向量的乘法运算(6)课件

《向量的乘法运算(6)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量的乘法运算(6)课件（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数量积 向量积 *混合积第二节*三、向量的混合积三、向量的混合积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 第十十章 一、两向量的数量积一、两向量的数量积1.定义定义设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称称 记作记作数量积数量积(点积或内积点积或内积).bacosba的的与与为为baba,0时时当当 a：上的投影为上的投影为在在ab记作记作故故,0,时时当当同同理理 babbjrPbajrP cosb ba babaajrPba为两个非零向量为两个非零向量,则有则有aa)1(2aba,)2(0baba 2.性质性质(1)交换律交换律(2)结合律结合律),(为实数为实

2、数 abbaba)()(ba)(ba(3)分配律分配律cbcacba3.运算律运算律ABCabc 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理 cos2222abbac 证证则则abbaccos2222 如图如图.设设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例例14.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,ijk 0,ijj kk i|1,ijk1.i ijjk k zzyyxxbabababa )1(当当为非零向量时为非零向量时,cos zzyyxxba

3、baba 222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosbaba baba,(2)两向量的夹角公式两向量的夹角公式,得得例例2)(MB,)(MA BM已知三点已知三点,),(),(,),(212122111BAM AMB.A解解,1,1 0,1,0 1则则 AMBcos1 0022213 AMB求求MBMAMA MB故故例例3证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()(垂垂直直.证证cacbbca )()()()()()a c b cb c a c ()b c a ca c 0 cacbbca )()(注注一般地，一般地，)()(bcabca 1.定义定义定义定义向量向量方向方

4、向:(外积，叉积外积，叉积)记作记作且符合右手规则且符合右手规则模模:向量积向量积,设设的的夹夹角角为为，,a b c,ac bc csinabbac称称c的与为向量babacba二、两向量的向量积二、两向量的向量积为非零向量为非零向量,则则aa)1(0ba,)2(0baba3.运算律运算律(2)分配律分配律(3)结合律结合律abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(2.性质性质4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设设则则,kajaiaazyx ,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbax

5、y)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayz)(jjbayy)(kkbazz0 0 0 0,iijjkk ，ijk ,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk k()j ()k i j()i kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(ijk5.向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyxkjixayazaxbybzb注注.)1(abba ).()()2(cbacba bbbaaababa )(2)()(

6、如：如：,00)(jjiijkijii )(0)(jiijjii )(3)0 caba cb 设设，(4)0a caba事实上，事实上，)(/cba 0)(cba6.几何意义几何意义即即|ba 表示以表示以 a和和 b为邻边为邻边 的平行四边形的面积的平行四边形的面积.abbac 的的模模：ba sinbaba sinbh ha b)sin(bh sinb ha =Sab hABC例例4已知三点已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形角形 ABC 的面积的面积.解解 如图所示如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin

7、21AB AC21ACAB求三例例5求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 22|1055 5,c|ccc .5152 kj例例6 求求证证：()()2().ababab 证证)()(baba aa bbabba 00 baba)(2ba 例例7若若求求2,1,(23)().a baIaabba 解解)(3)()(2ababaaaI 22a()0abaaba 0)(3ba 42312 *三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量混合积混合积.记作记作2.几

8、何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体,底面积底面积高高h故平行六面体体积为故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其则其cosbaccba)(cbabacba3.混合积的坐标表示混合积的坐标表示zyxzyxbbbaaaxcyczckji设设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc4.性质性质(1)三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是0(

9、2)轮换对称性轮换对称性:cbacba,ab cab cabcabc例例7证明四点证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面共面.解解 因因0)17,15,10(DABCD34512291416故故 A,B,C,D 四点共面四点共面.ADACAB例例8 已已知知 2 cba，计计算算)()()(accbba .解解()()()abbcca )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0()abc cba )(2 2cba.4 内容小结内容小结设设1.向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(z

10、zyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积叉积:kjixayazaxbybzbba混合积混合积:zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba0zyxzyxzyxcccbbbaaa2.向量关系向量关系:xxabyyabzzab0 xxyyzza ba ba b ba/ba 0ba共面cba,0)(cba0ba设设，则则0,0ab ab 特例特例:0aa .abab 特例特例:()0.aba 1.设设计算计算并求并求夹角夹角 的正弦与余弦的正弦与余弦.)3,1,1(,321cos1211si

11、n答案答案:2.用向量方法证明正弦定理用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC思考与练习思考与练习证证 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以所以CcsinCbasin因因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB3.求单位时间内流过该平面域的求单位时间内流过该平面域的设均匀流速为设均匀流速为的流体流过一个面积为的流体流过一个面积为 A 的的平面域平面域,与该平面域的单位垂直向量与该平面域的单位垂直向量解解单位时间内流过的体积单位时间内流过的体

12、积APAA且且vvncosvcosvnv vnn为单位向量为单位向量,的夹角为的夹角为流体的质量流体的质量P(流体密度为流体密度为 ).Ah4.一点一点 M 的线速度的线速度 设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴旋转轴旋转,导出刚体上导出刚体上 的表示式的表示式.Ml解解 在轴在轴 l 上引进一个角速度向量上引进一个角速度向量使使a其其在在 l 上任取一点上任取一点 O,O作作它与它与则则点点 M离开转轴的距离离开转轴的距离a且且符合右手法则符合右手法则的夹角为的夹角为 ,sinar,rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则方向与旋转方向符合右手法则,r向径向径备

13、用题备用题例例5-1设设证证明明：0,0,.abababab 证证)()(2bababa 222bbaa )()(2bababa 222bbaa 22babababa 222222bbaabbaa 04 ba0 ba.ba 例例3,PrPrPr.xyzijkaaiaja kj aj aj a 求求、及及解解)1,0,0()0,1,0()0,0,1(kji，的三个方向角，则有的三个方向角，则有分别为向量分别为向量、设设a aijrP cosa ia xa ajjrP cosa ja ya akjrP cosa ka za 这表明：这表明：,xyza aaaa 向向量量 的的坐坐标标，正正是是向向

14、量量分别在分别在 x,y,z 轴上的投影轴上的投影.例例6已已知知设设求求数数，使使1,2,3,4,:(1);(2)()().abcsabcsa bb cc aabab 解解 (1)sss 2)()(cbacba )(2accbbaccbbaa )(2222accbbacba 而而1,2,3,4,abcs )(212222cbasaccbba 1(2)()()()()(2bbbaabaababa 222ba 由由，得得()()0abab 0222 ba 即即222ab ,41.21 例例6-1 22343cos322)2(17已知向量已知向量的夹角的夹角且且解解,43ba,.|ba 求,2|a

15、,3|b2ba)()(babaaaba 2bb 22cos2bbaa17ba例例7解解(1)?Pr)2(),()1(,1,1,2,1,2 bjbazzbaa此时，此时，最小？最小？为何值时，为何值时，问：问：设设，则则设设 ),(ba223)2(1)1(12zz baba cos22321zz ,0 上上单单调调减减少少，在在0cos 最最大大最最小小 cos22321zz cos)(zf令令)2321(2 zz)(zf 则则22222)21(2231zzzzz 23)2(4312zz 40)(zzf，得得唯唯一一驻驻点点：令令,0)(,4 zfz时时当当;0)(,4 zfz时时当当.,4)(

16、cos取取得得最最大大值值从从而而处处取取得得极极大大值值在在 zzf:4min 取取得得最最小小值值时时，当当 z,21)4(23)4(21cos2min .4min 4,1,14)2(bz时时，当当 bjaPr.33812 aba 例例7-1已已知知4,1,1 a，2,2,1 b，求求(1)ba；(2)a与与 b的的夹夹角角；(3)a在在 b上上的的投投影影.解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb3.4 例例8-122200)2(211ABCD在顶点为在顶点

17、为三角形中三角形中,)2,1,1(A)0,1,1(B的的和和)1,3,1(C求求 AC 边上的高边上的高 BD.解解)3,4,0(AC,5)3(422|AC)2,2,0(AB三角形三角形 ABC 的面积为的面积为|21ABACS21S|AC|BD而而故有故有5211|BD52|BD例例10设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且 4|m，2|n，3|p，计计算算pnm )(.解解|sin(,)mnmnm n ,8124 ，()0mnp ()mnp cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，90sin|nm 例例9已知一四面体的顶点已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积求该四面体体积.1A2A3A4A解解 已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的,61故故 61 V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA