华中科技大学现代控制论3.5 线性离散系统状态方程的解

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1、Ch.3 Ch.3 线性系统的时域分析线性系统的时域分析目录目录(1/1)目目 录录q 概述概述q 3.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解q 3.2 状态转移矩阵及其计算状态转移矩阵及其计算 q 3.3 线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解q 3.4 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化q 3.5 线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解q 3.6 Matlab问题问题q 本章小结本章小结线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解(1/2)3.5 线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解q 本节研究线性定常

2、离散系统方程的解,需解决的主要问题:状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质 状态方程的求解 状态方程解的各部分的意义 输出方程的解线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解(2/2)q 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法:Z变换法只能适用于线性定常离散系统,递推法可推广到时变系统和非线性系统。下面将分别讨论 线性定常离散系统线性定常离散系统 线性时变离散系统线性时变离散系统的状态空间模型求解。线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解(1/1)3.5.1 线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解q 下面介绍线性定常离散系统的状态方程求

3、解的 递推法递推法和 Z变换法变换法。最后讨论输出方程的解输出方程的解递推法递推法(1/10)1.递推法递推法q 递推法亦称迭代法。用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,从而有x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1)递推法递推法(2/10)上述递推计算公式中的第2项为离散卷积离散卷积,因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式1011)()0()1-()2-(.)()0()(kjjkkkkjHGGkHkGHHGGkuxuu0uxx 若给出初始

4、状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式:101)1()0()1-()2-(.)()0()(kjjkkkjkHGGkHkGHHGGkuxuu0uxx递推法递推法(3/10)或11000)()()(kkjjkkkjHGkGkuxxq 若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:10000)1()()(kkjjkkjkHGkGkuxx递推法递推法(4/10)q 与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程求解,亦可引入状态转移矩阵状态转移矩阵。该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解:(k+1)=G(k)(0

5、)=I 用递推法求解上述定义式,可得(k)=Gk因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:10)()1-()0()()(kjjHjkkkuxx10)1-()()0()()(kjjkHjkkuxx亦为递推法递推法(5/10)q 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:连续系统连续系统10)()1-()0()()(kjjHjkkkuxxtBttt00d)()()()(uxx离散系统离散系统初始状态的影响初始时刻后输入的影响,为脉冲响应函数与输入的卷积递推法递推法(6/10)q 对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:1.与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成,一部

6、分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的输入无关,称为系统状态的零输入响应;另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响应。2.引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由零输入响应和零状态响应叠加组成,只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。递推法递推法(7/10)3.在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采样值u(k)无关。这即为计算机控制系统固有的一步时滞。递推法递推法(8/10)

7、(2)块对角矩阵。块对角矩阵。当G为如下块对角矩阵:G=block-diagG1 G2 Gl其中Gi为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为knkkkGk.diag)(21klkkkGGGGk.diag-block)(21q 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵(1)对角线矩阵。对角线矩阵。当G为如下对角线矩阵:G=diag1 2 n则状态转移矩阵为递推法递推法(9/10)mkmkGkikikkikikkikimkimkkimkimkkikkikiiiii.1.0.0.00.0.1.00.0.1111221111其中kj=k!/(k-j)!j!为二项式系数。(3)约旦块矩阵。约旦块矩

8、阵。当Gi为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为递推法递推法(10/10)11PGPGPGPGkkkk(4)对系统矩阵G,当存在线性变换矩阵P,使得G=P-1GP则有Z变换法变换法(1/7)2.Z变换法变换法q 已知线性定常离散系统的状态方程为x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)对上式两边求Z变换,可得zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z)于是(zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)q 用(zI-G)-1左乘上式的两边,有X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z)对上式进行Z反变换,有x(k)=Z-1(zI-G)-1zx(0)+Z-1(zI

9、-G)-1HU(z)Z变换法变换法(2/7)kikiwikwzWzWZaazZ02121111)()()()()1/(1其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。q 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得101-1-1-1-1-1-11111)()()-()()-()-()-(kjjkkjHGzHUzzGzIZzHUGzIZzGzIZGzIZGu还记得自控原理吗?离散卷积q 在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:Z变换法变换法(3/7)例例3-14该表达式与前面递推法求解结果一致。q 例3-14 已知某系统的状态方程和初始状态分别为101)()0()(kjjkkj

10、HGGkuxx11)0()(11)(116.010)1(xuxxkkk试求系统状态在输入u(k)=1时的响应。q 因此,离散系统的状态方程的解为:Z变换法变换法(4/7)例例3-14类似地,可继续递推下去,直到求出所需要的时刻的解为止。2.用用Z变换法求解。变换法求解。先计算(zI-G)-1386.116.01184.084.2116.010)3(84.084.21184.10116.010)2(84.101111116.010)1(xxx)8.0)(2.0(116.01zzzzGzIq 解解 1.用递推法求解。用递推法求解。分别令k=1,2,3,则由状态方程有Z变换法变换法(5/7)例例3-

11、148.042.01-8.08.02.08.08.05-2.058.01-2.0431)8.0)(2.0(/16.0-11|-|)-adj()-(1zzzzzzzzzzzzGzIGzIGzIkkkkkkkkkGzIZGk)8.0-(4)2.0-(-)8.0-(8.0)2.0-(8.0-)8.0-(5-)2.0-(5)8.0-(-)2.0-(431)-()(11q 因此,有Z变换法变换法(6/7)例例3-141-78.02.35-2.02.101-258.0442.015-181)1-)(8.0)(2.0()84.1-()1-)(8.0)(2.0()2(22zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

12、q 由Z变换,有u(k)=1 U(z)=z/(z-1)因此,有X(z)=(zI-G)-1zx(0)+HU(z)Z变换法变换法(7/7)例例3-147)8.0(5.23-)2.0-(2.1025)8.0-(44)2.0-(15-181)()(1kkkkzXZkxq 令k=0,1,2,3代入上式,可得386.116.0,84.084.2,84.10,11)(kx输出方程的解输出方程的解(1/2)10101)()1()0()()()0()(kjjkkjjkkkDjkHCGCGkDjHCGCGkuuxuuxy3.输出方程的解输出方程的解q 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程:y(k)=C

13、x(k)+Du(k)中,可得输出y(k)的解为输出方程的解输出方程的解(2/2)1010)()1()()0()()()()1-()0()()(kjkjkDjkHjCkCkDjHjkCkCkuuxuuxy或线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(1/6)3.5.2 线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解q 设线性时变离散系统的状态空间模型为 式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为式中,(k,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。(1)()()()()()()()()()kG kkH kkkC kkD kkxxuy

14、xu1000)()()1,()(),()(kkiiiHikkkkkuxx线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(2/6)q 线性时变离散系统的状态转移矩阵(k,k0)满足如下矩阵差分方程及初始条件：其解为0000(1,)()(,)(,)kkG kk kkkI000(,)(1)(2).(),k kG kG kG kkk线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(3/6)q 与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公式可用迭代法证明。对线性时变离散系统的状态方程，依次令k=k0,k0+1,k0+2,从而有00000000000000000000000000

15、0000(1)()()()()(2)(1)(1)(1)(1)(1)()()(1)()()(1)(1)(3)(2)(2)(2)(2)(2)(1)()()(2)(1)()kG kkH kkkG kkH kkG kG kkG kH kkH kkkG kkH kkG kG kG kkG kG kH kxxuxxuxuuxxuxu000000()(2)(1)(1)(2)(2)kG kH kkH kkuu线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(4/6)因此有00100100()(1)(2).()()(1)(2).(1)()()(,)()(,1)()()ki kki kkG kG kG k

16、kG kG kG iH iik kkk iH ii xxuxu线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(5/6)q 由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程的解也包括两项。其中,第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向量为零时系统的自由运动。第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为强迫运动或受控运动。线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k,k0),而又是由(k,k0)唯一决定的。线性时变离散系统状态方程的解线性时变离散系统状态方程的解(6/6)q 将状态响应代入输出方程,得到系统的输出为,可见,系统的输出响应也是由 零输入响应、零状态响应和 直接传输部分3项组成的。)()()()()1,()()(),()()(1000kkDiiHikkCkkkkCkkkiuuxy