至关重要。为此，在研究悬架系统的工作中，这是一项很重要工作。2 悬架橡胶弹性衬套分类通常的衬套按制造方法和特性可分为以下几类：A)只有橡胶的橡胶衬套；B)只有内筒的衬套；C)有内外筒的衬套。(1) 内外筒粘结型；(2) 内筒粘结、外筒

5、压入型； (3)内外筒都是压入型。合成橡胶衬套是汽车或其它车辆悬架系统中使用的一种结构元件。衬套实质上是一个空心圆柱体，包括内金属杆、外圆柱金属套筒和它们之间的合成橡胶。金属套筒和杆件与车辆的悬架系统的部件相联用来传递从车轮通过合成橡胶材料到底盘的力。合成橡胶材料被用来减少连接处的振动和冲击。因为它们连接在车辆悬架系统中的不同部件上，套筒和杆件承受平行和垂直于它们共同轴线的相对位移和转动。就是这种相对位移使合成橡胶弹性衬套受力并允许通过衬套传递力。在分析包括了衬套的悬架系统时，工程人员越来越多的使用多体系统动力分析的方法和软件，特别在汽车行业应用非常广泛。福特汽车公司的工程技术人员通过选择正确

6、的衬套模型来对悬架系统的动力学特性进行预测，为了准确预测作用在悬架系统零部件上的动力学载荷，就必须对衬套的性能进行预测。在实际使用过程中，衬套特性是用力-位移关系来表达的。因此，确定正确的力-位移特性关系就成为衬套分析中的重要课题。5.4.2弹性橡胶衬套静特性分析的理论及方法 1 橡胶衬套的静力学特性橡胶衬套一般有三类：衬套长度不变；衬套长度随半径线性变化；切应力和衬套半径无关为常数。1)轴向剪切特性 对于长度不变的衬套式橡胶弹簧，在轴向力作用下，位于距轴线不同距离的橡胶各点上承受有不同的切应力，而在距轴线等距离的各点上则由于结构和外力对称其切应力相同。在较大变形情况下，半径处的剪切变形量可由

7、下式给出： (5.4.1)由此得到总变形量为：在近似计算时，其轴向剪切刚度为： (5.4.2)以上是纯剪切情况下推导的公式，如果考虑弯曲变形的影响，其刚度为 (5.4.3)式中： (5.4.4)如果式(5.4.3)的括号中没有第二项，则式(5.4.3)便和式(5.4.2)相同，所以这一项是反映了弯曲变形的影响。对于长度随半径线性变化的衬套式橡胶弹簧，轴向剪切变形为：在近似计算时轴向剪切刚度为： (5.4.5)对于切应力和半径无关的衬套式橡胶弹簧，其轴向剪切刚度为： (5.4.6) 2)同轴扭转特性 图是衬套式橡胶弹簧同轴扭转时的变形图。长度随半径线性变化的衬套式橡胶弹簧的同轴扭转刚度为： (5

8、.4.7)切应力和半径无关的衬套式橡胶弹簧，其同轴扭转刚度为： (5.4.8)3)径向变形和弯曲变形特征衬套式橡胶弹簧在径向变形(图5.4.2a)或者弯曲变形(图5.4.2b)时，橡胶的应力状态是非常复杂的，并且具有剪切、压缩和拉伸应力综合的特征。所以，有关特性的计算也比较复杂，这里只列出刚度的近似计算公式。径向刚度为： (5.4.9) 本文中将对橡胶弹性衬套的轴向刚度进行基于弹性理论基础上的理论研究。为了研究方便，将研究弹性衬套简化为如图5.4.2所示的弹性衬套。其内外与刚性的金属套筒粘结，半径分别为和，长度为。图中只绘出了橡胶部分。假定所研究衬套的橡胶是均质、各向同性和不可压缩的，那么就有

9、足够小的位移梯度，因此，可以使用经典弹性理论进行分析工作。图5.4.2 (a)衬套通过z为常数的横断面 (b)过x=0的轴向横断面在衬套橡胶内建立参考坐标系，原点位于衬套轴线中心，轴与衬套轴线重合。相对于原点的任意一点在直角坐标系的坐标和其在圆柱坐标系中坐标的相互关系为： (5.4.10)假定衬套内套筒固定,外侧套筒受到轴方向力的作用。因而引起衬套外套筒在方向上偏移距离，如图5.4.3所示。这里的工作就是要找出轴向作用力和衬套轴向方向上偏移距离表示的刚度的数值。这里应用的是经典弹性力学的知识进行分析的。在弹性力学中，研究问题的方法最终都可以归结为对三个平衡方程、六个几何方程和六个物理方程以及剪

10、应力互等约束的十五个方程和若干边界条件的联立求解问题。由于所研究衬套为圆柱形物体，故本文中使用的是圆柱坐标系统下的方程组。根据研究问题的特殊性，衬套在所使用到的方程为分别为：平衡方程： (5.4.11)图5.4.3 轴向变形的衬套过x=0的轴向横断面 图5.4.4 衬套的扭转变形几何方程： (5.4.12)、和分别为径向、切向和轴向正应变分量。物理方程（本构方程）： (5.4.13)、和分别为径向、切向和轴向正应力分量。这里是杨氏模量，是剪切模量，是泊松比。这三个常数之间的关系为： (5.4.14)从而得到： (5.4.15)对于小应变，根据不可压缩假定，有： (5.4.16)P点位移的径向、

11、切向和轴向分量分别、和用表示。 (5.4.17)方程仅取决于，而则取决于和。根据如上方程，非零应变分量如下： (5.4.18)根据(5.4.16）式，得到： (5.4.19)故有： (5.4.20)根据物理方程(5.4.13)，得： (5.4.21)平衡方程(5.4.11)化为： (5.4.22)由方程(5.4.21)得： (5.4.23) (5.4.24)这些公式完成了作用在橡胶内任意点P的非零应力分量的描述。现在考虑一个和组成的微小面积，作用在该面积上体现在方向上应力为，因此得到： (5.4.25)将方程(5.4.21)代入(5.4.25)，经整理得到微分方程： (5.4.26)求解此方程

12、，得到其一般解为： (5.4.27)由边界条件确定积分常数，得到： (5.4.28)整理后得到： (5.4.29)回想方程(5.4.20)，得到： (5.4.30)分析衬套的变形协调关系，有如下边界条件： (5.4.31) (5.4.32) (5.4.33)将方程(5.4.29)和(5.4.30)代入上述的边界条件，整理得到轴向刚度： (5.4.34)2径向载荷作用下橡胶弹性衬套的刚度Hill推导了根据有限傅立叶和傅立叶-贝塞尔系列减少径向刚度的表达式，他的数值估值是比较笨的。对于特殊情况，他分别重新生成了长和短衬套前面建议的减少径向刚度L和S的公式。在对长衬套的平面假设下他发现： (5.4.

13、35）对短衬套进行广义平面应力 (5.4.36）对于一个有限长度衬套，他建议L和S应该严格在对于长和短边界下给出。考虑一个圆环形橡胶衬套，其内侧和外侧分别与刚性的圆柱体金属套管连接，半径分别为a和b，如图所示。基于经典弹性理论，Horton，Gover和Tupholme归纳出径向刚度精确的无量纲表述: (5.4.37）这里： (5.4.38）1)近似径向刚度使用如上方程，可以很近似的给出： (5.4.39）这里系数c1和c2选做取决于D的动力系列展开中的和。分析计算是麻烦的但很简单。简化的径向刚度对应于方程(5.4.37）近似通过如下方程给出： (5.4.40）这里：， (5.4.41）而且有

14、： (5.4.42） (5.4.43）对于图b情况，弯曲刚度为： (5.4.44)式(5.4.43)和式(5.4.44)中的表观弹性模量，而式中的形状系数为： (5.4.45)3弯曲变形下橡胶弹性衬套的刚度轴向长度为L的圆环形橡胶衬套其内侧和外侧分别与半径外a和b的刚性圆柱性金属套管联结。见图5.4.4。 内套管在固定位置夹紧，一组相对于x轴幅值为M的力矩施加于外套筒上，因而使外套筒产生了一个很小的角度。随后产生的结果见图中所示。弯曲刚度： (5.4.46)可以计算出对于内外径为a、b，长度为L衬套的精确值。其中： (5.4.47) (5.4.48)这里： (5.4.49) (5.4.50)矩

15、阵就是将矩阵中的第一列用矩阵代替的结果。5.4.3 弹性橡胶衬套动特性1 橡胶衬套的动力学性能当应力作用于橡胶元件时，并不能立即达到相应于应力值的应变程度，应变总是多少滞后于应力。在应力状态或缓慢施加应力的情况下，这个时间上的滞后不怎么重要。但是，在动力状态或应力迅速变化的情况下，这个滞后现象就不能忽略了。它是在设计橡胶弹簧时需要考虑的重要问题。1)橡胶弹簧的复数模量由于橡胶弹簧是粘弹性体，因而当它在应力作用下产生变形时，只有部分能量转换为位能，其余将转化为热量损耗掉。作为热量损耗掉的能量表现为力学阻尼。这是橡胶弹簧所固有的内部阻尼，而理想弹性材料则没有这种力学阻尼。为使分析简单起见，假设应力

16、的变化是正弦曲线性的，同时还认为有效应力是由以下两个分量构成的：(1)弹性盈利分量，它的变化与应变同相位(曲线1)，因而该曲线在相应的垂直标尺上当然也表示应变；(2)粘性应力分量，它与应变相位差/2(曲线2)，该分量的大小取决于应变的速率。可以证明，同为正弦曲线变化而相位差/2的两个上述应力分量，合成后的总应力也是一个正弦波，但是相对于弹性应力分量的曲线1推迟了一个角度(曲线3)。设和分别为弹性应力分量和粘性应力分量的振幅，则由图中曲线3代表的总应力为： (5.4.51)而相位角为： (5.4.52)较为方便的方法是，把弹性应力分量和粘性应力分量看作两个独立模。因而有效弹性模量是一个由真正弹性

17、分量和粘性分量构成的复数模量。它们之间的关系可由图所示的矢量图由下式表示： (5.4.53)同样，对于复数切变模量也可以写出矢量式 (5.4.54)式中和为模量的实数部分，和为模量的虚数部分，。相应地，由图可以写出或 (5.4.55) 通常把应力和应变之间的相位角称为机械损耗角，而把称为损耗因子。此外，模量的叙述部分是阻尼项，它决定了橡胶元件受应变时转变成热的能量损耗，所以通常也把和称为损耗模量。2)橡胶弹簧的内部阻尼对于减振橡胶来说，目前尚没有比较满意的内阻理论，还需要更多的实验数据。由于应力和应变之间存在一个相位差，因而在动力学试验中将得到一个滞后回线。如果应力和应变是正弦曲线变化的，那么

18、这个滞后回线(动态应力和应变曲线)将是一个椭圆。此椭圆的长轴AB的斜率等于复数模量或(也可以写成或)。滞后回线的面积等于橡胶单位体积在每个循环中所损耗的能量，其值。3)硫化橡胶的动态特性图5.4.5正旋波的应力与变形3影响动态特性的因素11 正弦波振动首先研究图5.45中正弦波应力与变形彼此对应的情况。把应力与变形任一方作为输入函数，而把另一方作为响应函数都是可以的：变形： (5.4.1a)应力： (5.4.1b)在实际的物质中，应力的相位常常比变形超前(即在外力作用之前，实际上不存在物质的变形)，其相位差处于下述范围之内： 将(5.4.1b)式改写成如下形式： (5.4.56)式中，右侧第一

19、项是与变形同相位的应力分量，第二项是相位差为90的应力分量。求各应力分量的振幅(峰值)和变形振幅之比。 (5.4.57) (5.4.58)式中角为损耗角，Gl为存储弹性模量或动态弹性模量，G2为损耗弹性模量。另外 (5.4.59)为损耗系数或损耗正切，是表示橡胶材料阻尼(内摩擦)大小的量。 (5.4.60)为复数，所以叫复数弹性模量。弹性模量的倒数叫柔性模量，此时，把(5.4.56c)式的时间原点向左移，写成更为方便的公式。变形 (5.4.61a) 应力 (5.4.61b)(5.4.61a)式中右侧第一项是与应力同相位的变形分量，第二项是相位差为90的变形分量。 (5.4.62a) (5.4.

20、62b)式中为存储柔性模量或动态柔性模量，为损耗柔性模量。 (5.4.63)是和(5.4.59)式相同的损耗系数。复数柔性模量可用下式表达： (5.4.64)上述各弹性模量与各柔性模量之间具有下列关系，可根据一方计算另一方。 (5.4.65a) (5.4.65b) (5.4.65c)4 应力变形曲线用(5.4.56)式给出应力与变形时，从两式中消去，即得动态应力变形曲线。 (5.4.66)可以知道(5.4.66)式是二次椭圆曲线。图5.4.6 动态应力-变形曲线5.5如图5.4.57所示，分别平行于变形轴线及应力轴线的应力变形曲线作一外接长方形，而以、和、表示一变形曲线与长方形的结点，可以看到

21、，、与点逼近，、与点逼近。它们是不同于点和点的。 (5.4.67)另外，用、；、表示应力变形曲线与变形轴线和应力轴线的交点，则这些点的坐标如下： (5.4.68)根据动态应力变形曲线求橡胶的动态特性时，可用下列方法： (5.4.69a) (5.4.69b) (5.4.69c) (5.4.70a) (5.4.70b) (5.4.70c) (5.4.70d) 计算应力变形曲线所包括的面积，这个面积表示在一个循环中橡胶单位体积的能量损耗。 (5.4.71) (5.4.72a) (5.4.72b)图5.4.7 力与变形量的动特性试验曲线变形振幅一定的橡胶和应力振幅一定的橡胶，其发热量的评价函数是不相同

22、的。实际上，在大多数情况下，动特性试验采集到的信号都是以力的正弦振动为输入的力与变形量的关系，其结果如图5.4.7所示：那么，动刚度就为： (5.4.73)剪切模量为： (5.4.74)这里：测试片厚度；：有效横截面面积；复数剪切模量的实部和虚部分别为： (5.4.75)阻尼角正切： (5.4.76)5 与动态特性有关的因素硫化橡胶的动态特性是一种物质常数，一般是随下列因素而变化的量。(1)温度；(2)频率；图5.4.8三维体的拉伸和切变(3)平均变形与变形振幅，或平均应力与应力振幅。 上述三因素中，当要考查其中一种因素的影响，例如温度影响时，需要使另外二种因素(振动数、平均变形和变形振幅)保

23、持一定进行实验。 这样用独立变量求得的动态特性，称作温度特性、频率特性、振幅依存性。 现在就变形振幅的影响稍加说明。因为变形振幅本身很小，G与变形振幅无关的范围称为线性范围。在这个范围内，动态应力变形曲线为椭圆形，而且椭圆长轴的斜率与长短轴之比不变。超过这个变形振幅，应力变形曲线虽可看成是椭圆的，但椭圆长轴的斜率和长短轴之比有一个随变形振幅变化而变化的范围。换言之，G虽然可给以定义，但G是处于一个与变形振幅有关的范围内，这种变形振幅范围叫做准线性范围。如果变形振幅再大，则动态应力变形曲线不再是椭圆的(如新月型)。在这个范围内G已不能给以定义，完全处于非线性范围。橡胶配方中，天然橡胶和合成橡胶几

24、乎都含有碳黑(增强性填充剂)。含碳黑的硫化橡胶的动态特性将随变形振幅而变化。这一变化将随碳黑含量的增加而增加。因此，在表示橡胶的动态特性时，除标出温度和振动频率外，指出振幅(或载荷振幅)是绝对必要的。5.4.4 基于非线性粘弹性力学的橡胶弹性衬套特性研究在上述各种方法，都是在小变形的线性假设基础上，运用了经典的弹性理论来进行分析的，虽然在一定的范围内能够比较好的反映出橡胶弹性衬套的特性，但对其非线性特性却依然无法得到较好的结果。对于粘弹性材料而言，模量是依赖于时间引起的某些复杂因素的。在进行分析之前，首先需要对涉及到的参数进行严格定义。1 弹性模量如图5.4.8a所示，静态单轴拉伸应力的定义为

25、： (5.4.77) 表示单轴拉伸；其它符号见图5.4.8所示。物体在受到应力后将产生应变。单轴应力所引起的拉伸应变如下给出： (5.4.78)在经典物理中，用如下方程定义拉伸模量和拉伸柔量： (5.4.79)如图2-1b所示，切变应力为： (5.4.80)下标表示切变。切应变的定义为： (5.4.81)此处是图5.4.8b所示的角度。用如下方程表示切变模量和切变柔量： (5.4.82)根据各向同性固体的弹性理论，和以及和之间存在如下关系： 和 (5.4.83)式中为泊松比。2 瞬时试验考虑到粘弹性材料的松弛对时间的依赖型，问题复杂化了。在保持恒定的应力条件下，粘弹性材料的切变蠕变柔量由下式定

26、义： (5.4.84)式中表示恒定的切应力。拉伸蠕变柔量为： (5.4.85)式中表示恒定的拉伸应力。在保持恒定的应变的情况下，粘弹性材料的拉伸松弛模量为： (5.4.86)式中表示恒定的拉伸应变。切变应力松弛模量为： (5.4.87)图5.4.9 动态试验时，杆的实际位置(a)弹性杆 (b)粘性杆 (c)粘弹性杆式中表示恒定的切应变。这里，模量和柔量的定义与静态定义不同，需要注意的是：只有在保持应变恒定的试验中，才能直接测定和，只有在保持应力恒定的试验中，才能直接测定和。如果混淆了条件，测定的结果就会大错特错。3 动态试验在动态试验中，应力和应变不是阶梯函数，而是一个角频率为的振动函数。试验

27、中，杆状样品固定在夹盘上，在样品端部挂砝码，杆以频率旋转。杆将发生如图5.4.9所示的变形。弹性杆的模量不依赖时间，所以如果形变是切变的，则切变量就可以写成： (5.4.12)在上式中，应力可表示为： (5.4.88)由此得到应变为： (5.4.89)对完全粘性的杆件（图2-5b），其基本性状描述为： (5.4.90)对粘性体而言，应变速度与应力成线性关系，其比例常数称为粘度系数，简称为粘度。考虑方程(5.4.88)情况，方程(5.4.90)变为： (5.4.91)图5.4.10 矢量表示积分得到： (5.4.92)那么，粘弹性杆件的位移介于上述两种极端情况之间，就是说，应变将落后于应力，相位

28、差在0和90之间。运用矢量分析方法进行分析。矢量的值代表施加的应力最大值，该矢量以角频率按反时针方向旋转。应变将在一定程度上落后于应力，通常把二者的相位差称为损耗角。用矢量表示应变，其旋转频率与的频率相同，数值正比于应变极大值。应力与应变不会同时达到最大值。如图5.4.10所示，分别将矢量在矢量上投影和矢量在矢量的投影综合表示在图上并将粘弹性响应分成“同相位”（应力与应变方向一致） 和“异相位”（应力与应变方向垂直） 分量，则同相位和异相位切变模量和由下式给出： (5.4.93)同理，将切变柔量函数和定义为： (5.4.94)并且有如下关系成立： (5.4.95)通常将称为损耗正切。带单撇的参

29、数称为储能函数，带双撇的参数称为损耗函数。这种称呼是基于这样一个事实：同相位的应力和应变构成可以完全复原的弹性储能，而有90相位差的应力和应变构成损耗于体系的能量。此外，也有用复数模量和复数柔量术语的表示方法，这两种方法的差别仅在于采用了复数平面。4 Boltzmann叠加原理Boltzmann叠加原理是聚合物物理学中最简单而又最有用的原理之一。在静态基础上考虑时间的影响。Boltzmann叠加原理指出，这两个应力将独立作用，两个应变线性叠加，如图5.4.11所示。对于在时刻时施加不连续的应力增量，则有如下关系： (5.4.96)对连续施加应力结果如下： (5.4.97)同理得到： (5.4.

30、98)利用分部积分方法，将方程(5.4.97)化为： (5.4.99)如果假设等于零，也可化为： (5.4.100)同理得到： (5.4.101)方程(5.4.98)、(5.4.99)、(5.4.100)和(5.4.101)中的任何一个都是Boltzmann叠加原理的完整描述。5 蠕变柔量和应力松弛模量之间的关系根据方程(5.4.100)和(5.4.101)，借助Laplace变换分别得到蠕变柔量和应力松弛模量之间的关系。分别对方程(5.4.101)和(5.4.101)进行Laplace变换，得到柔量和模量在变换空间中问题的解： (5.4.102)利用Borel法则和Laplace变换结果，得

31、到转换回实空间的最后结果： (5.4.103)这是蠕变柔量和应力松弛模量之间关系的卷积积分，它是严格成立的，并仅依赖于Boltzmann叠加原理的适用性。6 静态性质和动态性质之间的关系根据Boltzmann叠加原理可以推导出拉伸应力松弛模量和同相位及异相位的动态拉伸模量及关联起来的方程。根据方程(5.4.99)，假定所施加的应变是由下式表达的正弦变化应变： (5.4.104)式中是应变振幅最大值。得到： (5.4.105)将项展开： (5.4.106)用复数正弦变化表达振动函数时，拉伸应力和拉伸应变之比是复数拉伸模量。动态模量函数中可由拉伸松弛模量计算得到： (5.4.107)使用Fouri

32、er变化方法，将这些关系进行逆变换，就可以得到作为动态性质函数的静态模量。作用在弹性衬套内外套筒上的力与它们变形量之间的关系是非线性的，这个性质显示出粘弹性特征。对于多刚体系统动力学数值仿真分析而言（如Adams软件中），找出合成橡胶力-位移之间的关系是非常重要的。在单独的研究工作中，人们介绍尝试过了可以用于多体系统动力学分析中的力-位移关系。此关系时用了力松弛函数来表达，得到了一种从衬套试验数据确定这种关系的方法。在这里的研究方法中，由于衬套中的合成橡胶材料特性的复杂性，为分析工作带拉了巨大的困难。衬套中使用的材料具有粘弹性和非线性特性，因此，对应的力和位移之间的关系是非线性的，而且与时间有

33、关。在密歇根大学机械工程与应用力学系汽车结构耐久性仿真中心进行的衬套的力-位移响应研究已经证实了这个事实。从一维测试中得到的试验数据说明力相对于变形具有明显的非线性特性。有两种基本方法可用来确定所需要的衬套力-位移关系。第一种，在典型响应模式下应用力学中使用的标准方法来建立力-位移关系，用一个衬套合成橡胶材料的三维本构方程开始。这个本构方程在大变形和长时间条件下把应力和应变联系起来。本构方程、平衡方程和几何方程组合起来定义正确的边界值问题，这样来描述响应。因为响应的非线性性能，此过程无法导出可以进行准确数学表达力位移关系。也可以指定力或位移，其它量通过求解边界值问题得到，这种方法可以用来计算任

34、何给定衬套的力-位移关系。这种方法的一个缺点是非线性粘弹性响应本构方程的建立是很困难的。在各种出版文献中，这种本构方程仅有很少的几个例子。而且，确定这种本构方程需要进行大量的试验工作。这种方法的另一个缺点是力-位移关系明确定义为边界值问题的解。使用这个模型需要重复计算边界值问题的解。确定力-位移关系的第二种方法是从试验数据中直接得到。这种方法的优点是能够直接获得多体系统动力学分析中使用的力-位移关系。其缺点是在每个衬套的设计工作中都必须重复这个过程。目前，在公开出版的文献中很难找到研究衬套力-位移特性的内容。在少有的研究中，使用了上面提到的第一种方法。Adkins和Gent建立了径向、轴向、扭

35、转和圆柱形衬套联结变形的圆锥形模式的力-位移关系，他们的结论明显是使用弹性线性理论得到的，因此没有考虑到非线性、时效性和这两种模式之间的耦合作用。Morman等人用非线性粘弹性固体理论建立了合成橡胶衬套材料的模型。假定了一个本构方程，并使用有限元方法来分析在大平衡变形上叠加了小幅振动的情况。尽管他们使用的方法对研究衬套响应是很重要的，但并不能说明瞬态响应过程，因此在多体动力学中的使用受到极大的限制。Wineman等人使用上面提到的第二种方法并建议了对于单模式衬套响应（组合了非线性带有时间性粘弹性的位移）的力-位移关系。它使用力松弛函数表达，衬套特性直接通过试验确定。力松弛函数描述了衬套对应于每

36、一位移的力。当前工作的目的是准确获得文献中的力-位移关系并确定他的力松弛函数特性的方法。1) 基于非线性粘弹性力学的衬套轴向力-位移关系考虑衬套力-位移关系，这个关系中组合了对于粘弹性的时变和位移效应的非线性依赖关系。满足这种条件的最简单关系为Pipkin和Rogers的聚合物非线性粘弹性响应，Pipkin-Rogers模型可以写成如下形式： (5.4.108)R(,t)是衬套的特性和表示根据在时刻0是作用数量的阶跃的力。也就是说，R(,t)可以说成是位移变化的力松弛方程，假定R(0-,t)=0和R(,t)为对应时间t的单调递增函数。由上可见，确定力松弛函数的工作是非常重要的。对于粘弹体衬套材

37、料来说，在应变保持不变的情况下，力随时间的增加而逐渐衰减的现象叫做力松弛。图5.4.12(a)表示在不同时间内给试样施加一阶跃位移输入情况下，5.4.12(b)表示了力值的变化情况，5.4.12(c)为根据输出力的统计结果外推零时刻力的情形。图5.4.11 顺序施加在样品上的应变的线性叠加图5.4.12 力松弛斜坡位移控制试验确定衬套材料的力松弛函数后，就可以针对橡胶衬套进行模型的建立工作，并给出衬套的力松弛函数结果。这些工作需要进行大量的试验工作来配合。根据方程(5.4.2)就可以确定基于粘弹性分析的衬套的轴向刚度特性。2) 显式力-位移关系参数，通过使用非线性最小二乘方法得到并在表5.4.

38、1中列出。 表5.4.1与力松弛函数相关参数I10.693940.106550.11171015.46082.0170无2-0.09589-0.02521-0.02428010.33341.7875无30.028640.007510.00753-0.000039.01361.73580.024得到轴向运动的Pipkin-Rogers模型的完整表达式： (5.4.109）这里： (5.4.110)这里：等参数见表4。这种方法得到的关系是显式的，但结果是近似的，这种方法也只是在非常有限的范围内证明有效，而且确定衬套材料的力松弛试验的实施也有一定困难，使其通用性受到限制。其它刚度特性也可以用同样的方

39、法得到。5.4.5 弹性橡胶衬套在工程中的使用目前，车辆和悬架系统性能系统中使用了基于多体系统动力学理论的Adams软件。在模型建立的过程中，比较准确的确定悬架系统中弹性橡胶衬套的各向力学性能对车辆和悬架系统的仿真分析至关重要，往往必须进行大量实测才能确定。而且，在新的设计工作中，只能采用比例缩放的思想进行设计，增大了设计工作中的不确定因素。上3、4节中，总结了迄今为止前人的大量工作，在这些工作的基础上，本文将提出弹性橡胶衬套在实际工程中的近似计算方法，为设计分析工作提供一定的支持。下面，结合试验来讨论以下前人工作结果在工程中的一般使用情况。选择几种弹性橡胶衬套，对其做静、动态试验，试验在无锡

40、中策减振器有限公司进行，试验设备如图5.4.13、5.4.14所示。图5.4.13 MTS静态试验台图5.4.14 SCHENCK动态试验台 1 弹性橡胶衬套静特性的近似计算方法结合试验，分析静特性计算公式与实际弹性衬套特性的符合情况，并找出对不符合的改进对策。1) 轴向刚度选择三个弹性橡胶衬套为研究对象，实际测量了其轴向刚度，试验装置见图所示，试验曲线如图5.4.15、5.4.16所示，具体参数见表5.4.2：表5.4.2 三个弹簧衬套的特性编号有效长度(mm)内径(mm)外径(mm)试验轴向刚度(N/m)理论轴向刚度(N/m)误差(%)备注1261629416666.74559939.48

41、无孔27731.264.51625001664763.1924有孔1号衬套天然橡胶：G1.66 Mpa，取泊松比0.5，则E3G4.98Mpa。2号衬套天然橡胶：G2.499 Mpa，取泊松比0.5，则E3G7.497Mpa。（数据来源：防振橡胶及应用，pp 163）。由上述结果可见，弹性橡胶衬套的轴向刚度一般呈线性，采用理论公式（3）对橡胶弹性衬套的轴向刚度进行估算时，与实际试验的刚度结果的误差在10以内，可以反映出轴向刚度的实际情况，计算误差在工程范围内可以接受，理论公式（3）可以用于估算圆筒型橡胶衬套的轴向刚度。对于开有径向减弱孔的衬套，这些开孔对轴向刚度的影响并不是很大，在其正常的使用

42、范围内是线性的。同时，我们也应当看到，计算结果对衬套几何参数的简化、剪切模量的依赖性很强，而橡胶材料生产制造中性能的稳定性较差，都会导致计算数值与试验数值之间的误差，造成这种误差的原因主要是简化参数的选取和橡胶剪切弹性模量，对不同衬套应该分别测定其弹性模量的数值。图5.4.19 径向动态试验装置图5.4.18 径向刚度试验装置图5.4.17 轴向刚度试验装置图5.4.20 衬套1径向刚度试验曲线图5.4.21 衬套3径向刚度试验曲线2) 径向刚度选择三个弹性橡胶衬套为研究对象，实际测量了其径向刚度，试验装置见图5.4.23所示，试验曲线如图5.4.20、5.4.21、5.4.22所示，具体参数

43、见表5.4.2：图5.4.22 衬套3横断面及对应方向的径向刚度 衬套一般是径向的刚性高，所以为了改进动态特性，衬套开孔以改进径向的弹簧常数，但组装时有方向性，耐久性也降低，这是不能避免的缺点。表5.4.3：径向刚度编号有效长度(mm)内径(mm)外径(mm)试验刚度(N/m)理论刚度(N/m)备注方法1误差(%)方法2误差(%)12616295014285.4421859815.8452315711.9无孔278.842.258.49756097.6756702522.4864510311.4无孔37731.264.5X783333.31690909.1332952632.596.91152

44、6228631.8有孔Y5000001250000200000056.616666.51307.842.3U147258812621.81号衬套天然橡胶：G1.66 Mpa，取泊松比0.5，则E3G4.98Mpa。2号衬套天然橡胶：G6.5 Mpa，取泊松比0.5，则E3G19.5Mpa。3号衬套天然橡胶：G2.499 Mpa，取泊松比0.5，则E3G7.497Mpa。 （数据来源：防振橡胶及应用，pp 163）由于弹性橡胶衬套受到径向载荷工况对橡胶衬套的性能的影响最大，要求也最苛刻，所以，径向刚度的研究就显得尤为重要。对于结构形式与推导理论模型出入不大的1、2两个弹性衬套，刚度特性的计算在工

45、程上是可以接受的。但对于复杂的3号橡胶衬套，由于在X，Y作用方向上开有孔隙，呈非线性特性，表2中分段表示其刚度，理论推导模型的结构形式差异太大，吻合程度很差，这时候理论模型已经不再适用。b. 扭转刚度选择两个弹性橡胶衬套为研究对象，实际测量了其扭转刚度，试验曲线如图5、6所示，具体参数见表5.4.4：图5.4.24 衬套2扭转试验曲线图5.4.23 衬套1扭转试验曲线表5.4.4：扭转刚度编号有效长度(mm)内径(mm)外径(mm)试验刚度(N.m/rad)理论结果(N.m/rad)误差(%)备注178.842.258.4650.9无孔296.26182.76636.6开孔1号衬套天然橡胶：G

46、6.5 Mpa，取泊松比0.5，则E3G19.5Mpa。2号衬套天然橡胶：G2.499 Mpa，取泊松比0.5，则E3G7.497Mpa。 （数据来源：防振橡胶及应用，pp 163）c. 弯曲刚度上节中给出了弯曲刚度的计算公式，这个公式虽然有一定的计算精度，但也有计算繁琐，求解困难等缺点，在实际工程应用时必然受到限制。而且，在一般的情况下，虽然衬套的弯曲刚度对其使用性能非常重要，但实际生产和检测时，由于试验条件的限制，测量衬套弯曲刚度的工作往往不作要求。根据实际使用情况，衬套的径向刚度都是必须测定的，那么，是否可以根据径向刚度在线性范围内近似求得其弯曲刚度呢。本文就这个问题进行了初步研究，并取

47、得了可行的实际效果。图5.4.25 径向刚度与弯曲刚度关系示意图如图5.4.25所示，利用径向刚度公式近似推导弯曲刚度公式的示意图。图中，一个完全自由的弹性衬套，当其受到大小相等，方向相反并作用在同一轴线上的两个力的作用时，根据力的平移定理，将其近似等效为分别作用在衬套两端的两个大小相等的力和一个力矩作用的情况。而这种情况又是弯曲工况和衬套两端分别只受到两个集中作用力情况的组合。由于初始状态下和两端只受到集中载荷作用情况下的刚度和变形情况是可以确定的，故可以间接求出衬套的弯曲刚度。初始状态下，在图示横截面内衬套的内外套筒之间变形量为零，故等效后衬套的内外套筒之间变形量仍然为零。也就是说，在弯矩

48、作用下衬套的变形量应该与衬套两端受到力作用的变形量大小相等，方向相反。根据静特性分析中的结果和线性假定，设衬套在两端受到力作用下端部变形量为，则由此形成的衬套扭转角就有：故弯矩形成的角度也应该为，故弯曲刚度有： (5.4.111)其中： ： 弯曲刚度。： 径向刚度。： 受单侧集中力作用时衬套端部的径向变形量。这样，我们就建立了径向刚度和弯曲刚度之间的关系，可根据径向刚度直接估算弯曲刚度。受单侧集中力作用时衬套端部的径向变形量的求解，可参照轴向载荷的分析方法，这里不再详细列出计算过程。得到单侧集中力作用下的衬套变形量为：选择了客车空气悬架中使用的一种弹性衬套为研究对象来验证这个公式的使用情况。图中表示了该衬套的径向刚度和扭转刚度，改衬套没有开减弱孔。由图5.4.26可见，该衬套的径向刚度约为15384615.2(N/m)，由图5.4.27可见，该衬套的扭转刚度约为636.6(N.m/rad)。图5.4.26 某衬套径向刚度试验曲线图5.4.27 某衬套弯曲刚度曲线试验曲线由方程(5.4.111)： (N.m/rad)与试验结果的误差：这里实际上使用线性假定的前提，由于橡胶衬套具有粘弹性非线性特性，此计算结果与实际弯曲刚度必然存在一定的偏差，但这个结果在工程上的使用情况具有实际应用价值。2 弹性橡胶