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1、,MATLAB与差分方程,西南交通大学数学建模,差分方程 离散时段上描述变化过程的数学模型,一年期存款年利率为r，存入M， 记第k年本息为xk,n年后本息为,污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天的污水浓度为ck ,离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的,天后污水浓度降低一半,一阶线性常系数差分方程 高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组,建立离散动态过程的数学模型; 用MATLAB计算数值解; 作理论分析(平衡点及其稳定性).,差分方程,例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化,一阶线性常系数差分方程,在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% 在中
2、等自然环境下，年平均增长率为-3.24% 在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%,如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.,生态学家估计,如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区， 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?,模型及其求解,例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化,记第k年沙丘鹤的数量为xk， 自然环境下年平均增长率为r,设每年人工孵化的数量为b，,结果分析,例 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化,时间充分长后(k)沙丘鹤数量的变化趋势,a1(r0)时xk, a1(r0)时xk0,在中等及较差的自然
3、环境下沙丘鹤将濒于灭绝。,人工孵化条件下,a1(r0)时xkx=b/(1-a),x=5/0.0324=154.32,自然环境下,一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性,差分方程的一般形式,差分方程的平衡点 代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a),差分方程的解,c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b确定,若k时xkx, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定,平衡点稳定的充要条件是 a 1,高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性,1, 2, n,c1, ,c n由初始值x1, ,x n确定,特征方程,特征根,平衡点,差分方程的解,平衡点稳定的条件: 所有特征根的模小于1,高阶
4、线性常系数差分方程,例 一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。 没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。 一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。,建立数学模型研究植物数量的变化规律， 及它能够一直繁殖下去的条件.,模型及其求解,例 一年生植物的繁殖,设一棵植物平均产种数为c, 种子能够活过冬天的比例为b, 活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例
5、仍为b, 在下一年春季发芽的比例为a2。,xk第k年的植物数量,设今年种下(并成活)的数量为x0,记 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc,寻找形如xk=k的解,设c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100,模型及其求解,例 一年生植物的繁殖,特征方程,特征根,差分方程,常数c1, c2由x0, x1确定,差分方程的解,1, 21时xk0 (k),1, 2 1时xk (k),植物能够一直繁殖下去的条件为b0.191,线性常系数差分方程组,例 汽车租赁公司的运营,汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个
6、城市归还.,在A市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.6, 0.3, 0.1 在B市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.2, 0.7, 0.1 在C市租赁在A, B, C市归还的比例分别为0.1, 0.3, 0.6,公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市， 建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型， 讨论时间充分长以后的变化趋势.,例 汽车租赁公司的运营,模型及其求解,x1(k), x2(k), x3(k)第k个租赁期末公司在A, B, C市的汽车数量,x(k)=x1(k), x2(k), x3(k)T,开始时600辆汽车平均分配到3个城市,开始时600辆汽车全分配给A市,例
7、汽车租赁公司的运营,模型及其求解,时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定，稳定值与初始分配无关,例 按年龄分组的种群增长,动物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少; 不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别; 将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间离散化为时段; 在稳定环境下假定各年龄组种群的繁殖率和死亡率与时段无关; 建立按年龄分组的种群增长模型; 预测未来各年龄组的种群数量; 讨论时间充分长以后的变化趋势.,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,(设至少1个bi0),例 按年龄分组的种群增长,模型及其求解,例 按年龄分组的种群增长,按年龄组的分布向量,Leslie矩阵(L矩阵),模型及其求解,归一化:,例 按年龄分组的种群增长,模型及其求解,设一种群分成 n=5个年龄组, 繁殖率 b1b5= 0, 0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率s1s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年龄组现有数量均为100 ,x1(k)x5(k) 的图形 （自上而下),的图形 （自上而下),
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