高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积达标训练苏教版必修4

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1、高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积达标训练苏教版必修4高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积达标训练 苏教版必修4基础巩固1.已知a=(3,2),b=(2,-3),则向量a与b的夹角为( )A. B. C. D.思路解析:由ab=32+2(-3)=0,ab.两向量夹角为.也可通过画简图帮助分析.答案:D2.若向量a与b的夹角为120,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量a的模为( )A.2 B.4 C.6 D.12思路解析:将(a+2b)(a-3b)=-72展开,即a2+2ab-3ab-6b2=-72.|a|2-ab-6|b|2+72=0,即|a|2-|a|b|

2、cos120-24=0.|a|2+2|a|-24=0,解得|a|=4或|a|=-6(舍去).故|a|=4.答案:B3.已知平面向量a=(4,2),b=(x,-4),且ab,则x等于( )A.2 B.1 C.-1 D.-2思路解析:4x+2(-4)=0得x=2.答案:A4.已知a=(1,1),b=(1,0)且ka+b恰好与b垂直,则实数k的值是( )A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对思路解析:ka+b=k(1,1)+(1,0)=(1+k,k),ka+b与b垂直,(ka+b)b=0,即(1+k,k)(1,0)=0.(1+k)1+k0=0得k=-1.答案:B5.已知a、b是非零向量且满足

3、(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是( )A. B. C. D.思路解析:设a与b的夹角是,(a-2b)a,(a-2b)a=0,即|a|2-2ab=0. 又(b-2a)b,(b-2a)b=0,即|b|2-2ab=0. 由知|a|=|b|,ab=|a|2=|b|2,cos=.a与b的夹角为.答案:B6.已知平面上三点A、B、C满足|=6,|=8,|=10,则的值等于_.思路解析:|2+|2=|2,B=90cosABC=0,cosBAC=,cosBCA=.原式=680+810(-)+610(-)=-100.答案:-1007.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:

4、(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有_.思路解析:错误,因向量的数量积不满足结合律.错误,因(bc)a-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0,则(bc)a-(ca)b与c垂直.都是正确的.答案:8.已知|a|=5,b=(-4,3),且ab,则a的坐标为_.思路解析:设a的坐标为(x,y),由已知则有解得或答案:(3,4)或(-3,-4)9.已知|a|=8,|b|=10,当(1)ab,(2)ab,(3)a与b的夹角为60时,分别求a与b的数量积.思路分析:利用向量数

5、量积的定义求解,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1)ab,若a与b同向,则=0,ab=|a|b|cos0=810=80.若a与b反向,则=180,ab=|a|b|cos180=810(-1)=-80.(2)当ab时,=90,ab=|a|b|cos90=0.(3)当a与b的夹角为60时,ab=|a|b|cos60=810=40.10.已知向量a=(3,4),b=(4,3),试确定能使(xa+yb)a且|xa+yb|=1成立的x、y的值.思路分析:本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解:由于a=(3,4),b=(4,3),所以xa+yb=x(3,4

6、)+y(4,3)=(3x+4y,4x+3y).因为(xa+yb)a且|xa+yb|=1,所以有解得或综合应用11.若O为ABC所在平面内一点,且满足()()=0,则ABC的形状为( )A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A、B、C均不是思路解析:由()()=0,得()=0,又,()()=0,即|2-|2=0.|=|.ABC为等腰三角形.答案:C12.已知点A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形是( )A.正方形 B.菱形 C.梯形 D.矩形思路解析:如右图,=(4,-2),=(4,-2),.四边形ABCD为平行四边形.又=(4,-2)(3,6)=43+

7、(-2)6=0,.又|,四边形为矩形.答案:D13.已知a=(,3),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角,则的取值范围是( )A.5 B.5 C.5 D.5思路解析:设两向量的夹角为,由已知可得-1cos=0,经验证A项正确.答案:A14.点A(3,0)、B(-2,0),动点P(x,y)满足=x2,则点P的轨迹方程是_.思路解析:=(3-x,-y),=(-2-x,-y).(3-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x2.y2=x+6.答案:y2=x+615.已知a、b为非零向量,当t=_时,a+tb(tR)的模取最小值.思路解析:由|a+tb|2=t2|b|2+2tab+|a|2是关于t的二次

8、式,当t=-时,即t=-.答案:-16.i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,证明ABC是直角三角形,并求它的面积.思路分析:利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件.证明:=(4,2),=(3,4),则=(3-4,4-2)=(-1,2),=(-4,-2),=(-1)(-4)+(-2)2=0.,即ABC是直角三角形.|=,|=,且B=90,SABC=5.17.(2006四川高考)如图2-4-8,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )图2-4-8A. B. C. D.思路分析:设正六边形的边长为1,则=1cos30

9、=,=12cos60=1,=1cos90=0,=11cos120=-.答案:A18.(2006重庆高考)与向量a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为1的向量是( )A.(,-) B.(,-)或(-,)C.(,-) D.(,-)或(-,)思路解析:设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组求解或反代排除法求解.方法一:设所求向量的坐标为(x,y),由已知可得解得或方法二:(反代排除法)验证(,-)满足已知条件,验证(-,)也满足已知条件,故选择B.答案:B19.(2006江西高考)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)c=,则a与c的夹角为( )A.30 B.60 C.

10、120 D.150思路解析:本题利用向量数量积的坐标运算和向量数量积的性质.解题时要注意隐含条件a与a+b反向.a+b=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2)=-a,则a与a+b反向.又a+b=(-1,-2),则|a+b|=.则由(a+b)c=,可得a+b与c的夹角为60,a与c的夹角为120.答案:C20.(2006重庆高考)已知三点A(2,3)、B(-1,-1)、C(6,k),其中k为常数.若|=|,则与的夹角为( )A.arccos(-) B.或arccosC.arccos D.或-arccos思路解析:先由已知条件求出k的值,再利用向量数量积的坐标运算求出两向量的夹角.由|=|可得

11、,解得k=0或k=6.设与的夹角为.当k=0时,=(-3,-4),=(4,-3),则cos=0.当k=6时,=(-3,-4),=(4,3),则cos=-.所以的值为或-arccos.答案:D21.(2006浙江高考)设向量a、b、c满足a+b+c=0,且(a-b)c,ab,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是_.思路解析:由向量加、减法的平行四边形法则,以a、b对应有向线段为邻边可以构成一个正方形,则其对角线长为,且其中一条对应向量c.答案:422.(2006天津高考)设向量a与b的夹角为,且a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cos=_.思路解析:首先求出向量b,再利用夹

12、角公式求解.答案:23.(2006北京高考)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab,那么a+b与a-b的夹角大小是_.思路解析:方法一:设a+b与a-b的夹角为.a=(cos,sin),b=(cos,sin),a+b=(cos,sin)+(cos,sin)=(cos+cos,sin+sin);a-b=(cos,sin)-(cos,sin)=(cos-cos,sin-sin).cos=0.=.方法二:a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a|=1,|b|=cos2+sin2=1.而(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,a+ba-b,即a+b与a-b的夹角大小是.答案:14