四川省雅安市2021届高三数学下学期第三次诊断考试试卷理（含解析）

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1、四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试卷理（含解析）四川省雅安市2017届高三下学期第三次诊断考试理科数学一、选择题：共12题1设全集U=0,-1,-2,-3,-4，集合M=0,-1,-2，N=0,-3,-4，那么(CUM)N为A.0B.-3,-4C.-1,-2D.【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意，全集U=0,-1,-2,-3,-4，集合M=0,-1,-2，N=0,-3,-4，CUM=-3,-4，那么(CUM)N=-3,-4，故选B.2复数z=-3+i2+i的共轭复数是A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念及复数的

2、四则运算.复数z=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i，其共轭复数是-1-i，故选D.3若y=f(x)是定义域在R上的函数，则y=f(x)为奇函数的一个充要条件为A.f(0)=0B.对xR，f(x)=0都成立C.x0R，使得f(x0)+f(-x0)=0D.对xR，f(x)+f(-x)=0都成立【答案】D【解析】本题主要考查函数的性质.对于选项A，f(0)=0为y=f(x)为奇函数必要不充分条件；对于选项B，对xR，f(x)=0都成立为奇函数必要不充分条件；对于选项C，x0R，使得f(x0)+f(-x0)=0为奇函数必要不充分条件；对于选项D，根据函

3、数奇偶性定义，对xR，f(x)+f(-x)=0都成立y=f(x)为奇函数的一个充要条件，故选D.40cosxdx=A.1B.-2C.0D.【答案】C【解析】本题主要考查定积分.0cosxdx=sinx|0=sin-sin0=0，故选C.5执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为A.i3B.i4C.i6D.i7【答案】A【解析】本题考查流程图.第一次,S=1+21=3,i=1+1=2; 第二次,S=3+22=7,i=2+1=3;第三次,S=7+23=15,i=3+1=4; 第四次,S=15+24=31,i=4+1=5.输出31,所以判断框中应填入的条件为i3.选A.

4、【备注】高考中流程图的考查一般不超过5步即可出结果,注意运算过程的准确性.6将函数f(x)=sin(4x+3)的图象向左平移(0)个单位后关于直线x=12对称，则的最小值为A.6B.524C.4D.724【答案】B【解析】本题主要考查三角函数图像及三角函数性质.将函数f(x)=sin(4x+3)的图象向左平移(0)个单位得y=sin4(x+)+3，其图像关于直线x=12对称，则4(12+)+3=k+2,kZ，解得=k4-24,，当k=1时，kZ，的最小值为524，故选B.7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3B.103C.6D.83【答案】A【解析】本题主要考查三视图及空间几

5、何体的体积.依题意，该几何体为圆柱的一部分，将两个该几何体拼接成一个圆柱，圆柱体积为12(2+4)=6，故该几何体体积为3，故选A.8对一切实数x，不等式x2+a|x|+10恒成立，则实数a的取值范围是A.(-,-2)B.-2,+)C.-2,2D.0,+)【答案】B【解析】本题主要考查基本不等式.当x=0时，不等式恒成立，当x0时，将问题转化为-a1|x|+|x|，由1|x|+|x|2，故-a2即a-2，故选B.9半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)，则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是A.16(-3)B.16(-2)C.8(2-32)D.8(2-3)【

6、答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的表面积.设该四棱柱高为h，由球的直径为四棱柱的体对角线，即22+22+h2=42，得h=22，则四棱柱的侧面积S侧=4222=142，球的表面积为S=422=16，则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16(-2)，故选B.10若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则ab等于A.32B.43C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理.由2bsin2A=3asinB，得4sinBsinAcosA=3sinAsinB，得cosA=34，又c=2b，根据余弦定理得a2=b2+c2-2b

7、ccosA=b2+4b2-4b234=2b2，得ab=2，故选C.11已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且当PA与抛物线相切时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.5-12B.2+12C.2+1D.5-1【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，由|PA|=m|PB|，则|PA|=m|PN|则1m=|PN|PA|设PA的倾斜角为,则sin=1m，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可

8、得x2=4(kx-1)，即x2-4kx+4=0，则=16k2-16=0，则k=1，则P(2,1)，则双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(2-1)，则双曲线的离心率为22(2-1)=2+1，故选C.12已知函数f(x)=|lnx|，g(x)=0|x2-4|-2(01)则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】本题主要考查函数与方程.当0x1时，|f(x)+g(x)|=|lnx|.由|lnx|=1，得x=1e或x=e（舍）.当x1时，由|f(x)+g(x)|=1，则g(x)=1-f(x)或g(x)=-1-f(x)，作图.由图（1）知g(x)=

9、1-f(x)有两个实数根，由图（2）知g(x)=-1-f(x)有1个实数根.综上，|f(x)+g(x)|=1有4个实数根，故选B.二、填空题：共4题13变量x，y满足约束条件x+y-20x-y-20y1，则目标函数z=x+3y的最小值.【答案】4【解析】本题主要考查简单的线性规划问题.依题意，作出可行域，当目标函数z=x+3y平移至点A(1,1)时，z取最小值为4，故填4.14展开式(x2-2x3)5中的常数项为.【答案】40【解析】本题主要考查二项式定理.依题意，展开式(x2-2x3)5中的通项为Tr+1=C5r(x2)5-r(-2x3)r=C5r(-2)rx10-5r，令10-5r=0得r

10、=2，故展开式中的常数项为C52(-2)2=40，故填40.15设a，b，c1,2,3,4,5,6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有个.【答案】27个【解析】本题主要考查两个计数原理.由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，先考虑等边三角形情况则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b当a=b=1时，ca+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时,c4,则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了)，此时n有2个；当a=b=3时，c6，则c=1，2，4，5，

11、此时n有4个；当a=b=4时，c8，则c=1，2，3，5，6，有5个；当a=b=5时，c10，有c=1，2，3，4，6，有5个；当a=b=6时，c12，有c=1，2，3，4，5，有5个；由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27，故填27.16直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N.若c2=a2+b2，P为圆O上任意一点，则PMPN的取值范围是.【答案】-6,10【解析】本题主要考查平面向量数量积.取MN的中点A，连接OA，则OAMN，由c2=a2+b2，则O点到直线MN的距离OA=|c|a2+b2=1，x2+y2=16的半径r=4，则RtAON中,设AON=,得co

12、s=OAON=14，cosMON=cos2=2cos2-1=18-1=-78，可得,OMON=|OM|ON|cosMON=44(-78)=-14，则PMPN=(OM-OP)(ON-OP)=OMON+OP2-OP(OM+ON)=-14+16-2OPOA=2-2|OP|OA|cosAOP=2-8cosAOP，当OP,OA同向时，取得最小值且为2-8=-6，当OP,OA反向时，取得最大值且为2+8=10.则PMPN的取值范围是-6,10，故填-6,10.三、解答题：共7题17在等差数列an中，a2+a7=-23，a3+a8=-29(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an+bn是首项为1，公比为q

13、的等比数列，求bn的前n项和Sn.【答案】(1)设等差数列an的公差是d.由已知(a3+a8)-(a2+a7)=2d=-6d=-3a2+a7=2a1+7d=-23，得a1=-1，数列an的通项公式为an=-3n+2(2)由数列an+bn是首项为1，公比为q的等比数列，an+bn=qn-1，bn=qn-1-an=3n-2+qn-1，Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+q+q2+qn-1)当q=1时，Sn=n(3n-1)2+n=3n2+n2当q1时，Sn=n(3n-1)2+1-qn1-q【解析】本题主要考查数列的通项公式及数列求和.(1)设等差数列an的公差是d.利用(a3+a8)-(a2+a7

14、)=2d=-6，求得d的值，代入a2+a7=-23求得a1，从而求得数列的通项公式.(2)由数列an+bn是首项为1，公比为q的等比数列，得an+bn=qn-1，由(1)得bn=qn-1-an=3n-2+qn-1，利用分组求和对q进行讨论求得数列的和.18电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.()根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,你是否有理由认为“体育迷”与性别有关

15、？()将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的,求x的分布列,期望e(x)和方差d(x).附：x2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2【答案】()由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而22列联表如下：由22列联表中数据代入公式计算,得：x2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100(3010-4515)275254555=100333.030.因为3.030b0)的短轴长为2，离心率为

16、22，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点(0,-12).(1)求椭圆C的标准方程；(2)当AOB(O为坐标原点)面积取最大值时，求直线l的方程.【答案】(1)由已知可得e=ca=22,2b=2,a2=b2+c2解得a2=2，b2=1，故椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程y=kx+m,x22+y2=1,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.当=8(2k2-m2+1)0，即2k2m2-1时，x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2.所以x1+x22=-2km1+2k2，

17、y1+y22=m1+2k2.当k=0时，线段AB的垂直平分线显然过点(0,-12)SAOB=12|AB|m|=12|m|221-m2=2(1-m2)m2因为m(-1,0)(0,1),所以m2(0,1)SAOB2(1-12)12=22，当m2=12时，取到等号.则l:y=22当k0时，因为线段AB的垂直平分线过点(0,-12)，所以y1+y22-(-12)x1+x22-0=-1k，化简整理得2k2+1=2m.由2k2+1=2m,2k2+1m2,得0m2.又原点O到直线AB的距离为d=|m|1+k2.|AB|=1+k2|x1-x2|=21+k24k2-2m2+21+2k2所以SAOB=12|AB|

18、d=|m|4k2-2m2+21+2k2而2k2+1=2m且0m2，则SAOB=124m-2m2，0m0，所以f(x)在(0,+)上单调递增；当a0时，由f(x)0得x1a，由f(x)1a，所以f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+)上单调递减.综上所述：当a0时，f(x)在(0,+)上单调递增；当a0时，f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+)上单调递减.(3)由(2)可知，当a0，故f(x)在1,e2上没有零点；当a=0时，f(x)在1,e2上单调递增，而f(1)=-12a=0，故f(x)在1,e2上有一个零点；当a0时，若1a1，即a1时，f(x)在1,e2上单调递减，f(

19、1)=-12a0，f(x)在1,e2上没有零点；若11ae2，即1e4a1时，f(x)在1,1a上单调递增，在1a,e2上单调递减，而f(1)=-12a0，f(1a)=-12lna-12，f(e2)=2-12ae4，若f(1a)=-12lna-121e时，f(x)在1,e2上没有零点；若f(1a)=-12lna-12=0，即a=1e时，f(x)在1,e2上有一个零点；若f(1a)=-12lna-120，即a0得a4e4，此时，f(x)在1,e2上有一个零点；由f(e2)=2-12ae40得a4e4，此时，f(x)在1,e2上有两个零点；若1ae2，即0a1e4时，f(x)在1,e2上单调递增，

20、f(1)=-12a0，f(x)在1,e2上有一个零点.综上所述：当0a4e4或a=1e时，f(x)在1,e2上有一个零点；当a1e时，f(x)在1,e2上没有零点；当4e4a0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=-18250，t10，t20所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=1825【解析】本题主要考查参数方程与极坐标.(1)由x=3cosy=sin消去参数，求得曲线C的普通方程，由sin(-4)=2，得sin-cos=2，化简得y=x+2，从而求得直线的倾斜角.(2)(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，求得直线l的参数方程为x=22ty=

21、2+22t(t为参数)，代入x29+y2=1，利用韦达定理结合参数方程的几何意义求得|PA|+|PB|的值.23已知函数f(x)=|x+1|(1)求不等式f(x)f(a)-f(-b).【答案】(1)当x-1时，原不等式可化为-x-1-2x-2，解得x-1当-1x-12时，原不等式可化为x+1-2x-2，解得x-1，此时原不等式无解；当x-12时，原不等式可化为x+11综上，M=x|x1.(2)证明：因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|，所以，要证f(ab)f(a)-f(-b)，只需证|ab+1|a+b|，即证|ab+1|2|a+b|2，即证a2b2+2ab+1a2+2ab+b2，即证a2b2-a2-b2+10，即证(a2-1)(b2-1)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a2-1)(b2-1)0成立，所以原不等式成立.【解析】本题主要考查绝对值不等式.(1)利用零点分区间对自变量x分类讨论，求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式证得f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|，故要证f(ab)f(a)-f(-b)，只需证|ab+1|a+b|，利用分析法证得不等式.27