拉格朗日点

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1、“拉格朗日点”的理论推导摘要：在由一个大天体和一个小天体构成的系统中，在它们的轨道平面内存在这样的5个 点，使得在这5个点上的质量可忽略的星尘或飞行器在两个天体的万有引力的作用下运动 的过程中与两个天体保持相对静止，这样的点称为“拉格朗日点”。下面将用数学中向量的 理论对“拉格朗日点”进行理论推导。关键词：拉格朗日点；万有引力；向量0引言如图1所示，1767年数学家欧拉推算出了拉格朗日点中的L1、L2、L3，1772年数学 家拉格朗日又推算出了另外两个点L4、L5。美国普林斯顿大学的物理学教授杰拉尔 德基钦奥尼尔提出在地月系统中的拉格朗日点上建造太空城的方案。2011年8月25 日23时27分

2、，经过77天的飞行，嫦娥二号在世界上首次实现从月球轨道出发，受控准确 进入距离地球约150万公里远、太阳与地球引力平衡点一一拉格朗日匚2点的环绕轨道。图1拉格朗日点中较难理解的是L4、L5点，这两个点分别与两个天体构成等边三角形。对 拉格朗日点的推导有说明的文献也很少。如参考文献【2】的对于拉格朗日L4点的推导运 用了复杂的几何知识。下面将用简单的向量的方法去推导拉格朗日L4、L5点，并简要说明 L1、L2、L3点的存在性。1推导过程1.1 L4、L5点的推导图2如图2,我们以太阳系中的恒星太阳（Sun）和最大的行星木星（Jupiter）为例，设 相对它们质量可忽略不计的航天器C位于拉格朗日点

3、上。设太阳质量为M,木星质量为m，太空城市质量为u，系统的质心为，mS-R1，mJ-R2, mO-R3,三个向量的长度分别为RLR2，R3设|SJ|=R，由数学分析中的质心求法可得OS =RmMmOJ|=R MMm由于三个物体相对静止，故它们绕质心旋转的角速度相同，设其为3,并设万有引力常数为G。以J为研究对象有：G些=mgR m = s = G些&2MmR3对m用万有引力的向量形式有：G兰-R1 + G里 R2 =32 R3 = G些&13R23R3-=77 R1 = R3 + OS , R2 = R3 + 0 R3 R3K , 兰 OS + 卫 R3 + 工 0JR13R23R23MmR3

4、 R3-(M (R13_ .又.戏mR23 SO + 既 0R23w甘jo ,代入上式得(M mR13R23当 R3与Jb 刀)R3 = m一上门 (*)R3R23 R13_ Mm = QR3- = QR13(MR13mR23TR23故R1 = R2 = R即。与$、J构成等边三角形，L4、L5的存在性得证1.2 L1、L2、L3点的简单说明当R3与J0 共线时，仍可通过（*）式求解证得L1、L2、L3的存在性，但是求解 过程是繁琐的。这三个点的存在性最早是由欧拉证得的。因为相对L4、L5来讲，它们是容 易被人理解的，所以在这里不对它们进行具体的计算，只需对它们的存在性进行简单的说 明。1.2

5、.1 L1点的简单说明如图2, L1点位于两天体之间且三点共线。设C与S之间距离为r,先只考虑大天 体的作用，则有籍=UE习S = G当考虑小天体的作用时，相当于M值减小，只要适当减小r的值，也就是使c适当 向大天体移动，就可以使3保持不变。这样就说明了匚1点的存在性。1.2.2 L2点的简单说明如图2, L2点位于两天体所在直线上小天体远离大天体的一侧。仍然设C与之间距离为r，先只考虑大天体的作用，则有32 = G尸3当考虑小天体的作用时，相当于M值增大，只要适当增大r的值，也就是使c适当向远离天体方向移动，就可以使3保持不变。这样就说明了匚2点的存在性。1.2.3 L3点的简单说明如图2,

6、 L3点位于两天体所在直线上大天体远离小天体的一侧。仍然设C与之间距离为r，先只考虑大天体的作用，则有32 = GK/ 3当考虑小天体的作用时，相当于M值增大，只要适当增大r的值，也就是使c适当向远离天体方向移动，就可以使3保持不变。这样就说明了匚3点的存在性。2 结束语拉格朗日点在科学上有着重要的应用。因为飞行器可以在拉格朗日点上进行长期、稳 定的观测而无需消耗大量的能量进行轨道机动，拉格朗日点资源也逐渐成为各国竞争的对 象。参考文献及网址1 林辉庆.拉格朗日L4点的理论验算J.物理教师，2012, 33(4)： 42-43.2 传奇书系编委会.太空移民M.北京：北京理工大学出版社.2009.4-1.3 蔡金曼.我国月球及深空探测取得新突破EB/OL.4 百度百科.拉格朗日点(欧拉推算出的能够使小物体稳定的点)EB/OL.D1YRBBcq9tZXu5 WPZfZBiPPz VGqCIBKVLa y8CufYHmw2DzljbeGMHuzLU gSrkOQsAG N07bXC3，2015-06-14.