控制系统的时间响应

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1、控制工程基础控制工程基础第5章 控制系统的时间响应本章主要内容：（1）研究控制系统在输入信号的作用下，输出信号随时间变化的规律，即研究系统的时间响应。（2）希望系统的时间响应满足稳、准、快的要求。5.1 时间响应的基本概念时间响应的基本概念 时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系号的作用下，其输出信号随时间的变化情况。控制系统的输出响应是由统的输出响应是由瞬态响应瞬态响应和和稳态响应稳态响应两部分组成。两部分组成。瞬态响应：瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统系统在某一典型信号输入作用下，其系

2、统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应输出量从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。也称动态响应，或过渡过程，或暂态响应。稳态响应：稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。态响应。分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点：分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点：（1 1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。确定系统的性能

3、指标，便于系统分析和设计。（2 2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。（3 3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。传递函数。常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、加速度信号、脉冲信号及正弦信号。加速度信号、脉冲信号及正弦信号。典型输入信号的选择：典型输入信号的选择：（1）阶跃函数）阶跃函数(Step function)00()0()tr tataR ssat)(tr0 这意味着

4、这意味着t=0t=0时突然加到系统上的一个幅值不时突然加到系统上的一个幅值不变的外作用。变的外作用。幅值幅值a=1的阶跃函数，称为的阶跃函数，称为单位阶跃函数，单位阶跃函数，用用1(t)来表示。来表示。一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。评价系统动态性能指标的依据。（2）斜坡函数）斜坡函数(Ramp function)200()0()tr tattaR ss 表示在表示在t=0=0时刻开始，以恒定速度时刻开始，以恒定速度a随时间变化随时间变化的函数，也称为的函数，也称为速度函数速度函数。当当a=1的斜坡函数，称为的斜坡函数

5、，称为单位斜坡函数。单位斜坡函数。t)(tr0a1（3）加速度函数）加速度函数(Parabolic function)2300()02()tr tattaR ss 表示在表示在t=0=0时刻开始，以恒定加速度随时间变时刻开始，以恒定加速度随时间变化的函数，也称为化的函数，也称为抛物线函数抛物线函数。当当a=1/2的加速度函数，称为的加速度函数，称为单位加速度函数单位加速度函数。t)(tr0（4）脉冲）脉冲函数函数(Impulse function)000 0()lim 0()ttr tatR sa 或 当当a=1时的脉冲函数，称为时的脉冲函数，称为单位脉冲函数单位脉冲函数,记为记为(t)。当系

6、统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于为脉冲响应函数。由于(t)函数的拉氏变换等于函数的拉氏变换等于1 1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。at)(tr0 211112tttttt积分积分积分求导求导求导上述各函数之间的关系：上述各函数之间的关系：（5）正弦）正弦函数函数(Sinusoidal function)220 0()sin 0()tr tattaR ss 正弦函数正弦函数(或余弦函数或余弦函数)是控制系统常用的一种是控制系统常用的一种典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应

7、，典型的输入信号，系统在正弦函数作用下的响应，即频率响应。即频率响应。()r t02ta 究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，需要参照系统正常工作时的实际情况。需要参照系统正常工作时的实际情况。系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统。调节系统。系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号。作为实验信号。系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号。信号。系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。系统为冲击输入量，则

8、采用脉冲信号。系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。控制工程基础控制工程基础第5章 控制系统的时间响应5.2 一阶系统的时间响应能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型形式为它的典型形式为一阶惯性环节一阶惯性环节。其中。其中T T为时间常数。为时间常数。0()1()()1iXsG sX sTs闭环极点闭环极点(特征根特征根)：-1/T5.2.1 一阶系统一阶系统的数学模型的数学模型1()1()()iix ttX ss11Ts()ix t()ox t单位阶跃输入为单位阶跃输入为 输出为输出为011(

9、)()()1111 11iXsG s X sTssTsTsssT单位阶跃响应为单位阶跃响应为)0(1)(10tetxtT5.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应根据上式，当根据上式，当t取取T的不同倍数时，可得出下表的不同倍数时，可得出下表3.1的数据。的数据。t0T2T3T4T5T00.632 0.865 0.950 0.982 0.993 1表表3.1 一阶惯性环节的单位阶跃响应一阶惯性环节的单位阶跃响应 txo)0(1)(10tetxtT1/Txo(t)=1-e-t/Tx0(t)01tT2T3T4T63.2%86.5%95.0%98.2%（1 1）一阶惯性系统总是稳定的，

10、无振荡。）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。（2 2）经过时间）经过时间T T，曲线上升到，曲线上升到0.632的高度。反过来，的高度。反过来，如果用实验的方法测出响应曲线达到如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间，的时间，即是惯性环节的时间常数。即是惯性环节的时间常数。（3 3）经过时间）经过时间3 3T T4 4T T，响应曲线达稳定值的，响应曲线达稳定值的95959898，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间整时间(3(34)4)T T。（4 4）在）在t t0 0处，响应曲线的切线斜率为处，响应曲线的切线斜率为1/T。特点特点（5

11、 5）ln1-xo(t)与时间与时间t 成线性关系成线性关系判别系统是否为惯性环节判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数测量惯性环节的时间常数111ln1()(1()1otTotTox teex ttxtT t txo1lgo txteTo1lglg1其中其中eTlg1为常数。为常数。一阶惯性环节识别曲线一阶惯性环节识别曲线5.2.3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应()()()1iix ttX s单位脉冲输入为单位脉冲输入为 单位脉冲响应为单位脉冲响应为101()(0)tTx tetT输出为输出为0()()()11 11iXsG s X sTTssTT10.368T21T斜

12、率/1()t Tox teT5.2.4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应21()1()()iix tttX ss 单位斜坡输入为单位斜坡输入为 单位斜坡响应为单位斜坡响应为输出为输出为02211()()()11 1iXsG s X sTssTTsssT)0()(10tTeTttxtT11()()()(1)()ttTTioe tx tx tttTTeTeteT ，误差计算：误差计算：输入为斜坡函数时输入为斜坡函数时,一阶系统存在稳态误差一阶系统存在稳态误差T T 。5.2.5 一阶系统的一阶系统的单位加速度响应单位加速度响应单位加速度输入单位加速度输入为为 单位加速度响应单位加速度响

13、应为为输出为输出为 221ttxi 31ssXi TsTsTsTssTssXsGsXio1111122233 0e2112221tTTTttsXLtxtToo误差计算：误差计算：这就是说，一阶惯性环节在单位加速度信号作用这就是说，一阶惯性环节在单位加速度信号作用下的稳态误差为无穷大，表示一阶惯性环节不能下的稳态误差为无穷大，表示一阶惯性环节不能实现对单位加速度信号的跟踪。实现对单位加速度信号的跟踪。00.511.522.533.544.5502468101214时 间 t时间响应 xo(t)一 阶 惯 性 环 节 的 单 位 加 速 度 响 应单 位 加 速 度 输 入 信 号TTTTTTTT

14、TTT2tTtToiTTtTTTttttxtxte1212222e1e2121 tetlim输输 入入输输 出出1111()()()1()()11()()()tTittTitTix ttx ttTTex ttx tex ttxteT 三种响应关系三种响应关系三种输入关系三种输入关系11()1()()()()1()()tdx tdttx tdtdtdx tdttx tdtdt一阶系统三种典型输入信号及响应关系：一阶系统三种典型输入信号及响应关系：积分时间常数由零初始条件确定。积分时间常数由零初始条件确定。5.2.6 线性线性定常系统时间响应的性质定常系统时间响应的性质线性定常系统的重要性质线性定

15、常系统的重要性质系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。入信号响应的导数。系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出输入信号响应的积分，积分时间常数则由零输出的初始条件确定。的初始条件确定。注意：注意：该性质只适用于线性定常系统，不适用于该性质只适用于线性定常系统，不适用于线性时变系统和非线性系统。线性时变系统和非线性系统。图图5.8 温度测量装置的结构图温度测量装置的结构图例例5.1 已知温度测量装置的结构图如图已知温度测量装置的结构图如图5.8所示，所示

16、，其其中中T为为时间常数。现在采用该装置测量某容器中水时间常数。现在采用该装置测量某容器中水的温度，发现需要一分钟的时间才能指示出实际水的温度，发现需要一分钟的时间才能指示出实际水温温98%的数值，试计算该温度测量装置的时间常数的数值，试计算该温度测量装置的时间常数。如果给容器加热，使水温以如果给容器加热，使水温以10/分钟的速度变化，分钟的速度变化，试计算该温度测量装置的稳态指示误差。试计算该温度测量装置的稳态指示误差。解：解：控制工程基础控制工程基础第5章 控制系统的时间响应5.3 二阶系统的时间响应 凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系二阶系统统

17、。二阶系统包含两个贮能元件，能量在两个元件之。二阶系统包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势 。例如，。例如，由弹簧由弹簧-质量质量-阻尼所组成的机械系统和阻尼所组成的机械系统和RLCRLC电路网络就电路网络就是典型的二阶系统。是典型的二阶系统。22222()()()21 =21oinnnXssX sssT sT s 阻尼比阻尼比无阻尼自然频率无阻尼自然频率或固有频率或固有频率 n5.3.1 二阶系统二阶系统的数学模型的数学模型系统的特征方程：系统的特征方程：0222ssn特征方程的根（闭环极点）特征方程的根（闭环极点）2

18、1,21nnp 显然，特征根的性质取决于阻尼比显然，特征根的性质取决于阻尼比 的大小，的大小，而特征根在复平面的分布决定系统的性能而特征根在复平面的分布决定系统的性能。21,21 nnpj 特征根位于特征根位于s s平面的左半部。平面的左半部。（1 1）0 1（过阻尼）两不相等的负实根（过阻尼）两不相等的负实根1p2p21nn1,2npj 特征根共轭纯虚根，位于特征根共轭纯虚根，位于s s平面的虚轴上。平面的虚轴上。（4 4）=0（零阻尼（零阻尼/无阻尼）一对共轭纯虚根无阻尼）一对共轭纯虚根n1p2pn21,221,21 1 0 1nnnnppj（-1（）或 特征根位于特征根位于s s平面的右

19、半部。平面的右半部。（5 5）0（负阻尼）两根实部为正（负阻尼）两根实部为正21nn1p2p1p2p例例5.25.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应21,21 nnpj（1 1）01（过阻尼）两不相等的负实根（过阻尼）两不相等的负实根222()(1)(1)nnnnnsss2222222112(1 1)2(1 1)22(1)(1)1()1 11nnnnnonnnnssXsssss 22(1)22(1)221()12(1 1)1 2(1 1)(0)nntotx teet 特点：单调上升，特点：单调上升，无振荡，过渡过程无振荡，过渡过程时间长，无稳态误时间长，无稳态误差。差。1,2

20、npj（4 4）=0（零阻尼）一对共轭纯虚根（零阻尼）一对共轭纯虚根222222()()()2oninnXssX ssss20222211()()()ninnsXss X sssss0()1cosnx tt0()1cosnx tt特点：零阻尼的等幅振荡，特点：零阻尼的等幅振荡，振荡频率为振荡频率为n。n无阻尼固有频率无阻尼固有频率21,221,21 1 0 1nnnnppj（-1（）或（5 5）0（负阻尼）两根实部为正（负阻尼）两根实部为正020()1(cossin)1ntddx tett（-1）22(1)22(1)2211()12(1 1)1 2(1 1)nntotx tee （）正正正正正

21、正-1 0，振荡发散振荡发散 -1，单调发散单调发散 上述五种情况分别称为二阶上述五种情况分别称为二阶零阻尼、欠阻尼、零阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统和负阻尼临界阻尼、过阻尼系统和负阻尼。其阻尼系数、特。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升单调上升一对负实重根一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根(左左半平面）半平面）等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根一对共轭虚根 无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1

22、o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns发散振荡发散振荡一对共轭复根一对共轭复根(右右半平面）半平面）10,负阻尼22,11nnjs单调发散单调发散两个互异正实根两个互异正实根1 ，负阻尼122,1nns020 ()1(cossin)1ntddx tett（-1）正正22(1)22(1)221 1()12(1 1)1 2(1 1)nntotx tee （）正正正正0(0)()1 cosnx tt 22(1)22(1)221 1()12(1 1)1 2(1 1)nntotx tee （）负负负负(1)()1(1)ntonx tet 201sin()1(01)(

23、)ntdetx t结论结论:二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性决定了其振荡特性0时，阶跃响应发散，时，阶跃响应发散，统不稳定。统不稳定。=0时，等幅振荡。时，等幅振荡。01时，有振荡，时，有振荡，愈愈小，振荡愈严重，但响应小，振荡愈严重，但响应愈快。愈快。1时，无振荡、无超调，时，无振荡、无超调，过渡过程长。过渡过程长。一定时，一定时，nn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。201sin()1(01)()ntdetx t工程中除了一些工程中除了一些不允许产生振荡的不允许产生

24、振荡的应用，如指示和记应用，如指示和记录仪表系统等，通录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择且阻尼比通常选择在在0.40.8之间，使之间，使系统有比较理想的系统有比较理想的响应曲线，瞬态响响应曲线，瞬态响应时间短，且系统应时间短，且系统振荡适度。以保证振荡适度。以保证系统的快速性同时系统的快速性同时又不至于产生过大又不至于产生过大的振荡。的振荡。0.7 0.7 时调节时间最短，时调节时间最短，称为称为最佳阻尼比最佳阻尼比。5.3.3 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应阻尼系数阻尼系数时时 间间 响响 应应 函函 数（数（t 0）无阻尼,0欠阻尼,1o临界

25、阻尼，1过阻尼，12()sin1ntnodx tet2()nntotx te22)(1(12()21()nnttnox tee ttxnnosin特点：特点：（1 1）衰减振荡。）衰减振荡。（2 2）随着阻尼比的减小，振荡幅度加大。）随着阻尼比的减小，振荡幅度加大。欠阻尼,1o2()sin1ntnodx tet临界阻尼，12()nntotx te过阻尼，122)(1(12()21()nnttnox tee例例5.35.3.4 二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应阻尼系数阻尼系数时时 间间 响响 应应 函函 数（数（t 0）无阻尼,0欠阻尼,1o临界阻尼，1过阻尼，101()sinnnx

26、 ttt 22212)21()sin(arctannntoddex ttt 22()nnnnttotx ttee 2222)222)2(1(122112212211 21()nnnnntotxttee欠阻尼,1o22212)21()sin(arctannntoddex ttt 2()()()()iossne tx tx ttee ，误差计算：误差计算：输入为斜坡函数时输入为斜坡函数时,二阶欠阻尼系统存在稳态误差。二阶欠阻尼系统存在稳态误差。临界阻尼，122()nnnnttotx ttee 2()()()()iossne tx tx ttee ，误差计算：误差计算：输入为斜坡函数时输入为斜坡函数

27、时,二阶临界阻尼系统存在稳态误差。二阶临界阻尼系统存在稳态误差。过阻尼，12222)222)2(1(122112212211 21()nnnnntotxttee2()()()()iossne tx tx ttee ，误差计算：误差计算：输入为斜坡函数时输入为斜坡函数时,二阶过阻尼系统存在稳态误差。二阶过阻尼系统存在稳态误差。控制工程基础控制工程基础第5章 控制系统的时间响应5.4 高阶系统的时间响应5.4.1 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由性环节和二阶振荡环节的

28、叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为其传递函数可表示为 1111111221111=2 2mmmmmmmmoqnnrinnijjjijK sbsbsbK sbsbsbXsXssa sasaspssmnqrn，输入为单位阶跃时，其响应函数为输入为单位阶跃时，其响应函数为1112211()()1()()()(2)mmommoqriijjjijXsk sbsbsbXsX sssspss 如果其极点互不相同，则上式可展开为如

29、果其极点互不相同，则上式可展开为2022211()1()()(1)qrjjjjjjioijijjjjsXsssps 经拉氏反变换，得经拉氏反变换，得20112()cos(1)sin1)jjijjqrtp toijjlijrtjjljx teetet 可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。极点的性质极点的性质决定瞬态分量的类型：决定瞬态分量的类型：实数极点实数极点非周期瞬态分量非周期瞬态分量共轭复数极

30、点共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。阻尼振荡瞬态分量。类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态：类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态：极点位于除原点外的虚轴上极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡等幅振荡极点位于右半复平面极点位于右半复平面 发散发散极点位于左半复平面极点位于左半复平面 收敛收敛在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴的距离越大，收敛速度越快。的距离越大，收敛速度越快。在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决

31、于极点与负实轴的夹角（阻尼），零点也有影响。轴的夹角（阻尼），零点也有影响。)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj例例1：已知某高阶系统：已知某高阶系统G(s)的传递函数为的传递函数为 100240309223841510020234562sssssssssG试求该系统的单位阶跃响应。试求该系统的单位阶跃响应。解：采用解：采用MATLAB软件计算软件计算 numerator=1 20 100;denominator=1 15 84 223 309 240 100;t=(0:0.1:20);step(numerator,denominator,t);计算结果

32、显示：计算结果显示：采用采用MATLAB软件将传递函数改写为零极点形式：软件将传递函数改写为零极点形式：numerator=1 10 100;denominator=1 15 84 223 309 240 100;zpk(tf(numerator,denominator)计算结果显示：计算结果显示：125101002403092238415100202222234562ssssssssssssssGZero/pole/gain:(s+10)2-(s+5)2(s+2)2(s2 +s+1)例例2：将上例高阶系统：将上例高阶系统G(s)的传递函数改写为零极点形式的传递函数改写为零极点形式即即例例3：

33、将上例高阶系统：将上例高阶系统G(s)近似为低阶系统近似为低阶系统G1(s)来进行处理来进行处理 124112122221sssssssG 112151001101001251010024030922384151002022222222234562sssssssssssssssssssG采用采用MATLAB软件计算低阶系统软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应：的单位阶跃响应：numerator1=4;denominator1=conv(1 4 4,1 1 1);system1=tf(numerator1,denominator1);t=(0:0.1:20);step(system1,r,t);低

34、阶系统低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）：的单位阶跃响应（用红色表示）：将高阶系统将高阶系统G（用蓝色表示）和低阶系统（用蓝色表示）和低阶系统G1（用红色表示）的（用红色表示）的单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：5.4.2 主导极点主导极点 当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出的影响较小

35、，可以忽略不计。的影响较小，可以忽略不计。j0s平面平面s2s1主导主导极点极点j0s平面平面s1主导主导极点极点（1 1）主导极点与非主导极点）主导极点与非主导极点时间常数时间常数=ts 时，时，)()()(oooxxtx通常由响应曲线的一对包通常由响应曲线的一对包络线近似计算。在整个瞬络线近似计算。在整个瞬态响应过程中，态响应过程中，xo(t)总是总是包络在这对曲线内，同时包络在这对曲线内，同时包络线对称于稳态分量。包络线对称于稳态分量。n2e11t-xo(t)t01T2T3Tn1T n2e11t-)sin(11)(2tetxdton包络线：包络线：211tne1112snte包络线方程为

36、：包络线方程为：2()11nteh t()()()()()()ooooox txxh txx 代入代入有有2(0.05 0.02)1n ste 为或n2e11t-xo(t)t01n2e11t-得得21n ste 22ln1lnln 1ssnnttn2e11t-xo(t)t01n2e11t-nst21lnln得得21n ste 05.0,302.0,41lnln2nnnst 当阻尼比当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率一定时，无阻尼自振角频率n越大，则调整时间越大，则调整时间ts 越短，系统响应越快。当越短，系统响应越快。当 较大时，前面两式的近似度降低。较大时，前面两式的近似度降低。当当n一定时，

37、变化一定时，变化求求ts的极小值，可得当的极小值，可得当=0.707左右时，左右时，系统单位阶跃响应的调整时间系统单位阶跃响应的调整时间ts最短，即响应最快。最短，即响应最快。jdn0s2s1n极点位置与阻尼角极点位置与阻尼角在欠阻尼状态下，当在欠阻尼状态下，当00.7时，时，34.01ln02而当而当0.020.05时，时，4ln3因此，因此，21ln相对于相对于ln可以忽略不计，所以有可以忽略不计，所以有(5)(5)振荡次数振荡次数N调整时间调整时间ts内响应曲线振荡的次数。内响应曲线振荡的次数。2122nddT05.0,15.102.0,1222dsTtN05.0,302.0,4nnst

38、05.0,ln5.102.0,ln2ppMMN21 eMpN 仅与阻尼比仅与阻尼比 有关。有关。越大，越大，N越小，系统越小，系统的平稳性越好。的平稳性越好。几点结论：几点结论：二阶系统的动态性能由固有频率二阶系统的动态性能由固有频率n和阻尼比和阻尼比决定。决定。增加增加降低振荡，减小超调量降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数和振荡次数N。系统快速性降低，系统快速性降低，tr、tp、ts增加。增加。一定，一定，n越大，系统响应快速性越快，越大，系统响应快速性越快，tr、tp、ts越小。越小。Mp、N仅与仅与有关，而有关，而tr、tp、ts与与和和n有关。有关。通常根据允许的最大超调量通常根据允许

39、的最大超调量Mp来确定来确定。一般选择在一般选择在0.40.8之间，然后再调整之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。以获得合适的瞬态响应时间。jdn0s2s1n极点位置与阻尼角极点位置与阻尼角小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离决定响应尼角）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性。的快速性。221arctan 1dn，例题例题例例1 如图所示系统，要使系统的最大超调量如图所示系统，要使系统的最大超调量等于等于20%，峰值时间等于，峰值时间等于

40、1秒，试确定增益秒，试确定增益K和和Kh的数值，并确定在此的数值，并确定在此K和和Kh数值下，系数值下，系统的上升时间统的上升时间tr和调整时间和调整时间ts。解：（解：（1）系统的闭环传递函数为）系统的闭环传递函数为 2222211111nnnhhssKsKKsKsssKKssKs此系统为二阶系统，其中此系统为二阶系统，其中122hnnKKK（2）已）已知系统的最大超调量等于知系统的最大超调量等于20%，即，即2.021eMp0.4559lnln222ppMM可解得系统的阻尼比为可解得系统的阻尼比为（3）已知系统的峰值时间等于）已知系统的峰值时间等于1秒，即秒，即可解得系统的固有频率为可解得

41、系统的固有频率为 stndp112sradtpn3.529912（4）增益）增益K（5）增益）增益Kh（6）上升时间）上升时间tr（7）调整时间）调整时间ts22212.4599sradKn s0.178112KKnh sarctgtnr0.65071122 05.0,s1.8640302.0,s2.485341lnln2nnnst（8）系统的单位阶跃响应曲线）系统的单位阶跃响应曲线例例2 图图(a)所示为一机械系统，当在质量所示为一机械系统，当在质量M上上施加施加8.9N的阶跃力后，测得其位移的时间响的阶跃力后，测得其位移的时间响应曲线如图应曲线如图(b)所示，试求系统的质量所示，试求系统的

42、质量M、弹、弹簧刚度簧刚度K和粘性阻尼系数和粘性阻尼系数D。(a)(a)机械系统机械系统 (b)(b)时间响应曲线时间响应曲线 dttdxDtKxtfdttxdMooio22 222222111nnniossKMKsMDsMKKKDsMssFsXsGMKn2MDn2解：（解：（1）根据牛顿第二定律，列出系统的微分方程）根据牛顿第二定律，列出系统的微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，整理后可得系统的传递函数在零初始条件下进行拉氏变换，整理后可得系统的传递函数 此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联，其中令此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联，其中令 ssFi9.8 mtxot03.0lim msK

43、BsMsssFssGssXtxsisosot03.09.81limlimlimlim2000（2）已知系统的输入为阶跃力）已知系统的输入为阶跃力又已知系统的稳态响应为又已知系统的稳态响应为根据拉氏变换的终值定理，有根据拉氏变换的终值定理，有可解得弹簧刚度可解得弹簧刚度mNK/296.666703.09.8 Ntfi9.8其拉氏变换为其拉氏变换为xKF0967.003.00029.021eMp0.5968lnln222ppMM)(212stndpkg77.41432nKMsNmMDn/180.87752（3）已知系统的最大超调量）已知系统的最大超调量可解得阻尼比可解得阻尼比（4）已知系统的峰值时

44、间）已知系统的峰值时间可解得固有频率可解得固有频率，可得质量，可得质量MKn2（5）因为）因为（6）因为）因为MDn2，可得粘性阻尼系数，可得粘性阻尼系数sradtpn/1.957612（7）施加）施加8.9N的阶跃力后，系统的响应曲线的阶跃力后，系统的响应曲线习题：习题：P.1465-15-5控制工程基础控制工程基础第5章 控制系统的时间响应5.6 控制系统的稳态性能分析对控制系统的要求：稳定、准确、快速。对控制系统的要求：稳定、准确、快速。准确性，即系统的精度，是对控制系统的准确性，即系统的精度，是对控制系统的基本要求之一。基本要求之一。系统的精度用系统的稳态误差来度量。系统的精度用系统的

45、稳态误差来度量。稳态误差是指误差的终值。稳态误差是指误差的终值。本节讨论稳态误差。本节讨论稳态误差。5.6.1 稳态误差的基本概念本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础之上的。制系统基础之上的。稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称为控制系统的稳定状态，简称稳态。的固定响应称为控制系统的稳定状态，简称稳态。稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态时系统精度的度量。下，达到稳态时系统精度的度量。说明：误差产生的原因是多样的，本说明：误差产生的原因是多样

46、的，本节节只研只研究由于系统的结构、参量和输入信号的形式不同究由于系统的结构、参量和输入信号的形式不同等所引起的误差。等所引起的误差。系统偏差系统偏差 ：系统的输入：系统的输入 和主反馈信号和主反馈信号 之差。即之差。即)()()(tbtxti)(txi)(tb系统稳态偏差系统稳态偏差 ：当：当t时的系统偏差，用时的系统偏差，用 表示。即表示。即)(lim)(lim0sststssssss)(s控制系统的方框图如图控制系统的方框图如图所示。其中实线部分与实际的所示。其中实线部分与实际的控制系统有对应关系，虚线部控制系统有对应关系，虚线部分只用于说明概念。分只用于说明概念。误差与偏差的定义：误差

47、与偏差的定义：sXsHsXsBsXsoii系统误差系统误差 ：输出量的希望值：输出量的希望值 和实际值和实际值 之差。即之差。即)()()(txtxteoor)(txor)(txo系统稳态误差系统稳态误差 ：当：当t时的系统误差，用时的系统误差，用 表示。即表示。即)(lim)(lim0sEsteestssss)(sEsse sXsXsEoor对单位反馈系统，给定作对单位反馈系统，给定作用用 即为输出量的希望即为输出量的希望值值 ，误差误差 等于偏差等于偏差 ，即即ssssesssse)(txi)(txor)()(txtxior对非单位反馈系统，给定对非单位反馈系统，给定作用作用 不等于希望输

48、出不等于希望输出值值 ，二者一般相差，二者一般相差一个倍数一个倍数 ，误差，误差 不等于偏差不等于偏差 ，即，即ssssesse)(txi)(txor)(s误差误差 和偏差和偏差 的关系：的关系：或或)()()(sHssE)(sE)(s)()()(sEsHs ss)()()()()()()()()()()()(sEsHsXsXsHsXsHsXsHsBsXsooroori这里这里 是基于控制系统在理想工作情况下，是基于控制系统在理想工作情况下，偏差偏差 得到的。得到的。)()()(sXsHsXori0)(s即当控制系统的偏差信号即当控制系统的偏差信号 时，该控制系统无调节控制时，该控制系统无调节

49、控制作用，此时的实际输出信号作用，此时的实际输出信号 就是希望输出信号就是希望输出信号 。因为偏差因为偏差0)(s)(sXo)(sXor对于单位反馈系统，因为对于单位反馈系统，因为H(s)=1，所以误差等于偏差。，所以误差等于偏差。对于非单位反馈系统，因为对于非单位反馈系统，因为H(s)1，所以误差不等于偏差，所以误差不等于偏差，二者相差二者相差H(s)倍。倍。说明：在工程中，在明确误差和偏差的概念的情况下，二者说明：在工程中，在明确误差和偏差的概念的情况下，二者可以不加区分。对于单位反馈系统，可以认为，偏差就是误可以不加区分。对于单位反馈系统，可以认为，偏差就是误差，误差就是偏差。差，误差就

50、是偏差。误差误差 和偏差和偏差 的关系：的关系：)()()(sHssE)(sE)(s)()()(sEsHs 或或对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。二者往往不加区分。实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。互转换，如下所示。)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH-)(s)(0sC)(sB)(0sC)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(1s)(sH-)(s)(0sC)(1sH)(1sR)(sE)(sE5.6.2 稳

51、态误差的计算偏差传递函数：偏差传递函数：)()(11)(sHsGsXssi)()()(11lim)()(lim)(lim)(lim000sXsHsGssXsssstisisstss根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态偏差：得系统的偏差：得系统的偏差：)()()(11)()()(sXsHsGsXssii)()()(11)(1lim)()()(lim)(lim)(lim000sXsHsGsHssHsXsssEsteeisisstss根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：根据误根据误差差 和偏差和偏差 的关系：的

52、关系：)()()(sHssE)(sE)(s得系统的误得系统的误差为：差为：)()()(11)(1)()()()()()(sXsHsGsHsHsXssHssEii例例1 1：某单位反馈系统如图所示，求当：某单位反馈系统如图所示，求当x xi i(t)=1(t)(t)=1(t)时的时的稳态误差。稳态误差。解：解：差值。时，控制系统的稳态误，试求当输入信号为传递函数为设单位反馈系统的开环补充例题：221)(1G(s)ttrTs limsE(s)lime (2)e t T)-T(teTe(t)-(s)R(s)E(s)(1)R(s)tr(t)(s):1/T)s(s10s0sssss-21/TSTSTST

53、1/T)(SS1S1221/1S(S)11Tt22223由终值定理时时当解TSG5.6.3 稳态误差系数定义：定义：当当=0=0时，称时，称开环开环为为0 0型系统，没有积分环节；型系统，没有积分环节；当当=1=1时，称时，称开环开环为为I I型系统，有型系统，有1 1个积分环节；个积分环节；当当=2=2时，称时，称开环开环为为IIII型系统，有型系统，有2 2个积分环节；个积分环节；,依次类推。依次类推。（1）开环开环系统的系统的“型型”的定义的定义niimiisTssKsHsG11)1()1()()(闭环负反馈控制系统闭环负反馈控制系统的的开环传递函数开环传递函数一般可以表示为一般可以表示

54、为:11111121210sTsTsTsssKsHsGnm 111111121211sTsTsTssssKsHsGnm 1111112212212sTsTsTssssKsHsGnm开环开环为为0 0型系统型系统:开环开环为为I I型系统型系统:开环开环为为IIII型系统型系统:所对应的所对应的稳态误差为：稳态误差为：（2）稳态误差系数的定义）稳态误差系数的定义)()()(11lim)()(lim)(lim)(lim000sXsHsGssXsssstisisstss闭环系统在输入信号闭环系统在输入信号xi(t)作用下的稳态偏差为：作用下的稳态偏差为：)()()(11)(1lim)()()(lim

55、)(lim)(lim000sXsHsGsHssHsXsssEsteeisisstss稳态位置误差系数稳态位置误差系数闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差为：闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差为：sHsGHssHsGsHsessss00lim11011111lim定义稳态位置误差系数：定义稳态位置误差系数：00lim0HGsHsGKsp则闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差则闭环系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差可以写为：可以写为：pssKHe1101对于单位反馈控制系统，有：对于单位反馈控制系统，有：pssKe11稳态速度误差系数稳态速度误差系数闭环系统在单位速度输入信

56、号作用下的稳态误差为：闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差为：sHssGHsHssGsHssHsGsHsesssss0020lim1011lim011111lim定义稳态速度误差系数：定义稳态速度误差系数：sHssGKsv0lim则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差可以写为：可以写为：vssKHe101对于单位反馈控制系统，有：对于单位反馈控制系统，有：vssKe1稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数闭环系统在单位加速度输入信号作用下的稳态误差为：闭环系统在单位加速度输入信号作用下的稳态误差为：sHsGsHsHsGssHssHsGsHs

57、esssss2022030lim1011lim011111lim定义稳态加速度误差系数：定义稳态加速度误差系数：sHsGsKsa20lim则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差则闭环系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差可以写为：可以写为：assKHe101对于单位反馈控制系统，有：对于单位反馈控制系统，有：aKess1开环为开环为0 0型系统时，型系统时，=0=0KsTsKsGKniimiissp1100)1()1(lim)(limKKepssp11110)1()1(lim)(lim1100niimiissvsTsKsssGKvssvKe10)1()1(lim)(lim112020ni

58、imiissasTsKssGsKassaKe1vniivmiisTssKsG11)1()1()(（3）不同类型的）不同类型的单位单位反馈控制系统的稳态误反馈控制系统的稳态误差系数和稳态误差差系数和稳态误差vniivmiisTssKsG11)1()1()()(lim0sGKsp011psspKeKssGKsv)(lim0KKevssv110)(lim20sGsKsaassaKe1开环为开环为I I型系统时，型系统时，=0=0vn1iivm1ii)1sT(s)1s(K)s(H)s(G)(lim0sGKsp0K11epssp)(lim0ssGKsv0K1evssvKsGsKsa)(lim20K1K1

59、eassa开环为开环为IIII型系统时，型系统时，=0=0此表概括了开环分别为此表概括了开环分别为0型、型、型和型和型时的闭环型时的闭环单位单位负反馈控制负反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；系统在不同输入信号作用下的稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论：零。由此表可以得如下结论：(1)同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。(2)同一

60、个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。(3)系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。（4）稳态误差系数和稳态误差的总结）稳态误差系数和稳态误差的总结例例2 2：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位阶：某单位反馈系统如图所示，求闭环系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。跃、斜坡、加速度输入时的稳态误差。单位阶跃输入时的稳态误差：单位阶跃输入时的稳态误

61、差：单位斜坡输入时的稳态误差：单位斜坡输入时的稳态误差：单位加速度输入时的稳态误差：单位加速度输入时的稳态误差：解：单位反馈闭环系统的开环传递函数为解：单位反馈闭环系统的开环传递函数为I I型。型。121222sssssGnnnn影响稳态误差的因素：影响稳态误差的因素：（1）给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统）给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。加入不同的输入，稳态误差不同。（2）与时间常数形式的开环增益有关。开环增益）与时间常数形式的开环增益有关。开环增益K，稳，稳态误差态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。，但同时系统的稳定性和动态特性变

62、差。（3）与积分环节的个数有关。积分环节的个数）与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态，稳态误差误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。，但同时系统的稳定性和动态特性变差。减小和消除稳态误差方法：减小和消除稳态误差方法：（1）提高系统的开环增益。）提高系统的开环增益。（2）增加系统开环传递函数中积分环节的个数。）增加系统开环传递函数中积分环节的个数。但是这两种方法会降低系统的稳定性。但是这两种方法会降低系统的稳定性。由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。态特性的要求是矛盾的。因此，系统的稳定性、准确性与快速性之

63、间的关系是相因此，系统的稳定性、准确性与快速性之间的关系是相互关联和相互矛盾的。互关联和相互矛盾的。系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差），等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成时，即avpssrKCKBKAe1有,2)(2时当CtBtAtr下面再说明几个问题。下面再说明几个问题。用稳态误差系数用稳态误差系数Kp、Kv和和Ka表示的稳态误差分别被称为表示的稳态误差分别被称为位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度

64、误差后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差，而是指系统在速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。速度误差和加速度误差的量纲是一样的。在以上的分析中，习惯地称输出量是在以上的分析中，习惯地称输出量是“位置位置”，输出量的输出量的变化率是变化率是“速度速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样适用，但是，对于误差分析所得到的结论同样适用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制

65、中，上述的于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上述的“位位置置”就表示温度，就表示温度，“速度速度”就表示温度的变化率，等等。因此，就表示温度的变化率，等等。因此，对于对于“位置位置”、“速度速度”等名词应当作广义的理解。等名词应当作广义的理解。5.6.4 扰动引起的稳态误差跟随误差：表示系统跟随系统的输入信号的变化所产生的跟随误差：表示系统跟随系统的输入信号的变化所产生的误差，用误差，用esr表示。表示。扰动误差：表示系统在扰动信号作用下，系统偏离平衡点扰动误差：表示系统在扰动信号作用下，系统偏离平衡点的情况，用的情况，用esn表示。表示。稳态误差：跟随误差与扰动误差的叠加，用稳态

66、误差：跟随误差与扰动误差的叠加，用ess表示。表示。ess=esr+esn)(sXi)(sN)(sXo)(2sG)(1sG-+)(s)(sH)(sB)(sXi)(sN)(sXo)(2sG)(1sG-+)(s)(sH)(sB)()()(11)()()(211sHsGsGsXssi给定作用下的偏差传递函数给定作用下的偏差传递函数)(2sG)(sH-)(sB)(1sG)(sXo)(sXi)(s扰动作用下的偏差传递函数扰动作用下的偏差传递函数)()()(1)()()()()(2122sHsGsGsHsGsNss)(sXi)(sN)(sXo)(2sG)(1sG-+)(s)(sH)(sB)(1sG)(2sG)(sH)(sB)(sN+1)(sXo)(s对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差)()()(1)()()(lim)()()(1)(lim)(lim)(lim21202100sHsGsGsNsHssGsHsGsGssXssEteesisstss注意：只有稳定的系统，才可以计算稳态偏差。注意：只有稳定的系统，才可以计算稳态偏差。给定和扰