专升本中值定理及导数在经济上的应用课件

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1、3.3.中值定理及导数的中值定理及导数的应用应用(二二)若曲线上的一点沿着曲线趋于无若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。零，则称此直线为曲线的渐近线。如下图：如下图：)(xfyxy0byxy0)(xfyby若曲线若曲线)(xfy的定义域是无限区间的定义域是无限区间间，且有间，且有bxfx)(lim或或bxfx)(lim则直线则直线by为曲线为曲线)(xfy的渐近的渐近水平渐进线水平渐进线线，称为线，称为11xy求曲线求曲线 的水平渐近线。的水平渐近线。11limxx00y是曲线的一条水平渐近线。是曲线的一条水

2、平渐近线。xy0111xy如下图：如下图：求曲线求曲线 的水平渐近线的水平渐近线111xy1y是曲线的一条水平渐近线是曲线的一条水平渐近线如下图：如下图：cxy0若曲线若曲线)(xfy有有)(limxfcx或或)(limxfcx则直线则直线cx为曲线为曲线)(xfy的一条渐的一条渐或垂直或垂直渐进渐进称为铅垂渐进线称为铅垂渐进线.近线，近线，线线.11xy求曲线求曲线 的铅垂渐近线。的铅垂渐近线。11lim1xx11lim1xx1x是曲线的一条铅垂是曲线的一条铅垂xy01渐进线。渐进线。求曲线求曲线 的铅直渐近线的铅直渐近线111xy1x是曲线的一条铅直渐近线是曲线的一条铅直渐近线)(xfba

3、xy)(xfyxxy0如下图：如下图：若若0)()(limbaxxfx成立，成立，斜渐近线斜渐近线.)(xfybaxy为曲线为曲线则直线则直线的一条的一条其中其中,)(limxxfax)(limaxxfbx)(xfybaxy为曲线为曲线一般情况下一般情况下,的一条渐近线的一条渐近线.则有则有即即0)()(limbaxxfx或或0)()(limbaxxfx)()(limbaxxfxx1)(limxbaxxfxaxxfx)(lim0或或)()(limbaxxfxx1)(limxbaxxfxaxxfx)(lim0 xxfax)(lim或或xxfax)(lim)(limaxxfbx或或)(limaxx

4、fbx12xxy求曲线求曲线 的渐近线。的渐近线。1lim)1(21xxx、1lim21xxx1x是曲线的一条铅垂渐进线是曲线的一条铅垂渐进线a、)2(xxfx)(lim1limxxx1b)(limaxxfx)1(lim2xxxx1limxxx11xy是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线.12xxy求曲线求曲线 的渐近线的渐近线1322xxy31x是曲线的一条铅直渐近线是曲线的一条铅直渐近线9232xy是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线132lim)1(231xxx、31x是曲线的一条铅垂渐进线是曲线的一条铅垂渐进线a、)2(xxfx)(lim132limxxx32b)(limaxxfx)3

5、2132(lim2xxxx392limxxx929232xy是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线.弹性概念是经济学中的一个重要概念弹性概念是经济学中的一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度经济变量变化的灵敏程度.设有设有A和和B两种产品两种产品,其单价分别是其单价分别是10元元和和100元元.同样提价同样提价1元元,虽然改变量相同虽然改变量相同,但提价的百分数大不相同但提价的百分数大不相同.因此有必要因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率研究函数的相对改变量以及相对变化率,这在经济学中称为弹性这在经济学中称为弹性.给定变量给定

6、变量 它在某处的改变量它在某处的改变量,uu称为绝对改变量，称为绝对改变量，uu称为相对改称为相对改变量变量.对于函数对于函数 ，若函数的相对，若函数的相对)(xfy改变量改变量 与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量yy的比值的比值 ，当，当 时的极时的极xxxxyy0 x限限 存在，则称该极限为函数存在，则称该极限为函数xxyyx0lim 在点在点 处的弹性，记作处的弹性，记作)(xfyxExEy)(lim)(0 xfyxxxyyExEyxfExEx即即函数函数 在点在点 处的弹性，处的弹性，)(xfx就是函数就是函数在点在点 处的相对变化率处的相对变化率.x它反映随它反映随 的变化函数

7、的变化函数 变化幅度变化幅度 x)(xf的大小，也就是的大小，也就是 对对 变化反应的变化反应的 )(xfx%1灵敏度灵敏度，即在点，即在点 处，当处，当 改变改变 xx时，函数近似改变时，函数近似改变%E用弹性函数来分析经济量的变化用弹性函数来分析经济量的变化成为弹性分析成为弹性分析.某个商品的市场需求量为某个商品的市场需求量为,q价格为价格为,p需求函数需求函数 可导可导,则称则称 ),(pqq)()(pqpqp为该商品的需求价格弹性为该商品的需求价格弹性,简称需求弹性简称需求弹性ppqqp0limpqqpp0limpqqpp0lim)()(pqpqp当某种商品的价格下降当某种商品的价格下

8、降(上升上升)时，时，%1其需求量将增加其需求量将增加(减少减少)%.1、需求函数是单调减少函数，、需求函数是单调减少函数，故需求弹性一般取负值故需求弹性一般取负值.2、一般地、一般地:若若,01则需求递减的百分率则需求递减的百分率小于价格递增的百分率小于价格递增的百分率,从而提价导致从而提价导致收入增加收入增加.若若,1则情况相反则情况相反,适当降价会使适当降价会使从而增加收入从而增加收入.需求量较大幅度上升需求量较大幅度上升,这种情况的需求称为缺乏这种情况的需求称为缺乏弹性弹性.这种情况的需求称为富有弹性这种情况的需求称为富有弹性.若若,1则降价不会引起任何变化则降价不会引起任何变化,即需

9、求的减少即需求的减少,恰好抵消了涨价所得到恰好抵消了涨价所得到的收入的收入.只有只有 时时,1需求曲线才有弹性的需求曲线才有弹性的.设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为pepq02.03000)(求：价格为求：价格为100时的需求弹性并解时的需求弹性并解释其经济含义释其经济含义)()(pqpqpppe02.03000pe02.03000)02.0(pp02.0)100(它的经济意义是当价格为它的经济意义是当价格为100时，时，若价格提高若价格提高 时，则需求减少时，则需求减少%1%2p02.02设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为ppq)41(1600)(求求:(1)需求价格弹性需求价

10、格弹性;(2)价格为价格为10时的需求弹性时的需求弹性,再提高再提高1%时时,求该商品的需求的变化情况求该商品的需求的变化情况.4lnp39.1)()(pqpqppp)41(1600p41lnppq)41(1600)(p)41(160041lnp4lnp39.19.13)10(价格为价格为10时时,再提高再提高1%时时,商品的需求商品的需求量将减少量将减少13.9%.对一元函数来说，独立的变量对一元函数来说，独立的变量只有一个，其它变量均可用它表只有一个，其它变量均可用它表示出来。示出来。2、对函数关系式求一阶导数，并令、对函数关系式求一阶导数，并令其为零，求出驻点其为零，求出驻点.3、若所求

11、的驻点唯一，且二阶导数、若所求的驻点唯一，且二阶导数值小于零值小于零(或大于零或大于零)，则函数在，则函数在该驻点取得最值该驻点取得最值.201.03250)(qqqC一种玩具制造商得知生产一种玩具制造商得知生产 件某种件某种q洋娃娃的成本是洋娃娃的成本是(单位：元单位：元)，这种玩具以，这种玩具以14元的单价全元的单价全部售出部售出,求生产多少时求生产多少时,获利最多获利最多?201.03250)(qqqCLCR设产量为设产量为 ,则利润函数为：则利润函数为：qq14)01.03250(2qq2501101.02qq则则L1102.0q L02.0令令,0 L得得550q002.0 L故产量

12、为故产量为550时取得最大值时取得最大值,2775)550(Lq设某厂在一个计算期内产品的产量设某厂在一个计算期内产品的产量与其成本与其成本 的关系为的关系为C32000001.0003.061000)(qqqqC(元元)根据市场调查得知根据市场调查得知,每单位该种产品的每单位该种产品的价格为价格为6元元,且全部售出且全部售出,求生产多少时求生产多少时,获利最大获利最大?3000,2000Lq某商家销售某种商品的价格满足某商家销售某种商品的价格满足qp2.07(万元万元/吨吨)，为销售量，为销售量q(单位：吨单位：吨)，商品的成本函数是，商品的成本函数是求求:(1)、若每销售一吨，政府要征税若

13、每销售一吨，政府要征税 13 qC(万元万元)t(万元万元)、求该商家获得最大利润时的、求该商家获得最大利润时的销售量销售量.(2)、为何值时，为何值时，政府税收总额最大政府税收总额最大 t(1)、设、设 为总税额为总税额 TT则则tq商品销售总收入为：商品销售总收入为：pqRqq)2.07(22.07qq利润函数为：利润函数为：LTCRtqqqq)13(2.0721)4(2.02qtqLtq44.0令令,0 L得得)4(25tqtqL44.0 L4.04.0 L又又0时时,利润最大利润最大.)4(25tq(2)、将、将 代入代入 ,得得 )4(25tqtqT)4(25ttT22510tt T

14、,510t T5tT510令令,0T得得2t5 T又又02t政府税收总额最大政府税收总额最大;5025000QCQ(单位：元单位：元)的函数是的函数是1、假设某种产品的需求量是单价、假设某种产品的需求量是单价商品的总成本商品的总成本C是需求量是需求量 的函数的函数,8012000pQ每单位商品需要纳每单位商品需要纳税税2元，试求使销售利润最大的商品元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额单价和最大利润额2、某制造商每年出售的冰箱稳定在、某制造商每年出售的冰箱稳定在50000台，分批生产台，分批生产(批量相同批量相同),每次的每次的生产成本为生产成本为10000元，加上没制造一台元，加上没制

15、造一台冰箱，需多付的冰箱，需多付的100元元.此外，在每一年此外，在每一年中，每台冰箱的存放费是中，每台冰箱的存放费是2.5元，若需求元，若需求整年不变，问制造商应分几批生产，才整年不变，问制造商应分几批生产，才能使它的总成本最低能使它的总成本最低.(存放费按平均库存放费按平均库存量计算存量计算)8012000(5025000p)2)(8012000(Pp1、利润销售利润、利润销售利润QCpQL264900016160802pp,101p167080L2、总成本总成本=生产成本生产成本+存放费用存放费用生产成本与生产批次成正比，生产成本与生产批次成正比，而批次与而批次与批量成反比，批量成反比，一年共生产一年共生产 批批.q50000生产成本生产成本=q500001000050000100(元元)存放费用存放费用=25.2q)(qCqq25.110510568)(qCqqqC25.1105105)(6825.110528q令令,0C得得20000q批次批次=q500005.2(批批)故应分故应分2.5批生产，才能使总成本最低批生产，才能使总成本最低