概率论与数理统计离散型随机变量及其分布律

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1、 2.2 离散型随机变量极其分步律离散型随机变量极其分步律引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。在概率的研究中为什么需要引入随机变量？在概率的研究中为什么需要引入随机变量？X取其各个可能值取

2、其各个可能值xk(k1，2，)的概率的概率PXxkpk，称为离，称为离散型随机变量散型随机变量X的概率函数的概率函数(概率分布或分布律概率分布或分布律)。分布率也可以用表。分布率也可以用表格的形式来表示：格的形式来表示：称为随机变量称为随机变量X的分布列。的分布列。1.离散型随机变量：如果随机变量离散型随机变量：如果随机变量X的取值是有限个或可列无的取值是有限个或可列无限多个，则称限多个，则称X为离散型随机变量。为离散型随机变量。2.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 2.2 离散型随机变量极其分离散型随机变量极其分 布律布律分布律性质：分布律性质：1p 20p 11iii完备性

3、：非负性例例2 2：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1 12 2的概率允许或禁止汽车通过。以的概率允许或禁止汽车通过。以X X表示汽车首次停下时，它已通过的信表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的设各组信号灯的工作是相互独立的)，求，求X X的分布律。的分布律。解解 以以p p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X X的分布律为的分布律为或写成或写成 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3;PX=4=(1-p)4以以p

4、=1/2代入得代入得例例3 3 设随机变量设随机变量X X的分布律为的分布律为求求X X的分布函数，并求的分布函数，并求PX1/2,P3/2PX1/2,P3/2X5/2,P2X3.X5/2,P2X3.解解 3,1,32,21,21,1,1,0)(xxXPXPxXPXxF 31,3243,2141,1,0)(xxxXxF，即即F(x)的图形如下的图形如下 .432143122332.21414323252523,412121 XPFFXPFFXPFXPF(x)O1-1321X X3.常见离散型分布常见离散型分布1.1.退化分布退化分布 PX=c=12.（01）分布）分布关于（关于（01）分布）分

5、布 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S=e1，e2，我们总能在，我们总能在S上定义一个服从上定义一个服从(0一一1)分布的随机变量分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币抛硬币”试验试验等都可以用等都可以用(01)分布的随机变量来描述。分布的随机变量来描述。(0一一1)分布是经常遇到的

6、一分布是经常遇到的一种分布。种分布。.,1,0)(21eeeeeXX当当当当3.伯努利试验与二项分布伯努利试验与二项分布 设设P(A)p(0p1)，此时，此时P()1-p。将。将E独立地重复地进行独立地重复地进行n次，次，则称这一串重复的独立试验为则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。重伯努利试验。n重伯努利试验是一种很重要的数学模型它有广泛的应用，是研究最重伯努利试验是一种很重要的数学模型它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。多的模型之一。ii)n重伯努利试验重伯努利试验 i)设试验设试验E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A及及 ，则称，则称E为伯努利为伯努利(Bernoulli)试

7、试验。验。AA 考虑考虑n重伯努里试验中，事件重伯努里试验中，事件A恰出现恰出现k次的概率。次的概率。以以X表示表示n重伯重伯努利试验中事件努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布是一个随机变量，我们来求它的分布律。律。X所有可能取的值为所有可能取的值为o，1，2，n由于各次试验是相互独立的，由于各次试验是相互独立的，故在故在n次试验中，事件次试验中，事件A发生发生k次的概率为次的概率为iii)二项分布二项分布 nknnkknkknkknkqpqpknkXPnkkXPnkqpknkXPpqppkn00)(;,2,1,0,0.,2,1,0,1)1(显显然然，即即

8、有有，记记的的二二项项分分布布数数值值表表。计计算算得得到到。这这里里给给出出了了的的概概率率可可通通过过给给出出，因因为为表表只只对对的的数数值值。另另外外二二项项分分布布给给出出了了及及查查，这这种种表表是是对对不不同同的的二二项项分分布布有有现现成成的的表表可可分分布布。这这就就是是时时二二项项分分布布化化为为特特别别，当当记记为为的的二二项项分分布布，服服从从参参数数为为变变量量那那一一项项，故故我我们们称称随随机机的的的的展展开开式式中中出出现现刚刚好好是是二二项项式式注注意意到到5.0,3.0,1.0,20)1,;(),;(55.0),;()10(.1,0,1).,;(,)(321

9、1 pppnpnknbpnkbpppnkbpnkqpkXPnpnkbXpnXpqpqpknkkknknk 从图中可以看出，对于固定的从图中可以看出，对于固定的n n及及p p，当，当k k增加时，增加时，b(k;n,p)b(k;n,p)险随之险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p p越与越与1/21/2接近时，分接近时，分布越接近对称。布越接近对称。问题：固定问题：固定n和和p，当，当k取何值时，取何值时，b(k;n,p)取最大值？取最大值？由于对由于对0p1,因此因此 当当kb(k-1;n,p)当当k(n+1)p时，时，b(k;n,p

10、)00，A Ak k为为A A在第在第k k次试验中出现，次试验中出现，则则 ，于是在前，于是在前n n次试验中，次试验中，A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为 其实际意义是，我们可以借助它判断事情的真实性。因为根据其实际意义是，我们可以借助它判断事情的真实性。因为根据实际推断原理，小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。而实际推断原理，小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。而某一认为概率很小的事件，居然在一次试验中发生了，人们就有理某一认为概率很小的事件，居然在一次试验中发生了，人们就有理由怀疑其正确性。由怀疑其正确性。nk1kk)AAA.P(AP(AP 1()1)(2)(1

11、1(1)12 n)AAAP(Pnk1n 例例7：设有：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是都是001，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人共人共同维护同维护80台试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的台试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。概率的大小。解解 按第一种方法。以按第一种方法。以X记记“第第1人维护的人维护的20台中

12、同一时刻发生故障的台中同一时刻发生故障的台数台数”，以，以Ai(i1，2，3，4)表示事件表示事件“第第i人维护的人维护的20台中发生故台中发生故障不能及时维修障不能及时维修”，则知，则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 P(A1A2 A3 A4)P(A1)PX2 而而Xb(20，001)，故有，故有.0169.0)(.0169.0)99.0()01.0(201124321102010 AAAAPkkXPXPkkkk即即有有 按第二种方法以按第二种方法以Y记记80台中同一时刻发生故障的台数。此时，台中同一时刻发生故障的台数。此时，Yb(80，001)，故

13、，故80台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 我们发现，在后一种情况尽管任务重了我们发现，在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约每人平均维护约27台台)，但，但工作效率不仅没有降低，反而提高了。工作效率不仅没有降低，反而提高了。3080.0087.0)99.0()01.0(8014kkkkYP例例8 8 保险事业是最早使用概率论的部门之一。保险公司为了估计企业的利润，保险事业是最早使用概率论的部门之一。保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型问题之一。若一年中某类保险者里需要计算各种各样的概率，下面是典型问题之一。若一年中某类保险者里面每

14、个人死亡的概率等于面每个人死亡的概率等于0 0005005，现有，现有1000010000个这类人参加人寿保险，试个这类人参加人寿保险，试求在来来一年中在这些保险者里面，求在来来一年中在这些保险者里面，(1)(1)有有4040个人死亡的概率；个人死亡的概率；(2)(2)死亡人死亡人数不超过数不超过7070个的概率。个的概率。解解 作为初步近似，可以利用贝努里概型，作为初步近似，可以利用贝努里概型，n=10000n=10000p=0p=0005005，设，设 为未来为未来一年中这些人里面死亡的人数，则所求的概率分别为一年中这些人里面死亡的人数，则所求的概率分别为 (1)b(40(1)b(40；1

15、0000,0.005)10000,0.005)70010000700996040)995.0()005.0(10000)005.0,10000;(70)2()995.0()005.0(4010000kkkkkkbP 直接计算这些数值相当困难，要有更好的计算方法。可以利用概率论直接计算这些数值相当困难，要有更好的计算方法。可以利用概率论中的极限定理来实现近似计算。关于极限定理后面将讨论。中的极限定理来实现近似计算。关于极限定理后面将讨论。4.泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量X所有可能取的值为所有可能取的值为0，1，2，而取各个值的概率为，而取各个值的概率为其中其中 0是常数。则称是常数。则

16、称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记为的泊松分布，记为X()。,2,1,0,!kkekXPk 易知，易知，PX=k)0PX=k)0，k=0k=0，1 1，2 2，且有，且有,2,1,0,1!000 keekekekXPkkkkk 关于泊松分布关于泊松分布 历史上普阿松分布是作为二项分布的近似，于历史上普阿松分布是作为二项分布的近似，于18371837年由法国数学家普年由法国数学家普阿松引入的，近数十年来，普阿松分布日益显示其重要性，成了概率论中阿松引入的，近数十年来，普阿松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。最重要的几个分布之一。在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。

17、这种情况特别集中在两在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在运筹学及管理科学中普阿松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，运筹学及管理科学中普阿松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或

18、微生物的数目等等都服从普阿松分布。的血球或微生物的数目等等都服从普阿松分布。例例9 9 对上海某公共汽车站的客流进行调查，统计了某天上午对上海某公共汽车站的客流进行调查，统计了某天上午1010：3030至至1111：4747左右每隔左右每隔2020秒钟来到的乘客批数秒钟来到的乘客批数(每批可能有数人同时来到每批可能有数人同时来到)，共得，共得230230个个记录，我们分别计算了来到记录，我们分别计算了来到0 0批，批，1 1批，批，2 2批，批，3 3批，批，4 4批及批及4 4批以上乘客的时批以上乘客的时间区间的频数，结果列于下表中，其相应的频率与间区间的频数，结果列于下表中，其相应的频率与

19、=0.870.87的普阿松分布符的普阿松分布符合得很好。合得很好。公共汽车客流统计公共汽车客流统计二项分布的普阿松二项分布的普阿松(poisson)逼近逼近 在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，其中，相在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，其中，相对地说，而乘积。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。对地说，而乘积。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。定理定理(普阿松普阿松)：n n很大，很大，p p很小（一般很小（一般p0.1p0.1），而，而 ，我们，我们用下面近似公式用下面近似公式npkeknppnkb !)(),;(n1，p0.5，=np 不太大时不太大时 b(n,

20、p)()例例10 假如生三胞胎的概率为假如生三胞胎的概率为10-6，求在，求在1000000次生育中，有次生育中，有0，1，2次生三次生三胞胎的概率。胞胎的概率。解解 设设X表示三胞胎的次数，表示三胞胎的次数，n=106，p=10-6，显然，显然 Xb(n，p)(1)pX=0=e-1=0.3679 pX=1=e-1=0.3679 pX=2=e-1/2=0.1839 把随机现象中事件的发生看作把随机现象中事件的发生看作“流流”的时候，如果事件流满的时候，如果事件流满足：足：(1)(1)平稳性。即流的发生次数只与时间间隔平稳性。即流的发生次数只与时间间隔t t的长短有关，的长短有关，而与初始时刻无

21、关；而与初始时刻无关；2)2)无后效性。即任一时间无后效性。即任一时间t t0 0前流的发生与前流的发生与t t0 0后流的发生无关；后流的发生无关；(3)(3)普通性。即当时间间隔普通性。即当时间间隔t t很小时，流至多很小时，流至多发生一次。则发生一次。则“流流”称为泊松流，其概率分布服从普阿松分布。称为泊松流，其概率分布服从普阿松分布。（证明略）（证明略）什么样的随机现象服从普阿松分布？什么样的随机现象服从普阿松分布？单位时间内稀有事件的发生次数，如：单位时间内稀有事件的发生次数，如：（1 1）单位时间内，顾客稀少的服务网点到达的顾客数）单位时间内，顾客稀少的服务网点到达的顾客数 （2 2）单位时间内，设备故障次数。）单位时间内，设备故障次数。（3 3）单位时间内稀有病症，发病人数。）单位时间内稀有病症，发病人数。（4 4）某地区百年内的）某地区百年内的6 6级以上地震次数。级以上地震次数。（5 5）一年内空难次数等。）一年内空难次数等。