传热学答案

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1、第三章思考题试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由 于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。在用热电偶测定气流的非稳态温度场时，怎么才能改善热电偶的温度响应特性？T Z答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA，形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题答；所谓“无限大”平板，是指其长宽

2、尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什 么特点？答：非稳态导热过程进行到一定程度，初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化，但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置（X怕）和边界条件（Bi数） 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段 的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。有人认为，当非稳态导热过程经

3、历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由 是：这个图表明，物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当 时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度，所以两者是有矛盾的。你是否同意这 种看法，说明你的理由。答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 试说明Bi数的物理意义T。及Bi T 8各代表什么样的换热条件?有人认为，Bi 8 代表了绝热工况,你是否赞同这一观点，为什么？答；Bi数是物体内外热阻之比的相对值。Bi 时说明传热热阻主要在边界，内

4、部温 度趋于均匀，可以用集总参数法进行分析求解；Bi 8时，说明传热热阻主要在内部，可 以近似认为壁温就是流体温度。认为Bi 代表绝热工况是不正确的，该工况是指边界热 阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。什么是分非稳态导热问题的乘积解法，他的使用条件是什么？答；对于二维或三维非稳态导热问题的解等于对应几个一维问题解的乘积，其解的形式是无 量纲过余温度，这就是非稳态导热问题的乘积解法，其使用条件是恒温介质，第三类边 界条件或边界温度为定值、初始温度为常数的情况。8.什么是”半无限大”的物体?半无限大物体的非稳态导热存在正规阶段吗？答：所谓“半大限大”物体是指平面一侧空间无限延伸的物

5、体：因为物体向纵深无限延 伸，初脸温度的影响永远不会消除，所以半死限大物体的非稳念导热不存在正规状况阶段。 10.本章的讨论都是对物性为常数的情形作出的，对物性温度函数的情形，你认为怎样获得其 非稳态导热的温度场？答：从分析解形式可见，物体的无量纲过余温度是傅立叶数(阪2)的负指数函数， 即表示在相同尺寸及换热条件下，导温系数越大的物体到达指定温度所需的时间越短、这正 说明导温系数所代表的物理含义。习题基本概念及定性分析 3 1设有五块厚30mm的无限大平板，各用银、铜、钢、玻璃及软木做成，初始温度均匀(200C), 两个侧面突然上升到600C，试计算使用中心温度上升到560C时各板所需的时间

6、。五种材料 的热扩散依次为 170X10 6m2/s、103X10 6m2/s，12.9X 10 6m2/s、0.59X 10 6m2/s 及0.155X10 6m2/s。由此计算你可以得出什么结论?解：一维非稳态无限大平板内的温度分布如下函数关系式:9 t tx，=f (Bi, Fo,-)t8 105不同材料的无限大平板，均处于第一类边界条件(即Bi-8 )。由题意知材料达到同样工况式Bi数和x/5相同，要使温度分布相同，则只需Fo数相同(竺)二(竺)因此故知(Fo)i - (Fo、，即 5 2 15 2 2，而5 相等侦小所需时间大 以铜 以银 以钢 以玻璃 以软木所以T铜T银钢T玻璃T软

7、木。3 2设一根长为l的棒有均匀初温度t0,此后使其两端在恒定的11 (x = 0)及12tit0。 棒的四周保持绝热。试画出棒中温度分布随时间变法的示意曲线及最终的温度分布曲线。 解：由于棒的四周保持绝热，因而此棒中的温度分布相当于厚为l的无限大平板中的分布， 随时间而变化的情形定性的示于图中.3 3假设把汽轮机的汽缸壁及其外的绝热层近似地看成是两块整密接触的无限大平板（绝 热层厚度大于汽缸壁）。试定性地画出汽缸机从冷态启动（即整个汽轮机均与环境处于热平 衡）后，缸壁及绝热层中的温度分布随时间的变化。解：设内壁一下达到额定温度q（b）内壁温度逐渐上升的情况3 4在一内部流动的对流换热试验中（

8、见附图），用电阻加热器产生热量加热量管道内的流 体，电加热功率为常数，管道可以当作平壁对待。试画出在非稳态加热过程中系统中的温度 分布随时间的变化（包括电阻加热器，管壁及被加热的管内流体）。画出典型的四个时刻； 初始状态（未开始加热时），稳定状态及两个中间状态。解：如图所示:3 5现代微波炉加热物体的原理是利用高频电磁波使物体中的分子极化从而产生振荡，其 结果相当于物体中产生了一个接近于均匀分布的内热源，而一般的烘箱则是从物体的表面上 进行接近恒热流的加热。设把一块牛肉当作厚为2 的无限大平板，试定性地画出采用微 波炉及烘箱对牛肉加热（从室温到最低温度为850C ）过程中牛肉的温度分布曲线（加

9、热开 始前，加热过程中某一时刻及加热终了三个时刻）。解：假设：辐射加热时表面热源均匀；散热略而不计. 皿5集总参数法分析 3 6 一初始温度为10的物体，被置于室温为ts的房间中。物体表面的发射率为，表面 与空气间的换热系数为h。物体的体集积为V,参数与换热的面积为A,比热容和密度分别 为c及P。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程式。解：由题意知，固体温度始终均匀一致，所以可按集总热容系统处理固体通过热辐射散到周围的热量为：q =qA（T4 -T4） 1s固体通过对流散到周围的热量为：q 2 = hA （T - T ）固体散出的总热量等于其焓的减小doA（T4 一 T4

10、）+ hA（T 一 T ） = -pcv tT3 7如图所示，一容器中装有质量为m、比热容为c的流体，初始温度为tO。另一流体在 管内凝结放热，凝结温度为t s。容器外壳绝热良好。容器中的流体因有搅拌器的作用而可 认为任一时刻整个流体的温度都是均匀的。管内流体与容器中流体间的总传热系数k及传热 面积A均为以知，k为常数。试导出开始加热后任一时刻t时容器中流体温度的计算式。解：按集总参数处理，容器中流体温度由下面的微分方程式描述hA（T 一 T）= pcv 孚-_= exp( -t )此方程的解为0-ipC3 8 一具有内部加热装置的物体与空气处于热平衡。在某一瞬间，加热装置投入工作，其 作用相

11、当于强度为0 的内热源。设物体与周围环境的表面传热系数为h (常数)，内热阻 可以忽略，其他几何、物性参数均以知，试列出其温度随时间变化的微分方程式并求解之。解：集总参数法的导热微分方程可以利用能量守恒的方法得到dAp cv t = hA(t t ) +。d3t引入过余温度，则其数学描写如下:d八.pcu= hAQ + Q dt0 (0) = t t =003-hA.- tpcvhAt0 tm、0 = t t =0 e pcv + a(1 e pcV)3 9 一热电偶的p cV/A之值为2.094 KJ，(m 2 K)，初始温度为200C，后将其置于3200C 的气流中。试计算在气流与热电偶之

12、间的表面传热系数为58巧,(m2 -k)的两种情况下，热 电偶的时间常数并画出两种情况下热电偶读数的过余温度随时间变化的曲线。t =E解：由c hA当 h = 58W ,(m2 - K)时 t。= 0.036s当 h = 116W ,(m2 - K)时 tc = 0.018s3 10 一热电偶热接点可近似地看成为球形，初始温度为250C，后被置于温度为2000C地 气流中。问欲使热电偶的时间常数T c = 15热接点的直径应为多大？以知热接点与气流间的 表面传热系数为35W，(m K)，热接点的物性为： = 20 W ,(m k)，c= 400J，(kg k)，p = 8500kg ,m3，如

13、果气流与热接点之间还有辐射换热，对所需的热 接点直径有何影响？热电偶引线的影响忽略不计。解：由于热电偶的直径很小，一般满足集总参数法，时间常数为:t =pcvc hAV , A = R,3 =业=1X 350 = 10.29 x10-5 m+后p c 8500 x 400故热电偶的直径:d = 2 R = 2 x 3x 10.29 x 10 -5 = 0.617 m验证Bi数是否满足集总参数法八、=350X = 0.0018 0-320故满足集总参数法条件。hA若热接点与气流间存在辐射换热，则总表面传热系数h(包括对流和辐射)增加，由c一 T 、一 一 知，保持c不变，可使V/A增加，即热接点

14、直径增加。3-11 一根裸露的长导线处于温度为t的空气中，试导出当导线通以恒定电流I后导线温度 变化的微分方程式。设导线同一截面上的温度是均匀的，导线的周长为P，截面积为Ac比 热容为c，密度为P电阻率为P。，与环境的表面传热系数为h，长度方向的温度变化略而 不计。若以知导线的质量为3.45 g / m，c = 46。J /(kg - K)，电阻值为3应XU。/ m， 电流为8A，试确定导线刚通电瞬间的温升率。解：对导线的任意段长度dx作热平衡，可得：A dxpc攵+ hPdx(t-1 ) = 12(rdx), cdi8 ATd012rhP。令。=t t ,可得: = a具=，。= t t =

15、 0,T PC T在通电的初始瞬间，0 = t t = 0,则有：cod012rr 111/11/=12 -一 = 8X8X3.63X10-2 Xx =1.46K/s.diA 2pcA A p c3.45 x10-3 4603-12 一块单侧表面积为A、初温为t0的平板，一侧表面突然受到恒定热流密度q0的加热， 另一侧表面受到初温为18的气流冷却，表面传热系数为h。试列出物体温度随时间变化的微 分方程式并求解之。设内阻可以不计，其他的几何、物性参数均以知。解：由题意，物体内部热阻可以忽略，温度只是时间的函数，一侧的对流换热和另一侧恒 热流加热作为内热源处理，根据热平衡方程可得控制方程为:dp

16、cvt + hA(t -1 ) - Aq 一 0Tt / = tt=00引入过余温度0 = t 18则:pcv 4 + hA0 - Aq = 0 dwT0 / =0t=00。=Be苔+匚上述控制方程的解为：h由初始条件有：B 0 h，故温度分布为:0 = t -1 = exp(hA qhAt ) + w (1 exp( t ) pcvhpcv3-13 一块厚20mm的钢板，加热到5000C后置于200C的空气中冷却。设冷却过程中钢板两 侧面的平均表面传热系数为3 W/(m2 -驾，钢板的导热系数为45W倾2 K)，若扩散率为1-375x10-5m2/s。试确定使钢板冷却到空气相差100C时所需

17、的时间。Bi =竺=0.0078 0,05故不采用集总参数法，改用诺漠图m =10 = 0.01700600 - 20，查附录2图1得Fo = 2Fo =呼=4x 上= 2，wt=5267sR 2pc R 2人=210W /(m K)，3-15 一种火焰报警器采用低熔点的金属丝作为传热元件，当该导线受火焰或高温烟气的作 用而熔断时报警系统即被触发，一报警系统的熔点为5000C，P = 7200kg /m3，c = 420J /(kg K)，初始温度为250C。问当它突然受到6500C烟气加热 后，为在1min内发生报警讯号，导线的直径应限在多少以下？设复合换热器的表面换热系数为 12W /(m

18、 2 K)解：采用集总参数法得:0, hA.、=exp(-t )0 pcv，要使元件报警则t 5000C500 - 650/ hA、=exp(-t )25 - 650PCV ，代入数据得 D = 0.669mm 验证Bi数:= = E095 X10 3 M05，故可采用集总参数法。3-16在热处理工艺中，用银球试样来测定淬火介质在不同条件下的冷却能力。今有两个直 径为20mm的银球，加热到6000C后被分别置于200C的盛有静止水的大容器及200C的循环 水中。用热电偶测得，当因球中心温度从6500C变化到4500C时，其降温速率分别为1800C/s 及3600C/S。试确定两种情况下银球表面

19、与水之间的表面传热系数。已知在上述温度范围内银的物性参数为 o 2.62 x102 J /(kg k)、p= 10500kg / m3、人=360W/(m K)解：本题表面传热系数未知，即Bi数为未知参数，所以无法判断是否满足集总参数法条件。为此，先假定满足集总参数条件，然后验算0, hA-、0- = exp( - t )对静止水情行，由0 0P我，代入数据0 = 650 - 20 = 30,0 = 430,V / A = R/3 = 0.00333,t = 200/180 = 1.1150h = pC(V / A) ln(%) = 3149W /(m2 K)t 0验算Bi数_h(V/A)_

20、h(R/3) _v 入 ,，满足集总参数条件。对循环水情形，同理，t = 200/360 = 056sh = pC(V / A) ln(*) = 6 299W /(m 2 K)按集总参数法时 t 0Bi = h(V / A) = h(R /3) = 0.0583 0.0333验算Bi数 v 入 入，不满足集总参数条件改用漠落图Fo = aT 2 =人 x T = 0.727此时 R 2pc R 20.683查图得0 _ 430m 063001人4.5,故h Bi 8 000W/m2 kBiR3-17等离子喷镀是一种用以改善材料表面特性(耐腐蚀、耐磨等)的高新技术。陶瓷是常 用的一种喷镀材料。喷

21、镀过程大致如下：把陶瓷粉末注入温度高达104K的等离子气流中， 在到达被喷镀的表面之前，陶瓷粉末吸收等离子气流的热量迅速升温到熔点并完全溶化为液 滴，然后被冲击到被喷镀表面迅速凝固，形成一镀层。设三氧化二铝(Al23)粉末的直径 为 1) = 50r m，密度 p= 3970kg / m3,导热系数 X= 11W /(m k)，比热容c =1560J /(kg K)，这些粉末颗粒与气流间的表面换热系数为10 000W /(m2 K)，粉末颗粒的熔点为2 350K，熔解潜热为3 580kJ /kg。试在不考虑颗粒的辐射热损失时确定从t0 = 3000K加热到其熔点所需的时间，以及从刚达到熔点直至

22、全部熔为液滴所需时间。解:BiVhR _ 1000 x 25 x 10-6I 11=0.068 0.1可按集总参数法计算:0 0 10000 - 300 9700K,0 10000 - 2350 7650K3 x 10000T0 z hA, 3h _=exP(t ) = exp( t0pcVpcR0)exp(-)3970 x 1560 x 25 x 10-6，-193.76 -0.2374t = 1.22 x 10 -3 s，7650 exp(-193.7位 ) = 0.7887 9700*4兀R 3At :pr计算所需熔化时间： 3人Rpr 25 x 10-6 x 39 70 x 35 80

23、x 103355315At 1.55 x 10-3 s3hAt3 x 10000 x (10000 - 2350)2.295 x 1083-18直径为1mm的金属丝置于温度为250C的恒温槽中，其电阻值为.01。/m。设电阻 强度为120A的电流突然经过此导线并保持不变，导线表面与油之间的表面传热系数为 550W/(m2 K)，问当导线温度稳定后其值为多少？从通电开始瞬间到导线温度与稳定时 之值相差10C所需的时间为多少？设表面传热系数保持为常数，导线的c= 500J/(kg k)、p= 8000kg/m3、人=25W/(m K)一维非稳态导热解：(1)稳定过程热平衡:h兀D(t -1 ) =

24、 12Rw s12 R ，t =Dh + ts = 108.40 C可采用集总参数法：令 =-ts，由热平衡由=pcV 空 + hAB = 0 vdTc = 0,9 = 0pc + hA9 = 0 n 9 = C exp(- t )解齐次方程dTpcV方程的解为：。每+罕顽等)，由T=0,9=。得(S)、C1 = - hA，代入数据得T =8.045无限大平板一维非稳态3-19作为一种估算，可以对汽轮机启动过程中汽缸壁的升温过程作近似分析：把汽缸壁看成是一维的平壁，启动前汽缸壁温度均匀并为侦，进入汽轮机的蒸汽温度与时间成线性关 系，及tf = tf0 +T，其中 为蒸汽温速率，汽缸壁与蒸汽间的

25、表面传热系数h为常数， 汽缸壁外表面绝热良好。试对这一简化模型列出汽缸壁中温度的数学描写式。dt d 21=a 解.Stdx 2(0 x 6 )t(x,o) = 10( 0 x 6)一人它=ht - (t + WT) Sxf0，x = 6生=0Sxx = 0，3-20在一个无限大平板的非稳态导热过程中，测得某一瞬间在板的厚度方上的三点A、B、 C处的温度分别为仃180 J130”侦9000C，a与B及B与C各相隔1cm，材 料的热扩散率口 = 1-1X10-5m2/5。试估计在该瞬间B点温度对时间的瞬间变化率。该平板 的厚度远大于A、C之间的距离。dtd21At a(t 一 2t +1 )解：

26、必2的离散形式为：AAx20.012坐=1.1 X10-5 X 180 一2 X130 + 9。= 1.1K / s 代入已知数据可得B点的瞬时变化率为：At 3-21有两块同样材料的平板A及B, A的厚度为B的两倍，从统一高温炉中取出置于冷流 体中淬火。流体与各表面间的表面传热系数均可视为无限大。已知板B中心点的过余温度下 降到初值的一半需要20min，问A板达到同样温度工况需要的时间?9解：BiA = BiB =sn=0.5 n Foa = Fob0Ba = a , 8 = 28ni = (? a )21 = 4t = 4 x 20min = 80minA 8 B BB3-22某一瞬间，一

27、无内热源的无限大平板中的温度分布可以表示成t1=c1x2+c2的形式， 其中cl、c2为已知的常数，试确定:此时刻在x=0的表面处的热流密度此时刻平板平均温度随时间的变化率，物性已知且为常数。解：料=2qx(1) q = I = 0 x=0dx x=04=8 =项制8 =项2甲 由能量平衡：pcA8= _q 8 x Adt2C荷A 八则武2=件3-23 一截面尺寸为10cmX5cm的长钢棒(18-20Gr/8-12Ni)，初温度为200C，然后长边的一侧突然被置于2000C的气流中，”=125W/(m2 K)，而另外三个侧面绝热。试确定6min 后长边的另一侧面中点的温度。钢棒、可以近似地取用

28、为200C时之值。解：查表钢棒的物性参数为：p = 7 820kg /m3, c = 460J/kg - K,人= 15.2W/m - K按题意可作半壁厚为0.05m的对称半无限大平板处理人以=一 =4.2255 x 10-6pchb _ 125 x 0.05四Fo = - = 0.60847B解超越方程由式(322)5.2* =0.61584i0计算：o = 00.41182 sn *1exp(-p 2 Fo) = 0.84352 日 + sin * cos *1t = 0.84352(t 0-tf) + tf = 48.170 C3-24 一高H=0.4m的圆柱体，初始温度均匀，然后将其四

29、周曲面完全绝热，而上、下底面 暴露于气流中，气流与两端面间的表面传热系数均为5W/(m2 -K)。圆柱体导热系数 人=20W/(m-k)，热扩散率a =5.6xl0-6m2/s。试确定圆柱体中心过余温度下降到初值 一半时间所需的时间。解：因四周表面绝热，这相当于一个厚为25 = 0.4m的无限大平壁的非稳态导热问题，0=0.5 B=f=0.58 20.22由图 3-6 查得丁 H F 云= E = 12142S = 3.37h3-25有一航天器，重返大气层试壳体表面温度为10000C，随即落入温度为50C的海洋中， 设海水与壳体表面间的传热系数为1135巧/(m2 - K)，试问此航天器落入海

30、洋后5min时表人=56.8W /(m k)，=0.496面温度是多少？壳体壁面中最高温度是多少？壳体厚5 = 50mma=4.13 x 10 -6 m 2/s，其内侧可认为是绝热的。1 人 56.81 八厂 函4.13 x 10-6 x 300= = 1.0, F =解：Bi h51135 x 0.050 5 20.0520000-m = 0.8=0.65, A-m x ” = 0.8 x 0.65 = 0.52由图3-6查得0 0，由图3-7查得0 m000 mt = t + 0.8(t -1 ) = 5 + 0.8 x (1000 - 5) = 8010 C, t = 5 + 0.52

31、x 995 = 522。C3-26厚8mm的瓷砖被堆放在室外货场上，并与一150C的环境处于热平衡。此后把它们搬入250C的室内。为了加速升温过程，每快瓷砖被分散地搁在墙旁，设此时瓷砖两面与室内需待其温度上升到100C以上才1.1W /(m k)。如瓷砖厚度环境地表面传热系数为4.4W/(m2 K)。为防止瓷砖脆裂可操作，问需多少时间？已知瓷砖地”7.5 x10 - 7m2/s增加一倍，其它条件不变，问等待时间又为多长?1.19 19 = 10 25 = 15。C ,9 =15 25 = 40。C m = 0.375,= 62.5.解:9Bi 4.4 x 0.0040由图3-6查得“8 2F0

32、 = 60. at = F0E 0.004260 x7.5 x 10 -7=1280 s = 21.3min厚度加倍后，；.=31.25,查得 F = 31, a t = F8 2=31 x0.008 2=2645 s = 44 min7.5 x 10 - 73-27汽轮机在启动一段时间后，如果蒸汽速度保持匀速上升，则汽缸壁中的温度变化会达 到或接近这样的工况:壁中各点的温度对时间的偏导数即不随时间而异，又不随地点而变(称准稳态工况)。试对准工况导出汽缸壁中最大温差的计算公式。解：把气缸壁作为平壁处理且假定其外表面绝热，如右图所示，则准稳态工况时气缸壁中温度分布可用下列数学式描写:d 21w

33、_ dt=,x = 0,=0, x = 8, t = td 2Ta dxw 2式中w为气缸壁的升温速度，K/s。t = L F C X + C,由边界条件得，C = 0, C = t 上式的通解为2 a 112 W2 2 a故得t = 2 w( X 22)+ tw 2,最大温差是X = 0及X = 8处的壁温差其值为At = t w 21 w8 21 w8 2(2 丁 ”w 2) = 2；3-28 一块后300mm的板块钢坯（含碳近似为0.5% ）的初温为200C，送于温度为12000C 的炉子里单侧加热，不受热侧面可近似地认为是绝热的。已知钢板热扩散率a =5.55x 10-6m2 /s，加

34、热过程中平均表面传热系数为290WE K），设确定加热到钢 板表面温度低于炉温150C时所需的时间，及此时钢板两表面间的温差。导热系数可按6000C 查附录。ln由式(321) Fo = 一0 目+ sin目cos目2 sin 目 cos 目011日21=2.785458 2t =一 Fo = 45169 s = 12.55 h a由式（323）： 0 =_ = 15 = 36.4 m cos 目 cos 1.1461At =0 0 =15 （36.4） = 21.4o C3-29、已知:初温为七厚为28的无限大平板，两表面的温度突然降到七此后平板中各点的温度按下式计算：04 力 1nnx=一

35、乙 e懦兀/ 382aT sin0兀 n28其中0 = t(x,T) t ,0 = t tt = 30C a = 2 x 10-6 m2/ sw 00 w今有一厚为3cm的平板，t0 = 150OC，求:1min后平板中间截面上的温度，并与海斯勒图及（3-27）相比较，又，如取级数的前四项来计算，对结果有何影响？解：由所给出的解的形式可以看出，此时坐标原点是取在板的一侧表面上的（x=0，冗x冗 冗冗0 = t 11 = 0),对于板的中心，盅=_,(_ )2 aT =(顽)2 x (2 x10-6) x 60 = 1.31595,故得0 = e1-31995 = 0.3415,由8 = 2 ；

36、015= 0.5333，由图3-6查得m = 0.34.0.0如取前四项，得：0411m = (e1.31995 - e15.8435 + e64.481)03704=(0.2682 4.3866 x10-8 +1.0310 x10-15 1.4155 x 10-29) = 0.3415在四位有效数字内与取级数一项的结果毫无差别。按分析解 t = 30 +120 x 0.3415 = 70.98。.3 30火箭发动机的喷管在起动过程中受到 = 15K的高温燃气加热，受材料的限制其局部壁温不得大于1 500 K.为延长运行时间在喷管内壁喷涂了一层厚10mm的陶瓷，其物性参数为*=10W/(m k

37、) , a= 6xlO-6m2 /s。试对此情况下喷管能承受的运行时间作一保守的估计。设内表面与高温燃气间的表面传热系数为=2500W倾K)，喷管的初始温度T = 300K解：一种保守的估计方法是假定喷管壁面是绝热的，则相当于厚为26 1的平板，01500 - 2300800八.沁-m =, = 0.4, Bi =0300 - 23002000人00矿=Ae -斗2 F0 f(、刊)=Ae -斗2 尸。，2500 x 0.011=2.5, x / 5 = 0 =门,0旦 2 = (a + )-1 = (0.4022 + 0,9188)-1 = (0.4022 + 0.3675)-1 = 1.2

38、992,1 Bi2.5日=1.1398, A = a + b (1 - e - cBi) = 1.0101 + 0.2575 (1 - e-0.4271x2.5) 1=1.0101 + 0.2575(1 - e-1.06775 )=1.0101 + 0.2575(1 - 0.3438) = 1.10595,0.4 = 1.10595e-129922f0 ,ln0.4 = ln 1.10595 -1.29922F, 0.9163 = 0.1007 -1.6879 F , F = 1.017 = 0.6025, 0 0 1.6879aT _ 6 x 10 -6T 5T - 0.012=0.6025

39、,t= 0.012 x 冬6 x 10 - 66 x 10-66.3 x 10-56归 x 10 = 10.05s6分析：如果喷管表面不涂层，则允许使用的条件是?=% i = 0.4, 0000 0m.00由于 1,因而此时丁必大于0.4，在相同的Bi下，F。必小于0.603，如果5相同， m0则由于陶瓷的a小于金属的a，因而所允许的T值必更小。3-31 一火箭发动机喷管，壁厚为9mm，出世温度为300C。在进行静推力试验时，温度为1 7500C的高温燃气送于该喷管，燃气与壁面间的表面传热系数为1950W/(m K)。喷管材料的密度P= 8 400kg /刀3,导热系数为人二24.6W /(m

40、 -k)，c = 560J /(kg K)。假设喷管因直径与厚度之比较大而可视为平壁，且外侧可作绝热处理，试确定：为使喷管的最高温度不超过材料允许的温度而能允许的运行时间；在所允许的时间的终了时刻，壁面中的最大温差；在上述时刻壁面中的平均温度梯度与最大温度梯度。ha解：Bi =云=0.7134n 日=0.76921i卜 1000-爪0 = 0.43605930 -1750mInFo =9 x日* sin日cos日92 sin 日 cos 日_011|LX 21=0.9993a 2pea 2t =Fo =Fo = 15.5s以人(2) At =t t =9 9 =9 (1 1)max a m a

41、 m a cos |LX 1=(1000 1750)(1 1) = 293.90 Ccos 0.76921heo 9 = 59 4510 C / m5 s些dx旬1dx a9gmmaxdtdx x=8j a 湖 dx = 。(x)0 dxaa = m cos( U ) |a0 a i a 1000 293.9 1750(cos U 1) =x (cos 0.76921 1) = 32 655。C / m10.009无限长圆管 3-32对于一无内热源的长圆柱体的非稳态导热问题，在某一瞬间测得r=2 cm处温度的瞬 间变化率为一0.5K /s。试计算此时此处圆柱体单位长度上的热流量沿半径方向的变化

42、率， 并说明热流密度矢量的方向。已知人=43正/(m-k)，a=1，2x10 5m2/s解：由无内热源常物性一维非稳态方程式：dt1 ddtddtr=以(r) = 0.5(r) = 0.5 x drr dTdTdTdT以0 = X 2兀r dtdrd0d , dtr、兀rX 3.14 x 43 x 0.02=2兀X (r )=2兀X(0.5)=225 x 103 W / mdrdTdT以 以1.2 x10-5=225KW / m热流密度矢量指向圆柱的中心。3 - 33、已知：一黄铜柱体，d = 20cm,初温为20OC的值，t顶100C,柱体中心 温度在10min内上升到80C.X 109 ”

43、 小 , 680 -100 八*解:由附录 5得a =3.43 x 10-5m2 / s-m = 0.25,pc 8440 x 3776020 -100aTR7 XBih =R3.43 x 10-3 x 600=2.06,由附录2图1查得Bi = 0.4,0.12x；4 = 436W /(m2 K).3-34已 知：一长轴，d = 170 mm,初温为 17C, X= 30W /(m K), a = 6.2 x 10-6 m 2 / s, 炉温t = 850OC, h = 141W /(m2 K).求：使长轴的中心温度达到800C所需的时间，及该时刻钢轴表面的温度。850 - 800 =0.0

44、60,850 -17hR 141 x 0.085 伞八 6解：Bi=、 = 0.40- m人 306R 2A0.0852.5=4 x= 4661s ；a6.2 x 10-6t - 850w800 - 8500由附录2图1查得F = R- = 4,.t = F0.r 一，,Qi0.83.由土 = 1及Bi = 0.4查附录2图2得君=R6m.t = 850 - 0.83 x 50 = 808.5C.人=22.3W /(m K), a = 8.8 x 10-6m2 / s,=0.923,3 - 35、已知：一长轴，d = 40cm,初温为600C，t = 30C,h = 18.5W /(m2 K)

45、.求：长轴的最低温度达到450 C所需的时间。解：上= 癸二=6.03,由附录2图2查得Qm BihR 18.5 x 0.260按已知 % = 420 = 0.737, .% = g / Qm = 0737 = 0.798.605706060 60.923R20 22由附录2图1 查得F = 0.7,.t = F0 一 = 0.7x 爵 顶 =3181.8s = 53min.、18.5 x 0 204349或：Bi = 0.166,日2 = (0.1700 +)-1 = 2.7899-1 = 0.3584,日=0.5987,22.310.1661A = 1.0042 + 0.5877 x (1

46、 - 0.9352) = 1.0042 + 0.03810 = 1.0423,J(四)=0.9967 + 0.0354x0.5987 0.3259x0.59872 + 0.0577 x0.59873 1=0.09967 + 0.02119 - 0.1168 + 0.0577 x 0.2146 = 0.9135.60.737w = 1.0423 x e-0-3584f0 x 0.9135 = 0.737 x e-0.3584f0 = 0.7740,600 0.95240-0.3584 F0 =-0.2561, F =-0.2561, F0 = 0.715.下同。3-36、已知：一钢锭可视为长圆柱

47、体，d = 600mm,初温为30C，X = 43.5W/(m K),a = 7.5 x 10-6m2 / s, t = 1400C, h = 290W /(m2 . K).求：装炉后2h、3h、4h及5h等四个时刻钢锭表面及中心的温度，并画出时间-温度曲线。hR 290 x 0.3M7.5 x 10-6 x 7200 八 6 八亿解：装炉后2h，Bi = = 2,F =一 = 0.6，r = 0.460.32人 43.50 R 20.3266十=0.3, t = 1400 - 0.3 x (1400 - 30) = 989C, t = 1400 - 0.138 x (1400 - 30) =

48、 1211 C.m0同理可算出其他时间的数据，结果列于下表：TBiF06 / 6sm6 / 6m0t ,Ct ,C2h20.60.460.398912113h20.90.460.14120813123h21.20.460.063131413605h21.50.460.0313591381为画出温度-一时间曲线，需计算数个F 0数2 0.2下的温度，此处从略。3 37、已知：一钢锭d = 500mm,高为800mm，初温为30C，X= 40W/(mK),a = 8 x 10-6m2 /s, t = 1200C, h = 180W /(m2 . K).求：3h后再钢锭高400mm处的截面上半径为0

49、.13m处的温度。解：所求之点位于平板的中心截面与无限长圆柱,=0.13m的柱面相交处。hR 180x 0.4aT0.8 x 10-6 x 3 x 3600对平板：Bi = 1.8, F =一人 400 R 2由图3-6查得6m = 0.66； 0 hR 180 x 0.25 对圆柱：Bi = = 1.125,F人 4000.42=0.54,aT0.8 x 10-6 x3x3600 1 oo =1.38,0.252=0.52，土 = 0.889.Bi由附录2图1查得泰= 0.12,又据-=0136R 0.250666 6由附录 2图1查得尸=0.885,.= b = 0.12 x 0.885

50、= 0.1062.6 m6060 6m666所求点处的无量纲温度为:k =(vrn)(L)= 0.66x0.1062 = 0.0701.66 p 6 ct = 0.07016 +1200 = -0.0701 x 1170 +1200 = 1118 C 03-38、已知：一长塑料棒 d = 30mmX = 0.3W /(m K), pc = 1050kJ /(m3 . K).t = 150C,h = 8.5W /(m2 K),3min后，棒表面由初温降到 200C。 求：棒的初温是多少？解：人 0.3a =pc1050 x 103=2.86 x 10-7 m2 / s, BihR _ 8.5 x

51、 0.015人=0.3=0.425,aTR2.86 x 10-7 x 600.0152=0.229,0w=必-肾F0 J (卬).A = a + b (1 - e-cBi ) =1.0042 + 0.5877(1 - e -0.4038x0.425 )=1.0042 + 0.5877 x (1 - 0.8423) = 1.0042 + 0.09268 =1.0969.b0.4349日=(a + )-1/2 = (0.1700 +) -1/2 = 0.9154，门=1,1 Bi0.425J (叫)=J (口)= a + bp + c2 + d3门 10111=0.9967 + 0.0354 x

52、0.9154 + (-0.3259) x 0.91542 + 0.0577 x 0.91543=0.8003.-n 人 0.3hR 8.5 x 0.015解：a 2.86 x 10-7 m2/ s, B = - 0.425,pc 1050 x 103i 人 0.31- 200 -150 1.0969e-0.9154Z0.229 x 0.8003 1.0969 x 0.8254 x 0.8003 0.7246. t t t 1500.724650 = 0.7246(七-150), t0 = 150x 0.7246 + 5 = 219C. 应加热到至少219 C.3-39有一耐热玻璃棒，直径为25

53、mm,为改善其表面的机械特性，在表面上涂了一层极薄 的导热系数很大的金属层。在此金属涂层与芯棒之间平均存在有R1 = 0.10m K / W的热 阻。该棒起初处于均匀温度800K，然后突然被置于300K的气流中冷却，表面传热系数h =120W/(m2 K)，试确定将该棒的中心温度降低到500K所需的时间。玻璃棒物性参数如下 p 2600kg / m 3 cp = 808J /(kg K)人3.98W /(m k)解：当量表面传热系数:h = (1/ h + R 兀l) = 61.78W / m2 K l=0.19402 np = 0.64396, A =1.048491n. h R 61.78

54、 x 0.01253.98Bi =-，次、ln(m-)A。Fo = 2.3238p 21力。 500 - 300 八 -m = 0.46 800 - 3000R 2pcR 2T 一Fo = PFo = 191.75s a 人一维球体3-40、已知：洋山芋近似看作球，d 5cm,初温为20C，物性近似取50C水的值，烘箱温度t = 250C, h = 20W /(m2 K). 3求：20min后山芋中心的温度。解：查附录 10得人0.648W /(m K)，a 15.7x 10-6m2 /s,1 = 0.648 1.296.Bi hR 20 x 0.025aT 15.7 x 10-6 x 120

55、06F 一 0.301,由附录2图4查得不0.7.0 R20.02526t = t + 0.760 250 - 0.7 x (250 - 20) 89C.3-41 一钢球直径为10cm，初温为2500C,后将其置于温度为100C的油浴中。设冷却过程 中的表面传热系数可取为200W/（履.K），问欲使球心温度降低到1500C需要经过多长时 间，此时球表面的温度为多少？球的导热系数为*=44.8W 3 - k ），热扩散率为a = 1.229 x 10-5 m 2/shR 200 x 0.05 解：Bi = 人由近似计算：150 -109 _m =9250 -100R 2=0.223244.8日=

56、0.86265, A = 1.068319ln(A)0.5833 Fo = 0.81283一日21t =Fo = 165.3sa匕=0.8805P1=9 x 0.8805 = 140x 0.8805 = 123.30Cm9RtR =9r +1 = 123.3 +10 = 133.30 C3-42、已知：滚珠d = 20mm.初温为300K，X= 50W/(m/K),c=500J/(kg - K),p = 7800kg/m3,t = 1300K,h = 5000W /(m2 - K).求：滚珠离开表面1秫秫深的地方温度达到1000K的时间。解：1 = =50=1, = 0.009 =0.9,查附

57、录2图5的 9rBi hR 5000 x 0.01 R 0.019m50=0.705,4日百心 91000-1300 八。 90.3八“按题意=0.3, -m = 0.426.9300-130090.705aT入 50查附录2图4得F = = 0.449, a = = 1.28 x 10-3 m2 / s0 R2pc 7800 x 500FR 20.449 x 0.012t = o = 3.51sa1.28 x 10-33-43、已知：半球形玻璃 r = 0.15m，初温为300C, X = 0.8W/(m/K),c = 840J/(kg - K), p = 2750kg/m3,t = 410OC,平面一侧绝热，球面一侧的表面传热系数h = 10.5W/(m2 -K).求:8h后半球内的最高温度。解 = = 0.508, a = 3.463