辛普森公式

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1、Simpson算法及其推广形式摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究 了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。首先是对 一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及 其算法，进行误差分析，并且列举了实例。然后，对辛普森公式进行改 进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛 普森公式对积分的计算更加精确。另外，还研究了辛普森公式的推广形 式。最后，在结论的当中列举了一个例子。关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式Abstract : This paper first studies the calc

2、ulation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpson formula and the double integral simpson formula problem. First, study the algorithm and derived of one-dimensional simpson formula and step-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpso

3、n formula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this , improve the simpson formula. This improved the most important is to increase the simpson formulas accuracy of algebra. Besides, we study the simpson formulas promotion of forms. At the last, we list a example in the conclu

4、sion.Key word： The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral.1引言辛普森公式主要的研究数值积分(numerical integration)的。何谓数值 积分呢？其是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的离 散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被 积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布 尼兹公式计算定积分的机会是不多的。

5、另外，许多实际问题中的被积函数往往是 列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方 法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。 对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在 数值积分这个领域做出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被 积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形 称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它 们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行

6、加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结 果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。 当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况 下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方 程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。在数值积分的研究辛普森是一位很重要的数学家。辛普森(Thomas Simpson， 公元1710年8月20日一公元1761年5月14日)是英国著名的数学家，他生于 英格兰列斯特郡，并卒于同地。他的父亲是一位纺织工人，所以他主要靠自己力 学成材，而他的第

7、一份工作也是纺织。他对数学的兴趣最初是由一次日蚀所引发 起的，他在一位占卜师的指导之下，他学会了算术和基本的代数。其后他放弃了 纺织的工作，而当了一间学校的司阍。凭借他刻苦和持久的努力，他证明了他在 数学方面的能力，以致于1735年他能够解决了数个有关微积分的问题，1737年 他便开始撰写有关数学的文章。在1754年他成为了淑女日记一书的编辑， 及后他到了伦敦的乌尔威治并出任数学教授一职，直至逝世。辛普森最为人熟悉的贡献是他在插值法(Interpolation )及数值积分法 (Numerical Method of Integration)方面，事实上他在概率方面也有一定的工作，他在1740

8、年推出了他的机会的特性和法则(The Nature and Laws ofChance),而大部份他在这方面的结果也是建基于棣美弗早期的结果。另外，当 时有一群讲师巡回在伦敦咖啡屋讲学，而辛普森是当中最突出的一位。他专研有 关误差理论(Theory of Error)，并且意图证明数算平均数比单一观察较佳。Simpson公式就是他的代表的定理。在辛普森之后，很多后人都在其的基础上，不断完善simpson公式，使其公 式越来越完善。其中，华罗庚，王元的著作数值积分及其应用中，就是用数 论的方法研究辛普森公式。在其研究中，假设f G)是一个在a,p内定义了的函 数，以后如果用到几次微商，便假设定f

9、 (x)有几次微商。我们用Euler求和公 式(详细参考该书第一章的内容)来推出普通数值积的Simpson法。从而得出下 面的内容:命12R = -R + 2R (其中R，R参照该书第二章的 s 3 t 3 rt r和2节)则得R =ja f (t dt-Piaf , + , + 2 习,+ / y ，s P 6 I 0 ”i=o i+2 J而且simpson公式的余项由(1)与(2)为1)+36r =3 卜虫 _ x+土s I n ) o 3363I1 fP3 jn | b (x)+ 2b 0 k 22)f( p a a + xnJdx其中(1)ja f(t)dt ypE y+1 (y +

10、y) pn k 1 2 0 ni=1/=2) j(b (x)L)f，ja+xzjdxk n J o k 212 J k n J(2)PPaj3 1E 1 V (P1 jpaj,R = - I jn2 b (x) f- a+ x + dx r k n J2 k 224 J kk2 J n J如果fiv (x )( x b )存在，由部分积分可得f a+x jjb (x)+2bx -1 0 V 33 V 2 77jn Ib2 (尤)+2小1 0 VI 2 770 -an0 -a、n一 rf a + xdx =dx(此处用了 b (0) = 0, b f1 ) = 0 )33 V 2 )0 ab (

11、x)+ 2b x -LV 44 V 2)0 a+ f 宜)2 jn f b (x)+ 2bV n 7 0 V 44a + x 0-a) Vn7dx*总侦(a)-司)fy2 j n f b (x )+ 2b0V44Vna + x 0-a) Vdxf0)2 jn fb (x)+ 2bV n 7 0 V 44960 7a + x 0-a) Vn7dxR =- s 31f 0-a)5jn f b (x)+2b f x - 10 V 44 V 2 7960 7x f iv a + x定理1.1如果 f IV (x) M, (a x 0)，则证.由于jn b (x)+ 2b Vx - 2960dx0 -a

12、、dx、0x4 x3 x21+24 12 247201211+360+960dxx4 x3 x2-24 + 仍-一+24 720f 1)x + 3V _2 71if 1)x + 5V2 76-1 11+360+960dx)v 土 +180 26 73n180-24故得定理。定理1.2如果广(x)是单调非负递减函数，则侦 f “(a)324n3证.由jt b (x)dx=j2 x2x+1 0 20 V 2 2 12 Jdx = 01一，常有2dxR =- s 3x1f112f11,11dx+x+x+ 212V2 JV2 J6 JX 20 V 2dx =门3 门2241一108i fi3 j 4

13、b g -10 VV 2 J 7一 ff a + xV a、dx以及第二中值公式可得V n Jn-t f nn(t - j)dt k !(n-k)! 0j=0j丰k再利用h (b - h =立即可以得到w(n,k)=(b -a) (-1)n-k fnn(t - jt(2.1.11)nk !(n-k)! 0j=0许k在上面的（2.1.11）中，记n(t-j电t(2.1.12)0j=0j丰k则上面的(2.1.11)可表示为w (n, k ) = (b - a)C (n, k )从而前面的（2.1.7）可以表示为fbf (x)dx = (b-a)&(n,k)f (x )(2.1.13)k a k =

14、0上面的（2.1.12）和（2.1.13）称为牛顿-科特斯求积公式，利用（2.1.12） 得到的各C（n,k）称为牛顿-科特斯系数。虽然看上去利用（2.1.12）式计算为牛 顿-科特斯系数也还是有些麻烦，但是与前面的（2.1.4）对比可知，各C（n,k）与 具体问题无关，可以把它们“一次性地”计算出来，并制成表。这样，人们就可 以通过查表得到这些值，从而可以免去这一部分的计算。这样一来，上面的（2.1.13）就真的称为机械求积公式了。虽然在现代的计算机条件下牛顿-科特斯求积公式和牛顿-科特斯系数的作 用已经很有限，但是牛顿-科特斯求积公式所体现出来的独具创造性的思维方式 和大胆的探索精神为科学

15、计算领域中的研究树立了光辉的榜样。2.1.3辛普森公式在牛顿-科特斯求积公式中，如果取n=2时，那么k可以取0，1，2,此时 形成的的求积公式就是辛普森公式，利用（2.1.10），我们可以得到C(2,0 ) = (t J2 (t - 1)(t - 2 )dt =- 2x0!x2! 06C(2,1) =(-1)J1 (t - 0)(t - 2)dt =-C(2,2 )=览 f 1 (t - 0 )(t-1)dt =1 2x 2!x0! 06所以有(2.1.14)J bf (xdx = (b - a) 1 / (a)+ 4 / +1 /(b) a66 k 2 ) 6【】参考文献：甄西丰编著实用数值

16、计算方法清华大学出版社2006年2.1.4误差分析应用Newton-Cotes型求积分公式(2.1.13)计算定积分I (f)=Jb f (x )dx 时，一方面由于它是由式(2.1.1)去掉余项En (f )得到的，因而产生了离散误 差E (f )；另一方面，由于计算机的字长是有限的，函数值可能带有误差，并且 n计算In (f)还会有舍入误差。关于离散误差，我们有下面的定理。定理2.1设n为偶数且f (x)在a,b上有n+2阶连续导数，则Newton-Cotes型 求积分公式(2.1.13)的离散误差为E (f )= hn+3f(n+2)(n )Jp(t-1).(t-n)dt ne(a,b)

17、 n(n + 2)!0若n为奇数，且f (x)在a,b上有n+1阶连续导数，则Ee(a, b )(f )= f J? 2 (一1).(,-“ )出特别，n=2时，Simpson公式的离散误差为E2(f)=-95fM)h=由于Newton-Cotes型求积分公式的误差公式证明比较繁杂，下面给出辛普 森公式的误差的证明。证明：首先考虑构造一个三次差值多项式七(x)满足条件：() ( )() ()(a + b) (a + b)王口 (a + b) (a + b)p (a)= f (a), p (b)= f (b),p = f 和 p = f。可以333 k 2 ) k 2 )3 k 2 ) k 2

18、)证明满足上述条件的P3 (x )与f (x)的误差为f (x)- p (x)=些(x-a)34!r ax-V 2 J+b ? (x - b )(2.1.15)对(2.1.15)式两边分别进行积分得jbf (x)dx-jbp (x)dx = jbf (4)()(x - a) aa 3a 4!r ax 一一V 2 J+b T(x - b )dx又因为p3 (x)为三次代数多项式，而辛普森公式的代数精度为3.所以有jb p (xdx = (b - a )=(b - a )1 f (a )+4 fr a + b :+1 f (b )L 66V 2 J66 P3 (a)+ 4 P3从而有jbf (x)

19、dx-(b - a) 1 f (a)6a=j bM2(x - a ) a 4!+ T(x - b )dx据提设f(4)G)在a,b上连续，而(x - a )r ax- V 2 J1 (x-b) 0，由积分中值定理可知在a,b 中存在一个点门j 罗(x - a )r a4!=f(4)(n)jb (x - a )4!“ a(土 f (4)(q) 2880a + b ) xV 2 Jra + b )x 一 V 2 J(x - b )dx(x - b )dx因此jb f (x)dx -(b - a) f (a)6得证。【】参考文献：韩国强编著，数值分析，华南理工大学出版社，2005年2.2有限区间的变

20、步长复化辛普森公式2.2.1复化辛普森公式假设工,工,工,%,工,工,工把积分空间a,划分为2n等分，我们0 1 22（k 1） 2 k-1 2k2n也可以认为是其中的% ,% ,、,%把区间划分为n等份，并且% 就是第 0 22（k-1）2 n2 k -1k个子空间%2（k1）, %2的中点。记Ik, k = 1,2,n为f （%）在第k个子空间（k 1）, %2k 应用辛普森公式所求 得的积分值，则有1广穿f （%2（k-1）+ 4f （%2k-1 ）+ f （%22 nK【k k=1则有(2.2.1)S = -_a f (% )+ f (% )+ 42L f (%)+2云 f (% )2

21、 n6n02 n2 k-12 kLk=1k=1上面的（2.2.1）式称为复化辛普森公式，虽然我们也可以直接编写S2n的计 算机程序，但是没有必要那么急，而是我们要改进一下变步长复化辛普森公式的 性能。2.2.2变步长复化辛普森公式假设% ,% ,% ,% . .,%,% ,%把积分空间a,-划分为2n等分，那么0 1 22（k-1） 2 k-1 2k2n我们可以得到下面的3个不同的积分值：（1）利用林，k = 0,1,2,n这n+1个点处的函数值和复化梯形公式计算出T ；n（2）利用%., k = 0,1,2,2 n这2n+1个点处的函数值和复化梯形公式计算出T；2n（3）利用复化辛普森公式计

22、算出S ；2n显然，S，T，T之间应该存在一定的关系。2nn2n在这里，我们应该先知道复化梯形公式T = a - f （% ）+上f （% ）+Z1 f （% ）（2.2.2）n n 202 n J jLj=1另外T = 三2 n 2n2 f（*）+2 亍（七+艺 t 亍 q）j=i-这里的这两个式子的证明就不给出了。(2.2.3)按照（2.2.2）和（2.2.3）式方括号内的表示形式整理（2.2.1）式的方括号内的数学表达式，不难得到七=三*（ + ）（2.2.4）其中 = 2f G )+ 2f (七)+ 4； (x2k一1 )+ 疙 f (x2)k=1k=1E2 = f （x0）+ f （

23、气）+ 21 f （气k） k=1上面的E1，E2还可以进行进一步调整为E1= 4E 2 = 22 f (%)+2 f (七)+ E fj=12 f (xo)+ 2 f (x2 n )+E f (x2-k=1(2.2.5)利用前面的（2.2.2）和（2.2.3）式以及上面的（2.2.5），我们可以得到b a 4 丁 b a 1 rp/ Q Q6 E = 3T , & E = 3T（2.2.6）再由（2.2.1）和（2.2.6）式即得到4T - TS = 2nn(2.2.7)按照我们习惯记法，取n = 2k，则有2n = 2k+1，利用Sk +1表示由（2.2.7）式所得到的5膈，利用复化梯形公

24、式得到的梯形序列T 0,T11,，我们有S k + 1=（4T k +1-T k ）/3（2.2.8）所以由梯形序列T0,T11,，我们可以得到了一个新的序列式SI1,S2,称 之为辛普森序列。2.2.3复化辛普森公式的算法实现（1）复化辛普森公式的计算步骤1）确定步长h = （b-a）/N （N为等份数）。义=f (a + h2), S2 = 0。2)对k = 1,2,N-1计算S1 = S1 + f (a + kh + hj 2),S2 = S2 + f (a + kh)3) S = h f (a)+ 4S1 + 2S2 + f (b)/6（2）算法流程图复化辛普森公式的算法流程图见图1。

25、（3）复化辛普森公式的matlab程序按照（2.2.1）编写复化辛普森求积函数（函数名：s_quad.m）function I=S_quad（x,y）%复化辛普森求积公式，其中%乂为向量，被积函数自变量的等距节点；%y*向量，被积函数在节点处的函数值。n=length(x);m=length(y)if n=merror( the lengths of X and Y must be equal );return;endif rem(n-1,2)=0I=T_quad(x,y);Return;EndN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1)/N;a=zeros(1,n);For k=1:Na(2

26、*k-1)= a(2*k-1)+1; a(2*k)= a(2*k)+4;a(2*k+1)= a(2*k+1)+1endI=h/6*sum(a*y);下面给一个例子，用复化辛普森公式求积j1 e-x2dx，在积分区间中点与点之 -1间的间隔取为0.1。解：输入x=T:0.1:1;y=exp(-x.2); I=S_quad(x,y)得到1=1.4936【】参考文献：薛毅编著，数值分析与实验，北京化工大学出版社，2005年2.3二重积分的辛普森公式我们上面讨论的辛普森公式的求积分方法，稍经修改就可以用来计算重积 分。I = jj f (x, j)dxdy(2.3.1)R的计算法，此处，假设积分区域为

27、矩形域：R = (x, y) I a x b, c y d 。m,给定正整数n和m,取步长h = （。-1）/2,上=Q-c）/2m o把积分I写成I = bd f (x, y)dxdy a cidf(x,y)dy c视X为常数，令y =c + jk,j = 0,“,2m。应用复合辛普森公式得d fx,ydy = f (x, y )+ 2 / C,)+ 4 / G, y )+ / (x,)(d -c)k4 df G, |Li)对积分-0j=l,|Lie(c,)2 j2 j-12 mj=l于是+ 芝勿 )dx3 7=12；I = bf (x,y )dx3 a 0+ G, y )dx + f /

28、(x, y )cbc3 a2j-l3 a2mj=l(d-c)k4 卜 64/ (x, R )180 a 再令x = o += 0,l,“，2，则对每ibfx,y)的=板 f(x ,y )+2习 f Gj 31_ c(b-a)h4 df(E ,y )一 ，yo j2ii=l,e a,b)1805x4 j从而dxJ = 0,1,-,2m,有)+4Ef()+/G ,y )j2/-1 j-i=l2 j)+4/(x ,y )* 2z-l 0 i=l/r籍fG V )+2习fG ,y 9002i 0i=l+/G ,y )+2云/(X ,y )+4勿云/( ,y )In 00 2 j2i 2jj=lj=l

29、i=l+sS2 f G , y )+ 2勿 / C , y )2z-l 2 j2.11 2 jj=l i=lJ=i-0 2j-1-2i 2j-1j=1j=1 i=1+16 工 f . jj=1 i=12i-1 22 -1+f (%,y2 )+2习f (+f (七,2 m ).+4 (x , y)+ 必云 f (xi,七1)+ 4 J, 2 ._i=1)+ 4；、, 2i =1其离散误差为m 84 f , y2 乙2j2j8x 4 j=12m_2 m8x 4-k (b 一 a)h4 84 f( , y ) E 5408x4 0 +8 4 f G,y)8 4 f ( , y )+42一1 2一1

30、+2m 2m8x 4j=1(d 一 c )k4 84 f (x,四)J dx.180 a8y4设f和f的R上连续，则-k (b - a)h484 f 0 g) (d - c)(b - a)k4 84 f 佃,j%)E =6m 5408x 41808y 4=一 (d - c)(b - a) 84 f 听,Q + k4 竺也1808x 48y 4其中缶出)，(j%) e R。现在，我们假设积分区域R为曲边梯形R = a,b;c(x),d (x)，它是上下分别由连续曲线y = d(x)和y = c(x) (a x b)所限制，两侧由直线x=a和x=b所限制，并且x e (a,b)时，c(x) d(x

31、)。若f (x, y)在日上连续，则I = jj f (x, y)dxdyf ()(2.3.2)=j 勺(x) f (x, y )dydx a c(x)计算积分(2.3.2)的近似值，我们对两个变量x和y都应用辛普森公式。关于变量x，取步长h = (b - a).：2 ；关于变量y，取步长k (x)= d (x)-c (x)它是x的函数。这样，我们有I 5 b ?) f (x, c (x)+ 4 f (x, c (x)+ k (x)+ f (x, d (x)dx?3) f (a,c(a)+ 4 f (a,c(a)+ k (a)+ f (a,d (a)* 4k(;+/i)f ( + h,c(a

32、+ h)+ 4f (a + h,c(a + h)+ k(a + h)+f (a + h, d (a + h )+ f (b, c (b)+ 4 f (b, c (b)+ k (b)+ f (b, d (b)下面，我们给出应用复化辛普森公式计算积分(2.3.2)的一种算法。例2应用复化辛普森公式计算积分的近似值。输入输出StepI = j bdxf d(x) f (x, y )dya c(x)断点a，b;整数m，n.I的近似值S.1 h (b - a ).，2n.StepStep 3 对 i = 0,1,2n 做x a + ih;g - Cd (x)- c (x )(2m );K f (x, c

33、 (x)+ f (x, d (x);K 0;K 3 0;对 j = 0,1,2 m 1做y c (x)+ jg; z f (x, y);若j是偶数，则K2 K2 +乙否则 K3 K3 + z p （K1 + 2 K2 + 4 K）g.；3; 若i = 0或者i = 2n则 S1 S1 + p否则，若i是偶数，否则 S3 S3 + pStep 4 S 一(S1 + 2S2 + 4S)h,3.Step 5 输出(S);停机。【】参考文献：林成森编著，数值计算方法 上册，科学出版社，2005年3辛普森公式的改进与推广3.1辛普森公式的改进3.1.1辛普森公式余项渐进性定理对于定积分I = jb f

34、(x)dx，在满足有关的条件下，有辛普森公式 aI = b 6 a f (a)+ 4f (c)+ f (b)(3.1.1)以及公式的余项为r = JfM）；2880（3.1.2）其中，c = a ,n e a,b。2这里(3.1.2)中的点门为辛普森公式余项的“中间点”。首先我们就是要证 明辛普森公式余项的“中间点”具有当积分区间的长度趋于零时，“中间点”趋 于区间的中的位置的性质。命题1设f eC5 Z,b，则存在门，的八，箕4 ea,b，满足(1)fm (b)= fm (a)+ f 4 (a)(b-a)+ f 5(n 1)(b-a)2，(3.1.3)(2) f4 (b )=f 4 (a )

35、+f 5 (n 2)(b - a ),(3.1.4)(3) fm (c)= fm (a)+ f 4 (abal + f 5(n3)(b a)2(3.1.5)28(4) f 4 (c)= f 4 (a)+ f 5 (n 1 (3.1.6)42定理3.1设f e C5 a,b,若f(5)(a)。0，则对辛普森公式余项的“中间点” n , lim 1 = 1(3.1.7)bra b a 2证由辛普森公式即可得到：jb f (x)dx F f (a)+ 4f (c)+ f (b)=七 f & )(3.1.8)于是，就有(3.1.9)2880 |fb f (x)dx 6 f (a)+ 4 f (c)+

36、f (b)； /(b a) = f(4)(n )2880|f f (x)dx & a f (a)+ 4 f (c)+ f (b)(3.1.10)f 4(a)(b-a)5/ (b a)=(f (4)(n) f (4)(a)Sa )对(3.1.10)式b r a左端时的极限，连续4次运用L.洛比达法则，有: lim (3.1.10 )式左端= lim8fm (b )+ 8 fm (c ) 4 (b a ) b rabra14 f(4)(b)+ f(4)(c)+ f(4)(a)(b a) / 3(b a)2(3.1.11)借助命题1，可知存在。,气,。3,气ea，b，对于(3.1.11)式可有：li

37、m (3.1.11)式= lim4f(5)G )+ 2f(5)G )1 f。(。) b rabra1223+4 f(5)(气)(b a /3 (b a )2(3.1.12)注意到在定理的条件下，b r a必有a . r a，(i = 1,2,3,4 )则对(3.1.12)就有lim-4f(5)G )+ 2f(5)G )- - f)G ) b*1223+4f(5)(b )(b-a)/3(b-a)2=lim-4 f(5)(a )+ 2 f(5)(a )-1 f(5)(a )(2.1.13)b*a2+4 f(5)(a )/3 = - f(5)(a );2另外，对(3.1.10)式右端求b * a时的

38、极限。则根据Lagrange中值定理，存在(am)使得:f(4)(q)- f(4 )(a ) bm(b=f (5) (a ).lim U b *a b - a=lim f(5)(人).门一a b - a(3.1.14)由于（3.1.13）=（3.1.14），就有lim -一a =。证毕。b*a b 一 a 23.1.2公式的改进定义3.1定义广义阶梯函数G-t) =G T)，xt(3.1.15)+ 0, x f (6)(t)dt，则55! aR (4)(x)= 1 jx(x-1)f (6)(t)dt ；(3.1.16)55! a其中 x e a, b, f e C6 a, b。证略。命题3对t

39、ea,b，(3.1.17)K(t)= l(b-1)6 -4(b-a)(c-1)5 6!+-(b-a)(b-1)5 + 4(x-1) (b-a)5 / (3.1.19)r = f )；120960其中 c = a m e a, b 。2证：依题可有f (x) = T (x)+ R5 (x)，其中T5(x )=f (a )+ f (a )(x - a )+.f(5)(a ),+ (x a(3.1.20)5!R5 (x)= 1 jx(x-1) f(6)(t)dt ； 则按peano核误差的方法，求积余项r = I -11=jb f (x)dx - 6f (a)+ 4 f (c)+ f (b)-f (

40、4)(c) 2880=jbT (x)dx-(3.1.21)T (a)+ 4T (c)+ Tb555a 56+ (b-a) T(4)(c)+jbR (x)dx28805a 5-R5 (a)+ 4R5 (c)+ R5 (b)6 L(b-a尸+ 2880 R5(4) (c)可算得jbT (x)dx-a 56+ (b一aT(4)(c)= 02880 5壬T (a)+ 4T (c)+ Tb555由此可知本公式求积精度为5,比辛普森公式代数精度提高了 2。则借助定 义3.1及命题2可以求得：j bR (X )dx -空 a 56 L+ 处心 R (4) (c )= j b f (6) ( ) K ()dt

41、28805aR (a)+ 4R (c)+ R (b)555(3.1.22)其中，K(t)旦血t-4(b-a)(c t6!+(3.1.23)-(b - a )(b -1 )5 + 4 (x -1 )(b - a )5由命题3, K(t)在a,b上不变号，则根据广义中值定理就可以得到r = f(6)(q)j bK(t)dt = - “ f(6)(q)。(3.1.24)a120960证毕。举例求 I = j1 x5dx (= 0.166666666666667 )的数值解。0为了便于与辛普森公式，复化辛普森公式比较，有关的结果详见表1，表2. 其中。局分别表示用辛普森公式，将积分区间等分为n个小区间

42、用辛普森公式 对例子复化求积计算的结果，11表示定理7计算的结果。表1 I卢I()的结果比较求积 公式IS字f低)I = I -(b-a* f(4)(c)1 s 2880数 值结果0.1875000000000000.02083333333333330.166666666666667表2当n取不同值时I ()的计算结果n62512502500I s(n )01666666666668030.166666666666750.16666666666667【】参考文献：李毅夫著，辛普森公式“中间点”渐进性定理和辛普森公式的改 进，贵州师范大学学报(自然科学版)，2007年11月3.2辛普森公式的推广3.2.1 3次代数精度的条件在之前我们都可以知道，辛普森公式具有3次代数精度。辛普森公式实质利用了 a,a+b,b这三点信息，从而我们可以求出一般情况下三点求积公式代数精