向量代数与空间解析几何(22)课件

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1、第七章第七章 向量代数与空间解析几向量代数与空间解析几何何 第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系 第二节第二节 向量代数向量代数 第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四节第四节 平面及其方程平面及其方程 第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 第六节第六节 空间的直线及其方程空间的直线及其方程 第七节第七节 二次曲面二次曲面第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手系右手系

2、.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(

3、1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求求证证以以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M

4、、)3,2,5(3M三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 2 2 设设P在在x轴上，它到轴上，它到)3,2,0(1P的距离为的距离为到点到点)1,1,0(2 P的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标的坐标.解解设设P P点坐标为点坐标为),0,0,(x因因为为P在在x轴轴上上，1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP11

5、2 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）三、小结三、小结 21221221221zzyyxxMM 第二节第二节 向量代数向量代数 一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的加减法二、向量的加减法 三、向量与数量的乘积三、向量与数量的乘积 四、向量在轴上的投影四、向量在轴上的投影 五、向量的分解和向量的坐标五、向量的分解和向量的坐标 六、向量的模与方向余弦坐标表示式六、向量的模与方向余弦坐标表示式 七、七、两

6、向量的数量积两向量的数量积 八、八、两向量的向量积两向量的向量积向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量.21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.0|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向

7、量大小相等但方向相反的向量.a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.OMM1 1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若abab分为同向和反向分为同向和反向ba（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3 3）.0)(aa2 2 减减法法)(baba abb b c

8、babac )(ba ba ab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为,0)1(a 与与a同同向向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反反向向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系注意注意：两个向

9、量的平行：两个向量的平行分为同向和反向分为同向和反向同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa.|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 四、向量在轴上的投影与投影定理四、向量在轴上的投影与投影定理空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：,0 a,0 bab 向向量量a与与向向量量

10、b的的夹夹角角),(ba ),(ab 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值.0()空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.BA 向向量量AB

11、在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos|AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u ABjuPr关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a五、向量在坐标轴上的分向量与

12、向量五、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11建立了直角坐标系后，建立了直角坐标系后，也就是说空间的点可以用坐标也就是说空间的点可以用坐标),(zyx表示表示那么，向量能不能用坐标的形式表示呢？那么，向量能不能用坐标的形式表示呢？xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的轴上的投影投影x 向量在向量在 轴上的轴上的投影投影y 向量在向量在 轴上的轴上的投影投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(

13、12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM .,轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyx向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbababa

14、ba ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的模与方向余弦的坐标表示式六、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.222|zyxaaaa PQR

15、向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为的模和方向余弦求和设已知两点例2121)1,2,4()3,2,1(.MMMM解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76|a,11|aa 0a,1

16、16117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义七、两向量的数量积七、两向量的数量积ab,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模两向量的数量积等于其中一个向量

17、的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.1 1、数量积的定义及性质、数量积的定义及性质关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数：),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba ,kajaiaaz

18、yx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式2 2、数量积的坐标计算公式、数量积的坐标计算公式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为3 3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式、两非零向量夹角余弦的坐标表示式解解ba)1(2

19、)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 ppba，求垂直于向量例题：已知向量5,4,1,2,3八、两向量的向量积八、两向量的向量积向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac|sinaba b(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.b b a a c=a bc=a b )(,0 ba,0|a,0|b,0sin ,0 )(0sin .0sin|baba证证ba/ba/或或0 ,ijk0,iijjkk,jik ,ik

20、j 关于基本单位向量有关于基本单位向量有关于向量积的说明：关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1 1）反交换律：）反交换律：.abba （2 2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3 3）若若 为数：为数：).()()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 kkjjii,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达

21、式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000,0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，注意注意|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.若把若把a,b的起点放在一起的起点放在一起,并并以以a,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则向则向量量a与与b叉积的模叉积的模|ba =sin|ba 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积.a a b b a ba

22、b bapba，求垂直于向量例题：已知向量5,4,1,2,3例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在在顶顶点点为为)2,1,1(A、)2,6,5(B和和)1,3,1(C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD.ABC解解D3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABCABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD

23、 .5|BD第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面

24、面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条

25、直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放二、旋转曲面二、旋转曲面二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一

26、条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二

27、、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋

28、转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲

29、面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴xozy0),(zyf),0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf ,0,22 zyxf得方程得

30、方程同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),(zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 .0,22 zxyf例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定

31、直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL三、柱面三、柱面定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成

32、的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线

33、 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的

34、母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的

35、形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线

36、 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴x12222 b

37、yax双曲柱面双曲柱面 /轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 /轴轴y 在空间直角坐标系下，含两个变量的方程为柱面在空间直角坐标系下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴于哪一个坐标轴 .曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).).0),(zyxF四、小结四、小结第四节第四节 平面及其方程平面及其方程 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程 三、三、两平面的夹角两平面的夹角xyzo0M

38、M 如果一非零向量如果一非零向量垂直于一平面，这向量就垂直于一平面，这向量就叫做该平面的叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面

39、的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx.(2,2,1)23ijk例求过点且垂直于向量的平面方程。解：因为平面垂直于向量，所以平面可以取法向量为解：因为平面垂直于向量，所以平面可以取法向量为又因为平面过点（又因为平面过点（2 2，1 1，1 1），所以由平面的点法式方程得：），所以由平面的点法式方程得：(2)2(1)3(1)0 xyz2370 xyz化简得1,2,3n 例例 1 1 求求过过三三点点)4,1,2(A、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的的平平面面方方程程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,

40、1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx例例 2 2 求过点求过点)1,1,1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,C

41、BAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2,3,6(，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平

42、面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c），求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上

43、截距轴上截距定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各

44、组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两

45、平面的夹角.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）小结小结第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标平面上的投影三、空间曲线在坐标平面上的投影第六节第六节 空间的直线及其方程空间的直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式与参数方程二、空间直线的对称式与参数方程 三、三、两直线的夹角两直线的夹角 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角xyzo1 2 定义定义空间直线可看

46、成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000

47、直线的对称式方程直线的对称式方程 （点向式方程）（点向式方程）tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数直线的参数方程直线的参数方程解解:取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx垂直的直线方程垂直的直线方程.为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量.132)1,3,2(nn例例1.1.求过点求过点(1,(1,2,4)2,4)且与平面且与平面例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直用对称式方程及参数方程表示直线线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(

48、000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的

49、夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx,pnm

50、s ,CBAn (,)2s n 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAmsincos,s n 例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面:32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2,1,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）小结小结第七节第七节 二次曲面二次曲面 一、椭球面一、椭球面 二、双曲面二、双曲面 三、抛物面三、抛物面