最新四年级下数学思维训练教程尖子生优秀名师资料

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1、四年级下数学思维训练教程（尖子生）四年级下期 第一讲 定义新运算 同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。 例1 设a、b都表示数，规定a?b,3a,2b。 (1)求4?3，3?4。 (2)这种运算有“交换律”吗, (3)求(17?6)?2，17?(6?2)。 (4)这种运算有“结合律”吗, (5)如果已知5?b,1，求b。 解:像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“?”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是:如等号右端所要求的那样，先求出3a和2b的值，再求出3a与2b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格

2、按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以: (1)4?3,34,23,12,6,6。3?4,33,24,9,8,1。 (2)由(1)可知，4?3与3?4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。 (3)(17?6)?2,(317,26)?2,(51,12)?2,39?2,339,22,117,4,113。 17?(6?2),17?(36,22),17?(18,4),17?14,317,214,51,28,23。 (4)由(3)可知，(17?6)?2与17?(6?2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。 (5)因为5?b,35,2b,15,2b，而15,2b,1，所以2b,15,1

3、，2b,14，b,7。 通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。 例2 如果a,b,2a，3b，a*b,(a，b)?2，那么(3*5),7, 解:“,”的意义是先求出2a和3b，再求出2a与3b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。 因为3*5,(3，5)?2,4，所以，(3*5),7,4,7,24，37,29。 例3 规定:a,b,a，(a，1)，(a，2)，(a，b,1)，其中a、b表示自然数。 (1)求1,100的值; (2)已知x,10,75，

4、求x。 解:(1) a，(a，1)，(a，2)，(a，b,1) ,1，(1，1)，(1，2)，(1，100,1) ,1，2，3，100 ,(1，100)100?2 ,101100?2 ,5050。 (2) x，(x，1)，(x，2)，(x，10,1),75 1 10x，(1，2，9),75 10x，45,75 10x,75,45 10x,30 x,30?10 x,3 例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号?表示: 羊?羊,羊;羊?狼,狼;狼?羊,狼;狼?狼,狼。 以上运算的意思是:羊和羊在一起还是羊;狼和狼在一起还是狼;但是狼和羊在一起就只剩下狼了。 小朋友

5、总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号?表示: 羊?羊,羊;羊?狼,羊;狼?羊,羊;狼?狼,狼。 这个运算的意思是:羊和羊在一起还是羊;狼和狼在一起还是狼;但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果: 羊?(狼?羊)?羊?(狼?狼)。 解:羊?(狼?羊)?羊?(狼?狼) ,羊?羊?羊?狼 ,羊?羊?狼 ,羊?狼 ,狼 练 习 一 1(设a、b都表示数，规定:a?b表示a的4倍减去b的3倍，即a?b,4a,3b。试计算: (1)5?6

6、; 6?5。 2(a、b是自然数，规定a,b,a5，b?3，求8,9。 3(设a?b,8a,18?b，求7?9, 4(规定a?b,(a，3)(b,5)，求5?(6?7)的值。 5(设a?b,ab，a,b，试求5?8。 6(如果规定ab,13a,b?8，那么1724的最后结果是多少, 7(设a、b都表示数，规定:a?b,2a，b?2。求 (1)10?6; (2)7?(4?8)。 8(规定A,B,BB,A，计算(2,3),(4,5)。 9(如果规定a?b,4a，3b,1，那么5?7和7?5相等吗, 10(对于两个数x、y，x?y表示yA,x2，并且已知82?65,31。计算: 2 (1)29?57

7、;(2)38?(14?23)。 11(如果3?4,3，4，5，6,18，6?5,6，7，8，9，10,40。计算2000?6。 12(如果“，、,、?、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式, (1)87,8;(2)777,6;(3)(7，8，3)9,39;(4)33,3。 第二讲 图形问题(一) 例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米, 解:把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16?4,4(厘米)，所以图中正方形B的面积是44,16(平方厘

8、米)，又因为阴影部分的面积是(80,16)?2,32(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32?4,8(厘米)，面积是88,64(平方厘米)。 A B 例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。 解法一:图形的总面积是4040,1600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是2020?2,200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是1600,2004,800(平方厘米)。 解法二:仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是4040?2,8

9、00(平方厘米)。 例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米, 解:图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000?2,500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240?2?4,30(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图 3 这个新正方形的面积是3030,900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900,500)?2,200(平方厘米)。 例4 如图，矩形ABCD被分成六

10、个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少, A B D C 解:如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a，1，左上角正方形的边长就是a，1，1，右上角正方形的边长就是a，1，1，1。因为CD,AB，所以a，a，(a，1),(a，1，1)，(a，1，1，1)，即3a，1,2a，5，于是a,4。从而，CD,a，a，(a，1),13，AD,(a，1)，(a，1，1),11。因此，矩形ABCD的面积是1311,143。 练 习 二 1(已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米, 甲 3 乙 15 8 2(把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的

11、面积加起来，和是多少, 3(一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米, 4(下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大, A B 5(一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米, 6(四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米,如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少, 7(如图，已知大、小两个正方形的边长之和是2

12、0厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米, 4 8(有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。 2 2 3 9(如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少, 19 57 45 10(将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍, 11(在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米, 12(如图所示，

13、阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来, 第三讲 枚举与计数 例1 数列A:1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列:1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，。 (1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数, (2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字,这个数字是什么,

14、(3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次, 解:(1)数列A中，1到9共有9个数字;10到99共有180个数字;100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9，180，3,192个数。 (2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100,9,91，而91,246,1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9，46,55，它的第一5 位(十位)数字是5。 (3)数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3, 13, 23, 30, 31, 32，33, ，39, 43, 53，所以数字3共出现16次。 答:(略)。 例2 个位数字

15、大于十位数字的两位数共有多少个,所有这些两位数的和是多少, 解:当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个; 当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个; 当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个; 共有1，2，3，4，5，6，7，8,36(个)。 这些两位数的十位数字的和是81，72，63，54，45，36，27，18,120，个位数字的和是98，87，76，65，54，43，32，21,240，所以这些两位数的和是10120，240,1440。 答:个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。 例3 有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少

16、种不同的选法, 解:与某一小朋友不相邻的小朋友有7个，所以不相邻的小朋友有710,70(对)，每对小朋友都重复算了一次，所以共有70?2,35(种)选法。 答:有35种不同的选法。 例4 在校级运动会上，运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上，他们也是100米短跑的前三名。 (1)如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能, (2)如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的排名不同，那么排名情况有多少种可能, 解:(1)设A的排名不变，那么B排第三，C排第二，只有这1种情况。同理B、C的排名不变，也各有1种情况。

17、因此，共有3种情况。 (2)如果排名情况都改变，A可能排第二或第三:当A排第二时，B排第三，C排第一，有1种情况;当A排第三时，B排第一，C排第二，也有1种情况。因此，排名均不同的可能性有2种。 答:(略)。 练 习 三 1(三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是多少, 2(由数字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一张能组成多少个不同的三位数,把这些数按照从小到大的顺序排列，第14个数是多少, 6 3(一个三位数，三个数字各不相同且不为0，如果三个数字之和为10，这样的三位数有个, 4(一个两位数的十位数字比个位数字大5。现将十位和个位上的数

18、字对调，所得的两位数比原来小多少, 5(编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字，这本书一共有多少页, 6(新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有36人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人,最少是多少人。 7(一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始顺序报数，规定:报7的倍数时要拍一次手，报带7的数时要拍两次手，报既带7又是7的倍数时要拍三次手。则报到100时共拍了多少次手, 8。一只口袋里有5个小球，另一只口袋里有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同。 (1)从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同

19、的情况, (2)从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况, 9(某地区有50个县城，每个县城都有3条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路, 10(如图，从B逐步往下走到A，有多少条不同的路线, B A 11(如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法, 小丽家 学校 12(小明的爸爸买了6张电影票(如下图)，想和小张家一块去看电影。但因临时有事不能和小张同时出发，小明只好撕下3张连在一起的票给小张家送去。那么有多少种不同的撕法, 第四讲 推理与判断 例1 小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学

20、校读书还不清楚。只知道: 7 (1)小东不在一中; (2)小兰不在二中; (3)爱好排球的不在三中; (4)爱好游泳的在一中; (5)爱好游泳的不是小兰。 那么谁在一中,谁在二中,小兰爱好什么, 解:由(4)爱好游泳的在一中，由(1)这个人不是小东，由(5)这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。由(3)爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。 例2 小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说:“小华做对了第一题”，“小华第二题没有做对”，“小华

21、第一题没有做对”。老师看完三道题后发现:小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题, 解:假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符;假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符;假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。所以小华做对了第二题。 例3 标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开关。现在B、E、G开着，其余5盏灯关着，小明从灯A开始，循环逐个拉动8盏灯的开关，拉了2004次后，关着的灯是哪几盏, 解:因为2004?8商250余4，从A开

22、始拉动开关250次后，由于250的双数，所以B、E、G仍然开着，其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后，A、C、D变成开着的，B又灭了，所以最后关着的灯是B、F、H。 例4 购物单上某商品的单价是49.36元?千克，总价是 7.28元，方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克, 解:写成竖式进行推导。先考虑个位数: 4 9 3.6 4 9 3.6 3 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 7.2 8 7.2 8 进一步考虑十位数: 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 2 3 7 3 4 8 9 8 1 4

23、 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 8 9 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4 4 8 3 7.2 8 7.2 8 7.2 8 7.2 8 所以至少购买98千克。 8 练 习 四 1(甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说:我的对面是“南”;丙说:我在乙的左边;丁说:我的对面不是乙。甲坐在哪边, 2(甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，获得前五名。他们的得分情况如下: (1)丙比乙低，但比戊高;(2)甲比丁高，但比戊低;(3)乙比戊高。 这次歌咏比赛的第一名是谁, 3(甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。已知丙比教

24、师的年龄大，甲与农民不同岁，农民比乙的年龄小。那么谁是教师, 4(甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说:“我会开。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是谁, 5(?、?、?代表三个数，并且 ?，?,?，?，? ?，?，?,?，?，?，? ?，?，?，?,800 那么?、?、?各代表多少, 6(下图中的“,”应填多少, 23 13 , 5 8 3 5 3 2 5 4 5 7(1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。赛后他们接受小记者的采访。1号说:“3号在我前面冲向终点。”另一个得第三名的运动员说:“1号不是第四名。”小裁判员说:“他

25、们的号码与他们的名次都不相同。”则第一名是几号,第二名是几号,第三名是几号, 8(将99棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子中装5粒。已知盒子数大于10个，那么有多少个大盒子,多少个小盒子, 9(会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人, 10(某次数字竞赛有20道题，初始分为60分。规定:答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。最后得分是奇数还是偶数, 11(“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字, 希 望 希 望 杯

26、 ， 希 望 杯 赛 2 0 0 5 12(下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少, 9 小 学 希 望 杯 赛 赛 9 9 9 9 9 9 第五讲 解决问题(一) 例1 祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的6倍，而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁，孙子今年多少岁, 解:当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的6,1,5倍。所以孙子今年30?5,6(岁)。 答:孙子今年6岁。 例2 幼儿园分饼干，如果每人分3块，余14块;如果每人分4块，还有3个小朋友没分到。一共有多少个小朋友,有多少块饼干

27、, 解:改变分法后，从余15块到缺43,12(块)，一共要多分14，12,26(块)，这是因为每人多分4,3,1(块)的缘故，所以一共有26?1,26(个)小朋友，有326，14,92(块)饼干。 答:一共有26个小朋友，92块饼干。 例3 运输公司为客户装运1600只瓷盘，每只运费1元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘，并得到1540元。则瓷盘价格为每只多少元, 解:如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到11600,1600(元)，实际少得了1600,1540,60(元)。损坏一只瓷盘运输公司少得60?5,12(元)，其中有运费损失1元和瓷盘

28、价格的一半，所以瓷盘的价格是(12,1)2,22(元)。 答:每只瓷盘22元。 例4 怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题: A、B、C三人各有硬币若干枚。A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍;之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍;最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是8枚。请问他们原来各有硬币多少枚, 解:用倒推法。 第三次调整后:A有8枚，B有8枚，C有8枚; 第二次调整后:A有8?2,4(枚)，B有8?2,4(枚)，C有8，4，4,16(枚); 第一次调整后:A有4?2

29、,2(枚)，C有16?2,8(枚)，B有4，2，8,14(枚); 原来:B有14?2,7(枚)，C有8?2,4(枚)，A有2，7，4,13(枚)。 答:原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。 10 练 习 五 1(有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人, (在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答2对的题数是答错的题数的2倍;第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题, 3(菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、

30、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐，小李承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克, 4(小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少张, 5(幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个;每组分6个，则多4个。苹果有多少个,小朋友共几组, 6(某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无法入住;每间安排6个人，最后一间还可以住2个人。那么预定了房间多少间,共有多少个人, 7(有三角形桌子和正方形桌子共1

31、3张，共有44条腿(桌子的每个角有一条腿)，则三角形桌子比正方形桌子多多少张, 8(一次口算比赛，规定:答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得了92分，小华在此次比赛中答错了多少道题, 9(购买5元、8元和10元的公园门票共100张，用去748元，其中5元和8元的张数相同，则10元的门票共多少张, 10(小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分。两人各打10发，共得208分，小王比小李多得64分，小王打中多少发,小李打中多少发, 11(小明问老师今年多少岁，老师说:“我6年前的年龄和你6年后的相同，我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。”老师今年多少

32、岁,小明今年多少岁, 12(将786个桃子分成四堆，第一堆比第二堆多24个，比第三堆多16个，比第四堆多46个，那么第四堆有多少个, 第六讲 解决问题(二) 例1 10名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分数比10人的平均分数少8分，这10名同学的平均分数是多少分, 解:如果从前4名的总分中拿出6个8分补给后6名同学，那么前4名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了，所以这10名同学的平均分是(924,86)?4,80(分)。 11 答:这10名同学的平均分是80分。 例2 一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长

33、的铁桥用了35秒，这列火车长多少米, 解:因为火车行驶一个车身的距离要9秒，而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度，所以火车行468米只需35,9,26(秒)，每秒行驶468?26,18(米)，这列火车长189,162(米)。 答:这列火车长162米。 例3 星期天，妈妈从超市买了4支“小梦龙”和3支“可爱多”冰淇淋，用去24元钱。妈妈对小丽说:“上星期天我买3支小梦龙和5支可爱多冰淇淋用去29元钱。”“小梦龙”和“可爱多”冰淇淋每支各多少钱, 解:把已条件整理成算式: 4支小梦龙，3支可爱多,24(元) (1) 3支小梦龙，5支可爱多,29(元) (2) 为了消去“小梦龙”，让(1

34、)扩大3倍，(2)式扩大4倍，得: 12支小梦龙，9支可爱多,72(元) (3) 12支小梦龙，20支可爱多,116(元) (4) (4)式,(3)式得:每支“可爱多”(116,72)?(20,9),4(元)。再由(1)式得:每支“小梦龙”(24,43)?4,3(元)。 答:“小梦龙”每支3元，“可爱多”每支4元。 例4 要用1000元钱买23元、22元、21元的三种物品，三种物品都要买，而且不能剩钱，则最多可以买多少件,最少可以买多少件, 解:要想买的件数最多，就要尽量多买21元一件的，1000?21,4713，说明可以47件21元的，还余13元，可以用这13元补到几件21元的物品上换成22

35、元和23元的物品，所以最多可以买47件。要想买的件数最少，就要尽量多买23元一件的，1000?23,4311，也就是说如果买44件就少23,11,12(元)，可以买44件23元的，超出23,11,12(元)，可以用几件23元的物品换21元和22元的物品，直到把超出的12元抵消，所以最少可以买44件。 答:最多可以买47件，最少可以买44件。 练 习 六 1(有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这样的方法计算了4次，分别得到4个数:26, 32, 40, 46，那么原来四个数的平均数是多少, 2(有6个数排成一行，它们的平均数是27。已知前4个数的平均数是23，后

36、3个数的平均数是34。第4个数是多少, 3(甲筐苹果个数比乙筐多64个，从甲筐取出多少个苹果放入乙筐，可使乙筐苹果比甲筐多12个, 4(期末考试中，小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是92分，语文、外语两门课12 的平均成绩比数学低3分，语文比外语高2分。则外语多少分, 5(小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了，让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高，那么数学得了多少分, 科目 思想品德 语文 数学 体育 科学 艺术 平均 分数 88 81 79 76 87 6(为了支援西部，四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本，小光要了18本。回校后，小明

37、补给小光28元。小明、小光各带了多少元,每本书多少元, 7(三个工厂拿出相同的资金买煤，结果甲厂比乙厂多要了15吨，丙厂比乙厂多要了15吨，因此甲厂和丙厂各付给乙厂3000元，每吨煤多少元, (空间站上的5位宇航员轮流值班和休息，值班岗位有2个。在60小时里，平均每个宇8航员休息了几小时, 9(小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头时，一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100秒钟后，小明走到桥尾，火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通达这座桥大约用了多少时间, 10(两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长225米，每秒行25米，乙列车每秒行20米，

38、甲、乙两列车错车时间是9秒。求: (1)乙列火车长多少米, (2)坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒, 11(甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟可追上乙;如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟可追上乙。求甲的速度。 12(小明去相距9千米远的同学家，已知他步行的速度是每小时3千米，他每走50分钟要休息10分钟，他想在中午12:00之前赶到同学家，则他最晚要在上午几时几分出发, 第七讲 综合练习(一) 1(如果a?b,3a,2b，a*b,(a，b)?2，那么(7*3)?6, 2(一个两位数的十位数字比个位数字小6。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来大多少,

39、 3(有10个盒子和45个乒乓球，能否把这45个乒乓球放入这10个盒子中，使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同, 4(10(公园里有一个正方形花坛，在花坛四周有一条2米宽的小路。如果这一圈小路的面积是64平方米，那么花坛(阴影部分)的面积是多少平方米, 5(一个长方形的宽去掉3厘米而长不变，其面积比原来减少30平方厘米;如果长增加6厘米，而宽不变，其面积比原来增加42平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米, 13 6(个位数字小于十位数字的两位数共有多少个, 7(某次会议有30人参加，如果见面时每两人都要握一次手，那么这些人总共要握手多少次, 8(幼儿园分饼干，如果每人分3块，那么余10块;

40、如果每人分4块，那么还有2个小朋友没分到。一共有多少块饼干, 9(甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些，使他们的邮票各增加一倍;乙再把自己的邮票给甲、丙一些，使他们的邮票各增加一倍;丙再把自己的邮票给甲、乙一些，使他们的邮票各增加一倍。这样一样，三个人的邮票正好都是80枚。原来甲有邮票多少枚, 10(一列以匀速行驶的火车，经过一根电线杆用了10秒，通过一座600米长的铁桥用了40秒，这列火车全长多少米, 11(10名同学的考试成绩(满分为100分)按分数排列名次，前5名平均得90分，后5名的平均分数比10人的平均分数少6分，这10名同学的平均分数是多少分, 12(19

41、99年12月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中，“庆”、“澳”、“门”、“归”四个汉字各代表一个数字，那么“庆”是 、“澳”是 、“门”是 、“归”是 。 澳 门 澳 门 归 ， 庆 澳 门 归 1 9 9 9 第八讲 等差数列 上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如，等差数列 a，a，a，a 的123n和S,(a，a)n?2;如果公差是d，那么从a到a共有(a,a)?d，1项等。 n1npqqp这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。 例 1 从1，2，3，100这100个数中，每次取两个数，使其和大于100，共有多少种取法, 解:较小数取1时，较大数可以取100

42、，共1种取法; 较小数取2时，较大数可以取99、100，共2种取法; 较小数取3时，较大数可以取98、99、100，共3种取法; 较小数取50时，较大数可以取51、52、100，共50种取法; 较小数取51时，较大数可以取52、53、100，共49种取法; 较小数取52时，较大数可以取53、54、100，共48种取法; 较小数取99时，较大数可以取100，共1种取法。 14 总共有(1，2，3，49)2，50,(1，49)49?22，50,2500(种)取法。 例2 计算:(101，103，399),(91，93，389)。 解:第一个等差数列共有(399,101)?2，1,150项，第二个等

43、差数列共有(389,91)?2，1,150项。 方法一:原式,(101，399)150?2,(91，389)150?2,1500。 方法二:原式,(101,91)，(103,93)，(399,389),10150,1500。 例 3 计算:1000，999,998，997，996,995，106，105,104，103，102,101。 解法一:观察发现:由于减数“998、995、104、101”的存在，使得加数失去了连续性，不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题，添上所缺的加数“998、995、104、101”，同时把原有的减数扩大2倍，因为一共有(1000,101)，1,900个加数

44、，(998,101)?3，1,300个减数，于是: 原式,(1000，999，998，102，101),(998，995，992，104，101)2,(1000，900?2,(998，101)300?22,165750。 101)解法二:先对减号两边的进行计算，一共得到300个1，同时，原有的900个加数减少到300个(参看解法一)于是: 原式,1000，1，997，1，106，1，103，1,(1000，103)300?2，1300,165750。 例4 计算 1，2，3，2，4，6，3，6，9，100，200，300。 解:原式,(1，2，3)，(2，4，6)，(3，6，9)，(100，2

45、00，300) ,1(1，2，3)，2(1，2，3)，3(1，2，3)，100(1，2，3) ,(1，2，3，100)(1，2，3) ,(1，100)100?26 ,30300。 练 习 八 1(计算:(1，3，5，1997)，(2，4，6，1996), 2(计算:1，3，4，6，7，9，10，12，13，66，67，69，70, 3(计算:2，4，8，10，14，16，20，22，92，94，98，100, 4(计算:(1994，1992，1990，4，2),(1，3，5，1991，1993), 5(计算 (2004,1)，(2003,2)，(2002,3)，(1003,1002)。(吉林省

46、第九届小学数学邀请赛试题) 6(在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少, 7(小明从一月一日开始写大字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问:小明每天比前一天多写几个大字, 8(袋子里共有415个小球，第一次从袋子里取出1个小球，第二次从袋子里取出3个小球，第三次从袋子里取出5个小球，第四次从袋子里取出7个小球依次地取球，如果剩下的球已不夠某次取了，则将余下的小球留在袋中。那么，袋子中留下多少个小球,(2004年浙15 江省小学数学竞赛试题) 9(学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比

47、赛。问:有多少人参加了选拔赛, 10(有一列数:1，1993，1992，1，1991，1990，1，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数的和。 11(计算 10095,9590，9085,8580，8075,7570，2015,1510，105。 12(观察下面的数阵，第20行所有的数的和是多少, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第九讲 速算与巧算(一) 例1 用简便方法计算 134859，348591，485913，859134，591348，

48、913485。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 解:观察发现:各个数位上的数字都是“1、3、4、5、8、9”，所以 134859，348591，485913，859134，591348，913485 ,111111(1，3，4，5，8，9) ,11111130,3333330。 例2 计算:9999977778，3333366666, 解:观察发现:66666含有因数3，如果把66666分解成322222，再根据乘法结合律，让3与前一个因数33333相乘，得到99999，这样一来，与前面的积就有相同的因数，于是可以用乘法分配律进行简算。 9999977778，3333366666 ,9999

49、977778，33333(322222) ,9999977778，(333333)22222 ,9999977778，9999922222 ,99999(77778，22222) ,99999100000 ,9999900000。 例3 计算 2004，2003，2002,2001,2000,1999，6，5，4,3,2,1。(吉林省16 第九届小学数学邀请赛试题) 解:观察发现: (1)算式中的数是从2004递减到1的连续自然数; (2)算式是由3个加数、3个减数、3个加数、3个减数组成。 所以，可以分组计算: 2004，2003，2002,2001,2000,1999，6，5，4,3,2,

50、1 ,(2004，2003，2002,2001,2000,1999)，(6，5，4,3,2,1) ,9(2004?6) ,3006。 例4 计算 100101,99100，9899,9798，9697,9596 ，23,12。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解:100101,99100，9899,9798，9697,9596，23,12 ,(100101,99100)，(9899,9798)，(9697,9596)，(23,12) ,(101,99)100，(99,97)98，(97,95)96，(3,1)2 ,2(100，98，96，2) ,2(100，2)50?2 ,22550 ,5

51、100。 练 习 九 1(计算 56832，25683，32568，83256，68325。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 2(计算: (1) 9，99，999，9999, (2) 1999999，199999，19999，1999，199，19。(江苏省小学数学竞赛题) 3(计算:379000?125?8, 4(计算:(38，9999，61)?(396?36), 5(计算: (1) 12345679810,(2) 88888887777777?1111111?1111111, 6(计算: (1) 2222222222, (2) 3333333333, 7(计算: (1) 9999922

52、222，3333333334, (2) 6666610001，666666666, (3) 111111999999，999999777777, (4) 353353352,352352353。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 17 8(计算:23753987，92076013，39876832, 9(计算:7713，255999，510, 10(计算:20001999,19991998，19981997,19971996，21, 11. 计算:(123491011)?(27252422)。(2002年全国奥赛预赛题) 12(计算 (282，3102，31302，313302，3133302

53、)?47。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 第十讲 速算与巧算(二) 例1 计算 181440?3?4?5?6?7?8。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解:根据运算性质:一个数连续除以几个数，等于这个数除以那几个除数的积。 181440?3?4?5?6?7?8 ,181440?(356)?4?7?8 ,181440?90?4?7?8 ,2016?4?7?8 ,504?7?8 ,72?8 ,9。 例2 计算 2323，3232，3434，4343，4545，5454，5656，6565，6767，7676，7878，8787，8989，9898。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解

54、:观察发现:有一些加数可以凑成9999，另一些加数比较接近10000，于是: 2323，3232，3434，4343，4545，5454，5656，6565，6767，7676，7878，8787，8989，9898 ,(2323，7676)，(3232，6767)，(3434，6565)，(4343，5656)，(4545，5454)，7878，8787，8989，9898 ,99995，40000,(2122，1213，1011，102) ,49995，40000,4448 ,50000，40000,4453 ,90000,4452 ,85547。 例3 计算 2004，4002，2005

55、，5002，2006，6002，2007，7002，2008，8002。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解:观察发现:如果从2004中取出2移给4002，从2005中取出3移给5002，从2006中取出4移给6002，从2007中取出5移给7002，从2008中取出6移给8002，那么，所有的加数就都含有因数1001，于是: 2004，4002，2005，5002，2006，6002，2007，7002，2008，8002 18 ,2002，4004，2002，5005，2002，6006，2002，2007，2002，8008 ,1001(2，4，2，5，2，6，2，7，2，8) ,1

56、001(25，4，5，6，7，8) ,100140 ,40040。 例4 计算 1998199919991998,1998199819991999, 解:观察发现，如果把19981999变成19981998，1，把19991999变成19991998，1，就有可能找到两个积的相同部分。于是 1998199919991998,1998199819991999 ,(19981998，1)19991998,19981998(19991998，1) ,1998199819991998+19991998-1998199819991998+19981998 ,19981998 ,19991998,1000

57、0。 练 习 十 1(计算: (1) 516，418，734，825，582，266，484，175。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (2) 7186，8671，6718，1867，3282，1329，8133，2814。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 2(计算: (1) 23，223，2233，22233，222333，2222333。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (2) 1，11，121，1221，12321，123321，1234321。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 3(计算: (1) 1616165994。(2004年浙江省小学数学竞赛试题 (2) 3703

58、7037594。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 4(计算 87840?2?3?4?5?6。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 5(计算 9192,8283，7273,6364，5354,4445，3435,2526，1516。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 6(计算: (1) 20084，20075，20066，20057，20048。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) (2) 20044，20033，20022，2001，1999，19982，19973，19964。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 7(计算 (10122436)?(122436，123648，12367

59、2，243648)。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 8(计算: (1) (56789，67895，78956，89567，95678)?7。(陈省身小学数学邀请赛试题) 19 (2) 20032001?111，200373?37。(陈省身小学数学邀请赛试题) 9(计算: (1) 1991199219921992,1992199119911991, (2) 2002200320032002,2002200220032003。(陈省身小学数学邀请赛试题) (3) 2004200520052004,2004200420052005。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 10(计算 2003，200

60、2,2001,2000，1999，1998,1997,1996，3，2,1。(陈省身小学数学邀请赛试题) 11(计算 2004，2003，2002，2001,2000,1999,1998,1997，12，11，10，9,8,7,6,5。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 212(计算 2004,19202004，19242000,19281996，19321992,，20041920。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 第十一讲 速算与巧算(三) 例1 计算 66666397。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 2004个6 解:观察发现:397很接近400，于是: 原式,66666(40

61、0,3),66666400,666663 2004个6 2004个6 2004个6 ,266666400,1999998,266666400,200000，2 2003个6 2003个9 2003个6 2004个0 ,26466666402。 2001个6 例2 计算 66666?99。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 2004个6 解:试算发现，连续6个6除以99，商6734无余。2004除以6，商334，无余，所以，原式,6734006734006734。 333组673400 222222222例3 计算 2004，2003，2002，2001，2000,1999,1998,1997,1996。(2004年浙江省小学数学竞赛试题) 解:算式中的加数和减数全都是平方数，解决这个问题，要用到“平方差公式”: 22 a,b,(a，b)(a,b) 2222这个公式很容易验证。比如:5,4,(5，4)(5,4)，30,20,(30，20)(30,20)。于是: 2222222222004，2003，2002，2001，2000,1999,1998,1997,1996 222222222 ,(2004,1996)，(2003,1997)，(2002,1998)，(2001,1