哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇第1章分析力学基础

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1、第 一 章分析力学基础牛顿第二定律（矢量形式表示出来）物体运动与相互作用之间的关系求解具有复杂约束系统和变形体的动力学问题采用分析数学的方法质点系动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理和动能定理矢量力学通过虚位移原理和达朗贝尔原理建立普遍形式下的动力学方程能量与功分析力学第一章 分析力学基础1-1 自由度和广义坐标1-2 以广义坐标表示的质点系平衡方程1-3 动力学普遍方程1-4 第二类拉格朗日方程1-5 拉格朗日方程的初积分*1-6 第一类拉格朗日方程*一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个独立参数一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2n)3n个独立参数对一个非自由

2、质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立参数。其自由度为 N=3n-s 。在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立坐标的数目，等于系统的自由度数自由度数。1-1 自由度和广义坐标确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度一个自由度。曲柄连杆机构222ryxAA0 ,)()(222BABABylyyxx一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为 通常，n 与 s 很大而N 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的N个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。描述质点系在空间中的位置的独立参数描述质点系在空间中的位

3、置的独立参数，称为广义坐标广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s 等）也可以取角位移（如,等）。对于对于完整系统完整系统，广义坐标广义坐标的数目等于系统的的数目等于系统的自由度数自由度数目。目。snN 3自由度N的确定设平面上n个质点，受s个约束，自由度数为 N=2n-s一个点在平面上具有一个点在平面上具有2个自由度个自由度一个刚片在平面内具有一个刚片在平面内具有3个自由度个自由度xyxyAxyxyAB设平面上n个刚片，受s个约束，自由度数为 N=3n-s各种约束减少的自由度数（2）固定铰支座或者简单铰（单铰）减少2个自由度（1）活动铰支座或者链杆约束使刚片减

4、少1个自由度（3）联结 j 个刚片的复铰，其作用相当于（j-1）个单铰，减少2(j-1)个自由度xBxyyAj 个刚片共有3j个自由度系统需要3+(j-1)个独立参数确定减少3j-3+(j-1)=2(j-1)个自由度（4）固定端约束使得刚片的自由度为0，减少3 个自由度=?按刚片自由度计算N=3n-s=35-(24)-2(3-1)-2=1按质点自由度计算N=2n-s=25-2-2-4-1=1AB2O1OCFABCDMo30o30o30O1Or=?按刚片自由度计算N=3n-s=35-(26)-2=1按质点自由度计算N=2n-s=26-8-1=3？N=2n-s=26-8-1-2=1ADMo602O

5、B1O3OFlllC=?按刚片自由度计算N=3n-s=35-(26)-2=1按质点自由度计算N=2n-s=26-10-1=1=?按刚片自由度计算N=3n-s=35-(24)-2(3-1)-2=1按质点自由度计算N=2n-s=25-8-1=1xyGGGGllll=?按刚片自由度计算N=3n-s=34-25=2按质点自由度计算N=2n-s=25-8=2lACDMo60BOo301F2F2a2a=?按刚片自由度计算N=3n-s=33-23-3=0或N=3n-s=32-32=0按质点自由度计算N=2n-s=23-6=0例如例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：0 ,sincossin

6、 ,cos222BBAAyrlrxryrx 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。例如例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。2212212221212211)()(),(,),(byyxxayxyxyx两个自由度 取广义坐标，coscos ,sinsincos ,sin2211baybaxayax考虑由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束具有N个自由度（N=3n-s），取q1、q2、qN为广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。),2,1(0),(21sktrrrfnk),2,1(),(21nitqqqrrNii),(),(),(212121tqq

7、qzztqqqyytqqqxxNiiNiiNiiNNiiiiNNiiiiNNiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx221122112211),2,1(ni广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为irkqqq,21),2,1(1niqqrrkNkkii广义坐标的变分 称为广义虚位移),2,1(Nkqk例例 分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知 OC=BC=a，OA=l)解解：此为一个自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标。1、几何法、几何法sin21sin2aaPBPCrrlarrBCAC0 sin2cos sinco

8、s sinBBAACCACyaxlylxayaxlrar将C、A、B点的坐标表示成广义坐标 的函数0 ,cos2sin ,cossin ,cosBBAACCyaxlylxayax对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：0sin2cossincossinBBAACCyaxlylxayax2、解析法、解析法虚功方程1-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件iiziiyiixiiFizFyFxFrFW01111111 kNknikiizkiiykiixniNkkkiizNkkkiiyNkkkiixniFiFqqzFqyFqxFqqzFqqyFqqxFWW令01NikkFqQW),2,1(1

9、NkqzFqyFqxFQnikiizkiiykiixk则上式中 具有功的量纲，因此称 为与广义坐标 相对应的广义力kkqQkQkq当 是线位移时，的量纲是力的量纲；kqkQ当 是角位移时，的量纲是力矩的量纲；kqkQ由于广义坐标是相互独立的，可以任意取值，因此要使虚功方程满足，必须有：kq021NQQQ质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。这就是用广义坐标表示的质点系的平衡方程。),2,1(1NkqzFqyFqxFQnikiizkiiykiixk求广义力的方法一：求广义力的方法二：由广义位移的任意性，令某一个 不等于零，其他N-1个广义位移皆为零，则虚功方程为：kqkkFqQW则有kFk

10、qWQ解决实际问题时，往往方法二比较方便。解解：这是一个具有两个自由度的系统，取角及为广义坐标，计算对应的广义力Q1和Q2。例例 均质杆OA及AB在A点用铰连接，并在O点用铰支承，如图所示。两杆各长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角及。y 212211BDCBDCxFyPyPQxFyPyPQ第一种方法：第一种方法：sin;sin2 coscos2 0;sin cos byaybayyayayDDDCCC而代入广义力表达式，系统平衡的时候有：0cos2sin0cos2sin2sin22211bFbPQaFaPaPQ2212 tg,22tgPFPP

11、F由此解得：cos2;cos2 sin2sin2 bxaxbaxBBBcos2sin22122FbbPxFyPyPWQBDC cos2sin 0bxbyyBDC第二种方法：第二种方法：先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。则对应于 的广义力再使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。cos2sin2 sinbxayayBDCcos2sin2sin212111FaaPaPxFyPyPWQBDC则对应于 的广义力系统平衡的时候有：0cos2sin0cos2sin2sin22211bFbPQaFaPaPQ2212 tg,22tgPFPPF由此解得：

12、质点系在势力场中的情况。如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数：虚功方程中各力的投影可以写成：),(111nnnzyxzyxVViiziiyiixzVFyVFxVF,则有VzzVyyVxxVzFyFxFWiiiiiiiiziiyiixF这样，虚位移原理可表示为：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。0V则广义力可写成用势能表示的形式),2,1(NkqVqzzVqyyVqxxVqzFqyFqxFQkkiikiikiikiizkiiykiixk如果用广义坐标q1，q2，qN，表示质点系的位置，则质点系的势能可写成：),(21Nq

13、qqVV这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。),2,1(0NkqVQkk0V用势能表示的虚位移原理（）和用广义坐标表示的平衡条件对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意义。保守系统的平衡稳定性问题稳定平衡0kqVPPP随遇平衡不稳定平衡都满足在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值。在不稳定平衡位置上，系统势能具有极大值。对于随遇平衡，系统势能在该位置附近保持不变。对于一个自由度的系统，系统具有一个广义坐标q，因此系统势能可以表示为V=V(q)。系统平衡时有：如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具

14、有极小值，即0ddqV0dd22qV一个自由度系统平衡的稳定性判据。mgABk习题习题1-3 1-3 如图所示，均质杆如图所示，均质杆AB长长 ,质量质量 ，弹簧刚度系数弹簧刚度系数 ，当杆与铅直方向夹角，当杆与铅直方向夹角 时，时，弹簧正好为原长弹簧正好为原长,试求杆的平衡位置，并判断其稳定性。试求杆的平衡位置，并判断其稳定性。0.6ml 10kgm 200N/mk 0解：取弹簧原长为零势能状态，解：取弹簧原长为零势能状态，过过B B的水平面为重力势能零势面，的水平面为重力势能零势面，则任意则任意 位置时系统势能位置时系统势能:(1cos)sin02mgkl221(1 cos)cos22lV

15、klmg由由 ，有，有d0dVmgABk可知可知再由再由2222d(coscossin)cosd2Vmgklo220d29 40dV.,o2253 8d46 90d.V.,为不稳定平衡位置为不稳定平衡位置;01为稳定平衡位置。为稳定平衡位置。8532.mgABk2arccos(1)53.82mgkl10，故故1-3 动力学普遍方程若质点系只受理想约束，则由虚位移原理：0)(IiNiiFFF设质点系有n个质点,第i个质点：质量mi，矢径 ，加速度 ，主动力 ,约束力 ,令 为第i个质点的惯性力，由达朗贝尔原理irir iFNiFiiIirmF 011iniiiiiniIiNiirrmFrFFF

16、解析式：0)()()(iiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。上式即为动力学普遍方程。动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可以求解质点系的动力学问题，特别适合求解非自由质点系的动力学问题。例 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解：研究两个三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。rrIBeIBrIBeIBIBIAmaFmaFFFFMaF,eIBFrIBFIAF 由动力学普遍方程：

17、由动力学普遍方程：0)sincos()cos(BrIBeIBArIBeIBIAsFQFxFFF 系统为二自由度，取互不相关的系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，为独立虚位移，且且 ，所以，所以 BAsx,mgQ0sincos0cosrrmamgmamamaMa解得：解得：gmMma)sin(22sin 2eIBFrIBFIAF12P,P,q,r,已知重量轮转动惯量 ，求加速度?Ja解：加惯性力，受主动力如图。给连杆 ，则rrr12122sin220PPrPPraarJggr2122122sin22P+P gra=P+P r+Jg由 有0(r)FW,1p2p1parrJ1pag1pag2

18、pagJ均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。12m,m,r,图(a)CAr1O2r1m2m 解：自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，12,图(b)CA1O2令 120,0，由2()0FW1212,CCvrrarr(a)有 22222()0CCm gm arJ(b)10m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a12将式(a)及22CJm r代入(b)式，得12(2)rg(c)再令120,0由1()0FW有 联立(c)和(d)式，可得101011221()0C

19、m a rJm am g r 即1212223()2m rm rm rm g(d)图(b)CA1O210m a1m g1OJ2m g2CJ2Cm a12221011212(23),32(3)Cm gmm garammmm由n个质点组成的系统受s个完整约束作用系统具有N=3n-s个自由度，设q1、q2、qN为系统的一组广义坐标，可得),2,1(0),(21sktrrrfnk),2,1(),(21nitqqqrrNii1-4 第二类拉格朗日方程对上式两边求变分，得kNkkiiqqrr1又NkkkniiiqQrF11代入动力学普遍方程0111kNknikiiikiniiiiqqrrmQrrmF 对于

20、完整约束系统，是任意的，则),2,1(Nkqk),2,1(01NkqrrmQnikiiik 广义惯性力),2,1(01NkqrrmQnikiiik 两个变换式kikiqrqr)1(kikiqrqrtdd)2(证明：)1(求导数两边对时间ttqqqrrNii),(21),2,1(dd1nitrqqrrtriNkkkiii上式两边对 求偏导数，即可得到变换式（1）kq 证明：)2(求偏导数两边对kNiiqtqqqrr),(21),(21tqqqqrqrNkiki对t 求微分kiNjjkjikiNjjkijkiqtrqqqrqrtqqrqqrt2121dd而tqrqqqrtrqqrqqrkiNjjj

21、kiiNjjjikki2121若 的一阶和二阶偏导数连续，则),(21tqqqrrNiikikiqrqrtdd)2(),2,1(01NkqrrmQnikiiik 两个变换式kikiqrqr)1(kikiqrqrtdd)2(nikiiinikiiinikiiiqrtrmqrrtmqrrm111dddd nikiiinikiiiqrrmqrrtm11ddniiiiknikiiirrmqqrrmt1121ddniiikniiikvmqvmqt12122121ddkkqTqTtddkknikiiiqTqTtqrrm dd10ddkkkqTqTtQ),2,1(0ddNkQqTqTtkkk上式称为第二类拉

22、格朗日方程，简称拉格朗日方程，为二阶常微分方程组，方程的数目等于质点系的自由度数。),2,1(0ddNkQqTqTtkkk如果作用在质点系上的主动力是有势力，则kkqVQ),2,1(0ddNkqVqTqTtkkk引入拉格朗日函数（动势）VTL),2,1(0ddNkqVqTqTtkkk拉格朗日函数（动势）VTL势能不是广义速度的函数，则拉格朗日方程可写成),2,1(0ddNkqLqLtkk拉格朗日方程是解决完整约束系统动力学问题的普遍方程 应用拉氏方程解题的步骤：1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示

23、为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力 ，计算公式为：)(1kiizkiiykiixnikqzFqyFqxFQ或kkkqWQ)(若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。4.建立拉格朗日方程并加以整理，得出N个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。),1,2,(NkQk 例1 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角 为广义坐标。rrRrvrRvAAA)(解

24、：图示机构只有一个自由度 2222222222222)(92121 )(2121)(21)(3121 212121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPJvgQJTAAAO0 ;)(9261dd;)(926122)()(TrRgQPTtrRgQPTMWQMW 代入拉格朗日方程：g)(92(6 0 )(926122rRQPMM rRgQP 积分，得：2122)(92(3CtCgtrRQPM22)(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t=0 时，得0 0,02100C C 例2 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2 ，试列

25、出该系统的运动微分方程。解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。)cos(2 )sin()cos(222222l xlxllxvB系统动能：cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB 系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）cos2122glmkxV拉格朗日函数：kxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmVTL ,cos)(cos21cos21)(21 22122222

26、2221 代入：0sin cos0sincos)(),1,2,(0)(22221glxkxlmlmxmmkjqLqLdtdjj 并适当化简得：kxxLlmxmmxLglmkxl xmlmxmmL ,cos)(cos21cos21)(21221222222221sincos)(dtdsinsin ,cossincos)(dtd22222222222221 l xml xmlmLglml xmLl xmlmLlmlmxmmxL 0sin cos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm 系统的运动微分方程。0 0)(221glxkxlmxmm 上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 1o,cos 1,sin ，略去二阶以上无穷小量，则