主要内容二重积分定义课件

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1、主主 要要 内内 容容二二 重重 积积 分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域上的有界函数，将闭区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，,n 其中其中 i 表示第表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个小闭区域，也表示它的面积，在每 个个 i 上任取一点上任取一点 ),(ii ，作乘积，作乘积 ),(iif i ，),2,1(ni，并作和，并作和 iiniif ),(1，如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值

2、 趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxf在在闭闭 区区域域 D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf),(，即即 Ddyxf),(iiniif ),(lim10.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值值xzyoD),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 二重积分的性质二重积分的性质性质性质 当当 k 为常数时，为常数时，.),

3、(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd )(21DDD 性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf 则有则有设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最大上的最大 值和最小值，值和最小值，为为 D 的面积，则的面积，则 性质性质设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连

4、连续续，为为D的的面面 积积，则则在在D上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得 性质性质 DMdyxfm ),(),(),(fdyxfD二重积分的计算二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf （）直角坐标系下（）直角坐标系下.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(,).()(21 r )(2 r)(1 rAoDD.)sin,cos()(0

5、rdrrrfd,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r AoD D:D:DoA Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 r)(r,20 D:注意：注意：当被积函数为当被积函数为),(22yxf 积分区域是圆或积分区域是圆或圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分，常可简化计算。常可简化计算。二重积分的应用二重积分的应用(1)(1)体积体积之之间间直直柱柱体体的的体体积积与与区区域域在在曲曲面面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲

6、面曲面S的面积为的面积为;122dxdyyzxzAxyD (2)(2)曲面积曲面积(3)(3)重心重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其其中中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点 ),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连 续续，平平面面薄薄片片的的重重心心 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D

7、，在在点点 ),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连 续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点 ),0,0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0(a ,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz G 为引力常数为引力常数(4)(4)引力引力思考与练习思考与练习1.1.),(D化为二次积分化为二次积分将将 dyxf;1,1,1 )1(围围成成的的闭闭区区域域由由直直线线 yxyxy;1,)2(22围围成成的

8、的闭闭区区域域由由抛抛物物线线xyxy .0,2,4 )3(22围围成成的的闭闭区区域域由由 xxxyxy.2 )4(2xxyx 闭闭区区域域2.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分次序：;),()1(2121dyyxfdxx .),()2(221110dxyxfdyyy 1.1.),(D化为二次积分化为二次积分将将 dyxf;1,1,1:)1(围围成成 yxyxyD解解D 是是 Y型。型。将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。.10,11 :yyxyD dxdyyxf),(Ddxyxfyy),(11 10 dy;1,:)2(22围围成成xyxyD oxy11 121xy 2xy

9、oxy121xy 11 xy求交点：求交点：.1,22xyxy于是，于是，.1 ,2222 :22xyxxDD 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴投影。得得).21 ,22()21 ,22(，;1,:)2(22围围成成xyxyD oxy11 121xy 2xy 求交点：求交点：.1,22xyxy2222 dxdyyxf),(Ddyyxfxx),(221 2222 dx.0,2,4:)3(22围围成成 xxxyxyDoxy1222xxy 24xy 2在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为.2cos2 r,20 D),(dyxf Ddrdrrrf )sin ,co

10、s(.)sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 r2 r于是，于是，dxdyyxf),(Ddyyxfxx),(221 2222 dx.2 :)4(2xxyxD Ddrdrrrf )sin ,cos(.)sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoA cos2 rxy1122xxy xy 2o在极坐标系中，在极坐标系中，D 可表示为可表示为.cos20 r,24 D),(dyxf Ddrdrrrf )sin ,cos(.)sin ,cos(cos2024 drrrrfd2.改变下列二次积分的积分次序：改变下列二次积分的积分

11、次序：;),()1(2121dyyxfdxx .),()2(221110dxyxfdyyy 解解(1)积分区域为积分区域为 .1,21 :2xyxD .41,2 :yxyD 2121),(xdyyxfdx D),(dyxf.),(241 ydxyxfdy将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxy1212xy 4积分区域为积分区域为 .10 ,11 :22yyxyD .10,11 :2xyxD将将 D 向向 x 轴投影轴投影,.),()2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy),(221110.),(21011 xdyyxfdx D),(dyxf3.3.

12、围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD 4.4.10,11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 5.5.sin 21231 xdyydx计计算算6.6.)cos1(.22）所所围围的的面面积积（取取圆圆外外部部线线和和心心脏脏是是由由圆圆其其中中计计算算 ararDdyxD7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证证明明3.3.解解围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD dyxD22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 .,1,21 :xyxxDD 是是 X型。型。将将 D 向向 x 轴投影。轴

13、投影。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解先去掉绝对值符号，先去掉绝对值符号，4.4.10,11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 1D时，时，当当 2yx .02 xy .1,11 :21yxxD记记时，时，当当 2xy .02 xy .0,11 :22xyxD记记2D dxydxydxyDDD 21)()(222oxy11 1 2202111211)()(xxdyyxdxdyxydx.1511 .1,11 :21yxxD记记时，时，当当 2xy .02 xy .0,11 :22xyxD记记 dxydxydxyDDD 21)()(222 11411242)212

14、(dxxdxxx5.5.sin 21231 xdyydx计计算算解解积分区域为积分区域为 .21,31 :yxxD .20,11 :yyxD将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxy1221 xy3dxdyydyydxDx 221231sinsin ydxydy11220sin 202sindyyy.24cos1 解解 drdrrdyxDD 22 6.6.)cos1(.22）所所围围的的面面积积（取取圆圆外外部部线线和和心心脏脏是是由由圆圆其其中中计计算算 ararDdyxD在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为).cos1(ara,22 )cos1(22 aardrrd

15、oAa2a2 2 22331)cos1(31 da).2922(3 a drdrrdyxDD 22 )cos1(22 aardrrd 证证7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证证明明积分区域为积分区域为 .,:xyabxaD .,:byabxyD将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。oxyaxy bab dyfyxdyyfyxdxDnxanba)()()()(22 dyyxnyfbabyn 1)(11)(.)()(111 bandyyfybn bynbadxyfyxdy)()(2 .,:byabxyD dyfyxdyyfyxdxDnxanba)()()()

16、(22 8.8.10.10.)(3 4 2222所所围围成成的的立立体体的的表表面面积积和和锥锥面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz .6 4 2Vyxz限限上上的的体体积积所所围围成成的的立立体体在在第第一一挂挂及及三三个个坐坐标标面面，平平面面求求由由抛抛物物柱柱面面 9.9.1 部部分分的的面面积积的的有有限限，被被三三个个坐坐标标面面所所割割出出求求平平面面 czbyax8.8.6 4 2Vyxz限限上上的的体体积积所所围围成成的的立立体体在在第第一一挂挂及及三三个个坐坐标标面面，平平面面求求由由抛抛物物柱柱面面 oxyz426解解 所求立体可以看成是一个所求立体可以看成是一个曲顶

17、柱体，它的曲顶为曲顶柱体，它的曲顶为,42xz .60,20:yxD底为底为于是，于是，dxVD)4(2 dyxdx 60220)4(20602)4(dxyx 202)4(6dxx.32 9.9.).0 ,0 ,0(1 cbaczbyax部部分分的的面面积积的的有有限限，被被三三个个坐坐标标面面所所割割出出求求平平面面oxyzcab221 yzxz 解解,1222222cacbbaab 平面方程平面方程.ybcxaccz ,acxz ,bcyz axyoxyDbdxdyyzxzAxyD 122 所求面积所求面积221 yzxz,1222222cacbbaab axyoxyDbdxdyyzxzA

18、xyD 122 所求面积所求面积dxdycacbbaabxyD 2222221abcacbbaab211222222 .21222222cacbba 10.10.)(3 4 2222所所围围成成的的立立体体的的表表面面积积和和锥锥面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz xyzo解解所求表面分成所求表面分成和和，如图。，如图。第一块（第一块（）在半球面）在半球面上，上，422yxz 第一块（第一块（）在锥面）在锥面,)(322上上yxz 记为记为 A。记为记为 A。.面面上上的的投投影影区区域域先先求求它它们们在在 xoy ,)(3,4 2222yxzyxz由由.1 :22 yxDxy.面面上

19、上的的投投影影区区域域先先求求它它们们在在 xoy ,)(3,4 2222yxzyxz由由,122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去xyzo因此，曲面因此，曲面和和在在 xoy 面上面上的投影区域均为圆域：的投影区域均为圆域：xoy11xyDA的曲面方程为的曲面方程为，422yxz 221 yzxz,4222yx Dxy 极坐标系下表示：极坐标系下表示：,20 .10 r xyDdxdyyx2242dxdyyzxzxyD 122 AAo1xyDA的曲面方程为的曲面方程为，422yxz 221 yzxz,4222yx A xyDdxdyyx2242 xyDrdrdr 242A xyDdxdyyx2242 xyDrdrdr 242 1022042drrrd ).32(4 dxdyyzxzxyD 122 AA 的曲面方程为的曲面方程为221 yzxz,2,)(322yxz xyDdxdy2xoy11xyD.2 所求面积所求面积 A=A+A).325(2