数学分析傅里叶级数课件

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1、数学分析傅里叶级数第十四章 Fourier级数数学分析傅里叶级数 0nnux两类重要的函数项级数两类重要的函数项级数 幂级数幂级数三角级数三角级数01cossin2nnnaanxbnx问题问题 三角级数收敛？表示的函数给定函数能否用三角级数表示研究函数()()iii满足什么条件，可以展开成三角级数若可以展开，展开式是什么形式？fx数学分析傅里叶级数一、三角函数系的正交性一、三角函数系的正交性14.1 14.1 三角级数与三角级数与FourierFourier级数级数1 cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,xxxxnxnx，1 1、三角函数系：、三角函数系：（正交系）（正交系）定

2、理定理14.114.1 三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，在在 区间上的积分为区间上的积分为0 0，即：，即：,数学分析傅里叶级数回答问题（回答问题（ii ii），利用正交性和一致收敛性，逐项积分），利用正交性和一致收敛性，逐项积分 定理中的积分区间可以改为长度为定理中的积分区间可以改为长度为 的区间的区间可得可得:01af x dx 1coskafxkxdx 1,2,k 1sinkbfxkxdx 1,2,k sincos0mxnxdxsinsin0mxnxdxcoscos0mxnxdxcos0nxdxsin0nxdx上述定理的结论，称为三角函数系（上

3、述定理的结论，称为三角函数系（1 1）的正交性）的正交性2()mn数学分析傅里叶级数设设 f x在在,绝对可积绝对可积记为记为 01cossin2nnnafxanxbnx 2 2）常数项写成）常数项写成02a是为了与是为了与na的表达式统一的表达式统一说明：说明：1 1）上式不能写成等号）上式不能写成等号定义定义14.114.1若 在有界，则表示可积()f x，若 在无界，则表示绝对可积()f x，01cossin2nnnaanxbnx称称为为 f x的傅立叶级数。的傅立叶级数。数学分析傅里叶级数11(1)sin()2nnnxf xn例例1 1(),(,),2f xx xT ，求其傅立叶级数。

4、，求其傅立叶级数。()f x解：由于解：由于 为奇函数知，为奇函数知，0na 1012(1)2sinsinnnbxnxdxxnxdxn看看P118P118图图数学分析傅里叶级数 例例2 2解：看解：看P118P118图由于图由于 f(x)为奇函数知，为奇函数知，1,0()0,0,21,0 xf xxTx，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。14sin(21)4sin3sin5()(sin.)2135nnxxxf xxn0na 04,12sinsin0,nnbxnxdxxnxdxnn为奇数为偶数数学分析傅里叶级数22114cossin()443nnnxnxf xnn例例3 32(),(0,2),2

5、f xxxT，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。解：解：222200124cossinnaxnxdxxnxdxnn 看看P118P118图图22200183ax dx22014sinnbxnxdxn 数学分析傅里叶级数22214cos(21)4cos3cos5()(cos.)2(21)235nnxxxf xxn例例4 4(),2f xx xT ，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。看看P118P118图图0022cossinnaxnxdxnxdxn 解：看解：看P119P119图由于图由于 f(x)为偶函数知，为偶函数知，0nb 002axdx24,0,nnn为奇数为偶数数学分析傅里叶级数 f(

6、x)可展开成它的可展开成它的FourierFourier级数的条件：级数的条件：即上式划即上式划“等号等号”的条件的条件 按函数项级数收敛的定义，考察按函数项级数收敛的定义，考察 Fourier Fourier 级数的部分和：级数的部分和：方法：方法：给出部分的一个表达式给出部分的一个表达式 14.2 14.2 FourierFourier级数的收敛性级数的收敛性数学分析傅里叶级数设 01cossin2nnnafxanxbnx记;nnsf xsf x01cossin2nkkkaakxbkx把：1coskafxkxdx 1,2,k 1sinkbfxkxdx 1,2,k 代入上式，得:1sin12

7、;12sin2nnuxsf xf uduux 称为Dirichlet积分 数学分析傅里叶级数在上述积分中，令 t=u x 得 01sin12;42sin2nntsf xf xtf xtdtt在（1）中取 1f x 得:011sinsin122212sin2sin22ntntdtdttt先看;nsf x是否逐点收敛？0,x 0;nsf xs，即;0nsf xsn;nsf xs0001sin1222sin2ntf xtf xtsdtt 001sin1252sin2xnttdtt取数学分析傅里叶级数其中其中 0002xtf xtf xts综上：综上：FourierFourier级数在级数在0 x使以

8、下的极限式成立：使以下的极限式成立：001sin12lim02sin2xnnttdtt当上式成立时，当上式成立时，f x的的FourierFourier级数在级数在0 x点收敛于点收敛于S S 是否收敛是否收敛,归结为：归结为：能否取到适当的能否取到适当的S S，将（将（*）分成两部分）分成两部分0011;nsf x后一积分的处理用下面：后一积分的处理用下面：数学分析傅里叶级数引理1 若 g t在,a b绝对可积，则 limsin0bapg tptdt limcos0bapg tptdt若 f t以2为周期。且在,绝对可积，则 f x的Fourier系数,nna b，当n 时趋向于0，即lim

9、lim0nnnnab推论：数学分析傅里叶级数若 f x以2为周期，在,绝对可积，则 f x的Fourier级数在0 x点的收敛与发散，只与函数 f x在0 x附点的值有关 证明：定理定理14.214.2数学分析傅里叶级数0,不妨设不妨设0,由由RiemamRiemam引理知引理知2lim0nI所以：所以：f x的的fourierfourier级数在级数在0 x是收敛与发散是收敛与发散当当n 时时0;nsf x收敛与发散收敛与发散当当n 时时1I的收敛的与发散的收敛的与发散 f x在在00,xx的性质的性质数学分析傅里叶级数进一步可以证明：当进一步可以证明：当n 时，时，0001sin122si

10、n21sin12xxnttdttnttdtt的收敛情况相同：的收敛情况相同：叙述叙述125P的事实的事实 现在给出现在给出fourierfourier级数收敛性判别法：级数收敛性判别法：积分积分0;nsf x收敛与发散性与收敛与发散性与数学分析傅里叶级数（DiniDini判别法）判别法）若能取到合适的若能取到合适的S S使函数使函数 0 xt002f xtf xtS满足：满足：在某个在某个0,绝对可积，即绝对可积，即 00 xtdtt存在存在,f x的的fourierfourier级数在级数在0 x点收敛于点收敛于S,S,即即0,nSf xS n 设设 f x以以2为周期，在为周期，在,绝对可

11、积，绝对可积，定理定理14.314.3 0 xtt则则数学分析傅里叶级数下面讨论下面讨论S S的选取：有以下两种常见情况：的选取：有以下两种常见情况：f x在在0 x连续，取连续，取 S=S=0f x则则 000 xtf xtf xtt00f xtf xt这时只要右边两项在这时只要右边两项在0,绝对可积，就有绝对可积，就有 f x的的fourierfourier级数级数0f x,注意到注意到:0000f xtf xt 由比较判别法，要由比较判别法，要 0 xtt在在0,绝对可积，只需绝对可积，只需00f xtf x趋于趋于0 0的速度足够快即可，这就是的速度足够快即可，这就是Th14.4.Th

12、14.4.（1 1）收敛到收敛到数学分析傅里叶级数（2）f x在0 x是第一类间断或可去间断，即000,0f xf x存在，取00002f xf xs类似（1）的讨论：只需 0000()(0)0()(0)0f xtf xf xtf x (0)t足够快便有()f x的Fourier 级数在0 x点收敛到00(0)(0)2f xf x 数学分析傅里叶级数定理定理14.414.4（Lipschitz Lipschitz 判别法）判别法）P127 P127 若若 f x以以2为周期，在为周期，在,绝对可积，且绝对可积，且0 x满足满足 阶的阶的LipschitzLipschitz条件，即存在条件，即存

13、在(0)0与常数与常数M,使得使得00()(0)fxtf xMtt 则则()f x的Fourier 级数在点收敛到0 x0()f x数学分析傅里叶级数推论推论1 1 且且()f x在在0 x点可导，或点可导，或00(),()fxfx存在存在,则则()f x的的Fourier级数在级数在0 x点收敛到点收敛到0()f x上面的讨论推广到上面的讨论推广到()f x在在0 x是第一类间断点或可去间断点的情形是第一类间断点或可去间断点的情形()f x在在,a b逐段可微：逐段可微：P128P128：(0)if x 1.1.每个小开区间可导每个小开区间可导2.2.存在存在3.3.广义左右微商存在，即广义

14、左右微商存在，即逐段光华逐段光华综合：得：综合：得：若若 f x以以2为周期，在为周期，在,绝对可积，绝对可积，00()(0)()(0)limlimiiiittf xtf xf xtf xtt，存在数学分析傅里叶级数P128 P128 若若(),2f x T在在,逐段可微，则逐段可微，则()f x的的Fourier级数级数01(cossin)2nnnaanxbnx x为为()f x的连续点的连续点x为为()f x的不连续点。的不连续点。Fourier级数级数(0)(0)2ff同理在同理在x点收敛到同一数。点收敛到同一数。x 点的收敛情况：点的收敛情况：x点：点：说一下：说一下：在在定理定理14

15、.514.5()(0)(0)2f xf xf x，14.5Th(0)(0)2ff数学分析傅里叶级数（P116 例例2）：）：()4sin3sin5()(sin.)0350f xxxf xx，0,00 xorxxx 看看P130P130图图（P115 P115 例例1 1）()f xx，x11()(1)sin()20nnf xnxf xn，xx 例例1 1例例2 2看看P131P131图图数学分析傅里叶级数例例3 32()f xx，.x 求其Fourier展开式。解：1）.画图Fourier系数。()f x为偶函数，2）.求220202240,cos(1)3nnnbaaxnxdxn 数学分析傅里

16、叶级数 3）.2211cos()4(1)3nnnxf xn 4）.由于函数处处连续，逐逐段可微，故 22211cos4(1)3nnnxxn在上式中取 x 得：222211116234 数学分析傅里叶级数例例4.4.（P117 例4）(),2f xx xT 求其傅立叶级数求其傅立叶级数.214cos(21)()2(21)nnxf xn解：解：224cos3cos5(cos.)235xxx由于函数处处连续，逐逐段可微，故 224cos3cos5()(cos.),235xxf xxxx 数学分析傅里叶级数例例5 5.(P134)()cos,(,),2f xx xT 求其傅立叶级数。求其傅立叶级数。2

17、21sin2 sin()(1)cos()nnf xnxn 解：解：由于函数处处连续，逐逐段可微，故()cosf xx0,nb 02sin,a222 sin(1)()nnan 221sin2 sin(1)cos,(,)()nnnx xn 数学分析傅里叶级数P136P136（逐项积分）(),2f x T在在,除有限个可去间断点除有限个可去间断点01()(cossin)2nnnaf xanxbnx定理定理14.614.6或第一类间断点外是连续的，且，或第一类间断点外是连续的，且，则则1()nnbin收敛；0011sincos()()2xnnnnnabanxbnxiif t dtxnn.x对一切 成立

18、数学分析傅里叶级数设()f x以2l为周期，在,l l绝对可积。做变换lxt，则()()ltft是以201()(cossin)2nnnannf xaxbxll其中：1()coslnlnaf xxdxll(0,1,2,3)n 1()sinlnlnbf xxdxll(1,2,3)n 这就是周期为2l的函数()f x的Fourier级数。为周期的函数，用前面的讨论得：14.3 14.3 任意区间上的任意区间上的FourierFourier级数级数数学分析傅里叶级数上面的方法：2l的函数 变 换以周期为2另外的方法：沿用研究周期为2展开的方法。221,cos,sin,cos,sin,cos,sin,n

19、nllllll在,l l（或任意长度为2l的区间）是正交的。的函数。易证：以周期为的函数的Fourier数学分析傅里叶级数一般一个函数只给出了有限区间,a b一个周期函数，那么能否考虑它的Fourier展开呢？可以,只要把函数按周期延拓到整个数轴即可，下面两个常用（有用）的延拓方法。上的定义不能说它是数学分析傅里叶级数例：不妨设()0,f xl在定义。给出(),0f xl在定义使(),f xl l在为偶函数，再把()f x按2l为周期沿拓到整个数轴，这时：0nb 1,2n 02()coslnnaf xxdxll 0,1,2n 01()()cos(0)(0)22nnf xanf xaxf xf

20、xl，一偶延拓：一偶延拓：为的连续点 为的间断点xx数学分析傅里叶级数二奇延拓：二奇延拓：(),0f xl在定义使(),f xl l在为奇函数，再把()f x按2l为周期沿拓到整个数轴，这时：0na 0,1,2n 02()sinlnnbf xxdxll 1,2n 1()()sin(0)(0)2nnf xnf xbxf xf xl，给出 为的连续点 为的间断点xx数学分析傅里叶级数例例1.1.2()0,42xxf x在22002()423xxadx 202()cos42nxxanxdx 2002sin2cos()|()|4222xxnxxnxnnn 21n2221cos,0.426nxxnxxn

21、 将函数按余弦展开。解解:根据偶延拓计算傅立叶系数因此数学分析傅里叶级数例例2.2.2()0,42xxf x在202()sin42nxxbnxdx2002cos1()()|()cos42xxnxxnxdxnn0220(1)11()sin|sin2nxnxnxdxnnn03(1)1cos|2nnxnn3(1)1(1)1),(1,2)2nnnnn2311(1)2sin(21)sin422(21)nnnxxnxnxnn将函数按正弦展开。根据奇延拓计算傅立叶系数解解:因此数学分析傅里叶级数内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理)sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断

22、点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(n数学分析傅里叶级数注意注意:0 x若 为间断点,则级数收敛于00(0)(0)2f xf x2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数数学分析傅里叶级数习题1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解:先求傅里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos)1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f(x)展成傅里叶级数

23、.11数学分析傅里叶级数xnxxfbndsin)(100dsin11dsin)1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn)1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk)12sin(121),2,0,(xx数学分析傅里叶级数xoy2.2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f(x)展成傅里里叶级数.解:xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 数学分析傅里叶级数),2,1(n

24、xnxxfbndsin)(1nn 1)1(),2,1(k12 knkn2,00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2)12(2k),2,1,0,)12(,(kkxx说明:当)12(kx时,级数收敛于22)(0数学分析傅里叶级数3.3.将函数则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解:将 f(x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x),

25、oyxxxxxxf0,0,)(数学分析傅里叶级数x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2)12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x=0 时,f(0)=0,得2222)12(1513118n说明:数学分析傅里叶级数4.4.设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解:若不计),2,1,0()12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数,yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),

26、3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21)1(2nn数学分析傅里叶级数n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin)1(1),1,0,)12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f(x)的情况见右图.n5数学分析傅里叶级数5.5.将周期函数tEtusin)(展成傅里叶级数,其中E 为正常数.解:)(tu2yxo2;),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d)1sin()1sin(ttntnE是周

27、期为2 的0d)(2ttu数学分析傅里叶级数t 2cos310d)1sin()1sin(ttntnEankn212,0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,)14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412数学分析傅里叶级数补充题1.1.将函数)0(1)(xxxf展成余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin)1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxx数学分析傅里叶级数1xyonnncoscos1212 kn),2,1(k,1222k1,k1,2nkk

28、数学分析傅里叶级数x1y)(xfo0a0d)1(2xxna0dcos)1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,)12(42knk),2,1(k作偶周期延拓,0,2nk对数学分析傅里叶级数0 x2.2.设,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式.解:由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx,),(上在;)()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2),0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域数学分析傅里叶级

29、数3.3.写出函数)(xf0,1x x0,1上在,)(xS0,1x x0,10 x,0 x,0答案:xyo11)(xf数学分析傅里叶级数4.4.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为,)sincos(210nnnnxbnxaa则其中系.3b数提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21xx3sin0 x3cos31x3sin91)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 数学分析傅里叶级数5.5.设)(xf是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为,na则)()(为常数hhxf的傅氏系数.,nnba提示:xdxnfancos)(1hx thtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函数性质,nb数学分析傅里叶级数作业 P118 2(1)(3)(5)(7)P140 1,2(1)