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1、绝密启用前 试卷类型：A2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2010.3本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹
2、的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。参考公式：圆锥的侧面积,其中是圆锥的底面半径,是圆锥母线长.圆柱的的侧面积,其中是圆柱的底面半径,是圆柱母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1设，若（为虚数单位）为正实数，则A2B1C
3、0D2设集合，那么“”是“”的A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）则该组合体的表面积等于ABCD4曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为ABCD5已知函数，的零点分别为，则的大小关系是ABCD6若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为ABCD7已知三个正态分布密度函数（，）的图象如图2所示，则A，B，C，D，8设，是1，2，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3
4、的顺序数为0则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A48B96C144D192二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9设等差数列的前项和为，若，则 10已知，则= 11若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 12若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是 13图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法若输入，则输出 （注：框图中的的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系
5、中，已知直线的参数方程为（参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系在此极坐标系中，若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为 15（几何证明选讲选做题）如图4，已知是的切线，是切点，直线交于、两点，是的中点，连结并延长交于点若，则= 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为（1）求的值；（2）在中，若，且，求17（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值18（本
6、小题满分14分）已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立（1）求的解析表达式；（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为求的最小值19（本小题满分14分）某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你
7、选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？（参考数据：，）20（本小题满分14分）已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点若，证明：为定值21（本小题满分14分）在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根
8、据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BACDADDC二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9 27 10 8 11 6 12 13 67 （二）选做题（14、15
9、题，考生只能从中选做一题）14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为（1）求的值；（2）在中，若，且，求解：（1） 4分而的最小正周期为，为正常数，解之，得 6分（2）由（1）得若是三角形的内角，则，令，得，或，解之，得或由已知，是的内角，且， 10分又由正弦定理，得 12分说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力17（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，（1）在直线上是否存在一点，使得平面？
10、请证明你的结论；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值解：（1）线段的中点就是满足条件的点 1分证明如下：取的中点连结，则， 2分取的中点，连结，且，是正三角形，四边形为矩形，又，3分且，四边形是平行四边形4分，而平面，平面，平面 6分（2）（解法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，是平面与平面所成二面角的棱8分平面平面，平面，又平面，平面，是所求二面角的平面角10分设，则， 12分（解法2），平面平面，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）设，由已知，得， 8分设平面的法向量为，则且，解之得取，得平面的一个法向量为. 10分又平面的一个法向量为 12分
11、说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力18（本小题满分14分）已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立（1）求的解析表达式；（2）设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为求的最小值解：（1）设（其中），则， 2分由已知，得，解之，得， 5分（2）由（1）得，切线的斜率，切线的方程为，即 7分从而与轴的交点为，与轴的交点为，（其中） 9分 11分当时，是减函数；当时，是增函数 13分 14分说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力19（本小题满分14分）某投资公司在2010年
12、年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和（1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？（参考数据：，）解：（1）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为（万元）. 2分若按“项目
13、二”投资，设获利万元，则的分布列为：（万元）. 4分又， 5分，6分所以，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 8分（2）假设年后总资产可以翻一番，依题意：，即，10分两边取对数得：所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番 13分答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番14分说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力20（本小题满分14分）已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹
14、交于两点，与轴交于点若，证明：为定值解：（1）设， 是线段的中点， 2分分别是直线和上的点，和 4分又， 5分，动点的轨迹的方程为 6分（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为 7分设、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得， 9分， 10分，即与轴不垂直，同理 12分将代入上式可得 14分说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力21（本小题满分14分）在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算和的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，解：解：（1）由已知，得，. 2分（2）（证法1），；，.
15、猜想,， 4分(一)教学重点以下用数学归纳法证明之当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.,33.123.18加与减（一）3 P13-17.(4)直线与圆的位置关系的数量特征:时，猜想也成立2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。由，根据数学归纳法原理，对任意的
16、，猜想成立 6分当为奇数时，；当为偶数时，扇形的面积S扇形=LR2即数列的通项公式为 9分2、100以内的进位加法和退位减法。（注：通项公式也可以写成）0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；（证法2）令，则9、向40分钟要质量，提高课堂效率。，从而（常数），又，故是首项为，公差为的等差数列，解之，得，即， 6分，从而（余同法1）8分（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得显然，； 10分当为偶数时，； 12分当为奇数（）时，.综上所述， 14分（解法2）由（2），得以下用数学归纳法证明，当时，；当时，时，不等式成立11分假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；当为偶数时， 时，不等式也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立14分说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查 命题人：李志敏、康达军、姚亮 审题人：石永生
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