计量经济学第六章异方差ppt课件

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1、 异方差性异方差性HeteroskedasticityHeteroskedasticity一、异方差性的概念一、异方差性的概念二、异方差性的后果二、异方差性的后果三、异方差性的检验三、异方差性的检验四、异方差性的估计四、异方差性的估计五、案例五、案例回归分析，是在对线性回归模型提出假设干根本回归分析，是在对线性回归模型提出假设干根本假设的条件下，运用普通最小二乘法得到了无偏的、假设的条件下，运用普通最小二乘法得到了无偏的、有效的参数估计量。有效的参数估计量。但是，在实践的计量经济学问题中，完全满足这但是，在实践的计量经济学问题中，完全满足这些根本假设的情况并不多见。些根本假设的情况并不多见。假

2、设违背了某一项根本假设，那么运用普通最小假设违背了某一项根本假设，那么运用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，计量，OLSOLS法失效，这就需求开展新的方法估计模法失效，这就需求开展新的方法估计模型。型。假设随机误差项序列不具有同方差性，即出现异假设随机误差项序列不具有同方差性，即出现异方差性。方差性。说说 明明一、异方差的概念一、异方差的概念 1、异方差的概念、异方差的概念对于模型 ikikiiiiXXXY2210 i=1,2,n同方差性假设为 2)(iVar i=1,2,n如果出现 Varii()2 i=1,2,n即对于不同

3、的样本点，随机误差项的方差不再是即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，那么以为出现了异方差性。常数，那么以为出现了异方差性。2 2、异方差的类型、异方差的类型 同方差性假定的意义是指每个i围绕其零平均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个i的方差坚持一样，即 i2=常数 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随X的变化而变化，即 i2=f(Xi)异方差普通可归结为三种类型：异方差普通可归结为三种类型：1单调递增型：i2随X的增大而增大；2单调递减型：i2随X的增大而减小;3复 杂 型：i2与X的变化呈复杂方式。3 3、实践经济问题中的异方差性、实践经

4、济问题中的异方差性 在该模型中，在该模型中，i的同方差假定往往不符合的同方差假定往往不符合实践情况。对高收入家庭来说，储蓄的差别较实践情况。对高收入家庭来说，储蓄的差别较大；低收入家庭的储蓄那么更有规律性如为大；低收入家庭的储蓄那么更有规律性如为某一特定目的而储蓄，差别较小。某一特定目的而储蓄，差别较小。因此，因此，i的方差往往随的方差往往随Xi的添加而添加，的添加而添加，呈单调递增型变化。呈单调递增型变化。例如：在截面资料下研讨居民家庭的储蓄形为例如：在截面资料下研讨居民家庭的储蓄形为 Yi=0+1Xi+i Yi和和Xi分别为第分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。个家庭的储蓄额和可支配收入

5、。普通情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。假设样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值的增大而先减后增，出现了异方差性。例如，以绝对收入假设为实际假设、以截面数据作例如，以绝对收入假设为实际假设、以截面数据作样本建立居民消费函数：样本建立居民消费函数：Ci=0+1Yi+i 将居民按照收入等间隔分成将居民按照收入等间隔分成n组，取组平均数为样本组，取组平均数为样本观测值。观

6、测值。例如，以某一行业的企业为样本建立企业消费函例如，以某一行业的企业为样本建立企业消费函数模型数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3eI产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，呵斥了随机误差项的异方差性。度不同，呵斥了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变这时，随机误差项的方

7、差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。种。二、异方差性的后果二、异方差性的后果1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 普通最小二乘法参数估计量依然具有无偏性，但不具有有效性。由于在有效性证明中利用了 E(NN)=2I 而且，在大样本情况下，参数估计量依然不具有渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。以一元线性回归模型为例进展阐明：以一元线性回归模型为例进展阐明：1 1仍存在无偏性：证明过程与方差无关仍存在无偏性：证明过程与方差无关由于 iiiXY10 （2.4.1）的参数1的 OLS 估计量1为：iiiiiiixxk

8、Yk2111故 1211)()()(iiiExxEE (2.4.2)2 2不具备最小方差性不具备最小方差性由于 222222111)()()()()var(iiiiiixxExxEE 2222)()(iiixEx （注：交叉项)(,jjiijijixx的期望为零）在i为同方差的假定下，22)()var(iiE 2222221)()var(iiixxx (2.4.3)在i存在异方差的情况下 )()()var(222iiiiXfE假设2)(iiXXf，并且记异方差情况下1的 OLS 估计为1，则 2222222221)()()var(iiiiiiixXxxxXfx (2.4.4)对大多数经济资料有

9、：1222iiixXx，比较(2.4.3)与(2.4.4)，)var()var(11 （2.4.5）2 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义关于变量的显著性检验中，构造了t统计量 )(/iiSt (2.4.6）在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t统计量服从自在度为(n-k-1)的t分布。假设出现了异方差性，t检验就失去意义。其它检验也类似。3 3、模型的预测失效、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面，在预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差2。所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而呵斥对Y的

10、预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。三、异方差性的检验三、异方差性的检验1 1、检验方法的共同思绪、检验方法的共同思绪 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的关的“方式。方式。问题在于用什么来表示随机误差项的方差问题在于用什么来表示随机误差项的方差 普通的处置方法：普通的处置方法：首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项

11、的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近近似似估估计计量量”，用ei表示。于是有 OLSiiiYYe)(VarEeiii()()22 (2.4.7)即用ei2来表示随机误差项的方差。2 2、图示检验法、图示检验法1用用X-Y的散点图进展判别的散点图进展判别 看能否存在明显的散点扩展、减少或复杂型趋看能否存在明显的散点扩展、减少或复杂型趋势即不在一个固定的带型域中势即不在一个固定的带型域中看能否构成一斜率为零的直线看能否构成一斜率为零的直线(2 2)X X-ei2的的散散点点图图进进行行判判断断ei2 ei2 X X 同方差 递增异方差ei2 ei2 X X 递减异方差 复杂型异方差

12、 3 3、解析法、解析法1 1戈德菲尔德戈德菲尔德-匡特匡特Goldfeld-QuandtGoldfeld-Quandt检验检验 G-Q G-Q检验以检验以F F检验为根底，适用于样本容量较大、检验为根底，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。异方差递增或递减的情况。G-Q G-Q检验的思想：检验的思想：先将样本一分为二，对子样和子样先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差之分别作回归，然后利用两个子样的残差之比构造统计量进展异方差检验。比构造统计量进展异方差检验。由于该统计量服从由于该统计量服从F F分布，因此假设存分布，因此假设存在递增的异方差，那么在递增的异

13、方差，那么F F远大于远大于1 1；反之就会；反之就会等于等于1 1同方差、或小于同方差、或小于1 1递减方差。递减方差。G-QG-Q检验的步骤：检验的步骤：将n对样本察看值(Xi,Yi)按解释变量察看值Xi的大小排队将序列中间的c=n/4个察看值除去，并将剩下的察看值划分为较小与较大的一样的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2对每个子样分别求回归方程，并计算各自的残差平方和。分别用21ie与22ie表示对应较小iX与较大iX的子样本的残差平方和(自由度均为12kcn)提出假设：0H：2221，1H：2221 21与22分别为两个子样对应的随机项方差。构造统计量 )12,12()12

14、()12(2122kcnkcnFkcnekcneFii检验。给定显著性水平，确定 F 分布表中相应的临界值),(21vvF。若 F),(21vvF，存在递增异方差；反之，不存在异方差。2 2戈里瑟戈里瑟GleiserGleiser检验与帕克检验与帕克ParkPark检验检验 戈里瑟检验与帕克检验的思想：戈里瑟检验与帕克检验的思想：选择关于变量jX的不同的函数形式（如2)(jijiXXf或ivjijieXXf2)(），对方程进行估计并进行显著性检验；假设存在某一种函数方式，使得方程显著成立，那么阐明原模型存在异方差性。以|e|或ei2为被解释变量，以原模型的某一解释变量jX为解释变量，建立如下方

15、程：ijiiXfe)(|i=1,2,n （Gleiser）或 ijiiXfe)(2 i=1,2,n (Park)留意：留意：由于由于f(Xj)的详细方式未知，因此需求进的详细方式未知，因此需求进展各种方式的实验。展各种方式的实验。如 Park 检验法中，对一般的方程形式：ivjijieXXf2)(通过 ijiivXelnln)ln(22检验的显著性，若存在统计上的显著性，表明存在异方差性。四、异方差性的估计四、异方差性的估计加权最小二乘法加权最小二乘法(WLS)Weighted Least Squares1 1、加权最小二乘法的根本思想、加权最小二乘法的根本思想 加权最小二乘法是对原模型加权，

16、使之加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。后采用普通最小二乘法估计其参数。例如，在递增异方差下，对来自较小例如，在递增异方差下，对来自较小Xi的子样本，其真实的总体方差较小，的子样本，其真实的总体方差较小，Yi与与回归线拟合值之间的残差回归线拟合值之间的残差ei的信度较大，的信度较大，应予以注重应予以注重;而对较大而对较大Xi的子样本，由于的子样本，由于真实总体的方差较大，残差反映的信息应真实总体的方差较大，残差反映的信息应打折扣。打折扣。加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施加权最小二乘

17、法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：法：对较小的残差平方对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，赋予较大的权数，对较大的残差平方对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。赋予较小的权数。21102)(kkiiiiXXYWeW2 2、一个例子、一个例子例如，假设在检验过程中曾经知道：例如，假设在检验过程中曾经知道：VarEf xiiiji()()()222即随机误差项的方差与解释变量jX之间存在相关性，那么可以用)(jXf去除原模型，使之变成如下形式的新模型：ijiijijiijiXXfXXfXfyXf22110)(1)(1)(1)(1 ijikijikXfXXf)(1)(1在该模型中，存在 2

18、22)()(1)(1()(1(ijiijiijiEXfXfEXfVar即满足同方差性。于是可以用 OLS 估计其参数，得到关于参数 01,k的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是)(1jiXf。3 3、普通情况、普通情况对于模型 Y=XB+N (2.4.8)存在 ECovE()()()02W W wwwn12 (2.4.9)即存在异方差性异方差性。设 WDD其中 nwwD1该模型具有同方差性。因为 1111*)()()(DDDDNNEENNE IDDDDWDD1111222用D1左乘(2.4.8)两边，得到一个新的模型：D YD XD111 (2.4.10)即 YX*这就是

19、原模型(2.4.8)的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。这里权矩阵为D-1，它来自于矩阵W。于是，可以用 OLS 法估计模型(2.4.10)，得 ()*X XX Y1 ()()X DD XX DD YX WXX WY11111111 (2.4.11)4 4、求得权矩阵、求得权矩阵W W的一种适用方法的一种适用方法 从前面的推导过程看，它来自于原模型2.4.8残差项N的方差-协方差矩阵，因此依然可对原模型(2.4.8)首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即 W eeen12222，|/1|1|1211neeeD （2.4.12）5 5、加权最小二乘法详细步骤

20、、加权最小二乘法详细步骤 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量ei；建立|1ie的数据序列；选择加权最小二乘法，以|1ie序列作为权，进行估计得到参数估计量。实际上是以|1ie乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。6、留意、留意 在实践建模过程中，尤其是截面数据作样本时，人们通常并不对原模型进展异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。假设确实存在异方差，那么被有效地消除了；假设不存在异方差性，那么加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。在运用软件中，给出了权矩阵的多种选择。在运用软件中，给出了权矩阵的多种选择。例如在例如在E

21、views中给出了权矩阵的中给出了权矩阵的3种选择：种选择：White权矩阵、权矩阵、Newey-West权矩阵和本人输入权矩权矩阵和本人输入权矩阵。阵。五、案例五、案例1某地域居民储蓄模型某地域居民储蓄模型某地域某地域31年来居民收入与储蓄额数据表年来居民收入与储蓄额数据表 表 4-1 单位：万元年份 居民收入(X)储蓄(Y)年份 居民收入(X)储蓄(Y)年份 居民收入(X)储蓄(Y)19688777264197917663950 199029560210519699210105198018575779 19912815016001970995490198119535819 19923210

22、022501971105081311982211631222 19933250024201972109791221983228801072 19943525025701973119121071984241271578 19953350017201974127474061985256041654 19963600019001975134995031986265001400 19973620021001976142694311987276701829 1998382002300197715522588198828300220019781673089819892743020171、直接使用OLS法得

23、：XY0846.060.665 (-5.87)(18.04)2R=0.91821 1、普通最小二乘估计、普通最小二乘估计2 2、异方差检验、异方差检验1 1图示检验图示检验050010001500200025003000050001000015000200002500030000350004000045000XY G-Q G-Q检验检验求两个子样本n1=n2=12回归方程的残差平方和RSS1与RSS2；对第 1 个子样本（19681979）：XY0954.058.8231 (-4.864)(7.300)2R=0.842,1RSS=2ie=162899.2对第二个子样本（19771988）XY0

24、294.007.11412 (1.607)(1.337)2R=0.1517,2RSS=2ie=769899.2计算F统计量 F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的显著性程度下，第1和第2自在度均为31-7/2-2=10的F分布临界值为 F0.05(10,10)=2.97由于 F=4.72 F0.05(10,10)=2.97因此，否认两组子样方差一样的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。Park Park检验检验 显然，lnXi前的参数表现为统计上显著的，阐明原数据存在异方差性。对直接使用 OLS 法估计的残差项的平方2ie进行如下一般形式的回归

25、：iiivXelnln2得：iiivXeln81.299.17ln2 t （-2.89）(4.48)2R=0.40933 3、异方差模型的估计、异方差模型的估计设异方差222iiX，以iiXXf)(去除原模型两边，得新模型*1*0*XY其中iXYY/*，iXX/1*，iX/*运用 OLS 法得 086.05.708*XY (-10.21)(20.63)2R=0.7825则原模型估计为：XY086.05.708 (-10.21)(20.63)2R=0.7825与与OLS估计结果相比较，拟合效果更差估计结果相比较，拟合效果更差。为什么？关于异方差方式的假定为什么？关于异方差方式的假定与与OLS估计

26、结果相比较，拟合效果更好估计结果相比较，拟合效果更好。如果用估计的ei2作为矩阵 W 的主对角线元素，即相当于用|/1ie为权重进行加权最小二乘估计（WLS），则有XY0857.006.686 (-29.14)(43.59)2R=0.9925五、案例五、案例22居民消费二元模型居民消费二元模型1、OLS估计结果估计结果Dependent Variable:CONS Method:Least Squares Date:03/01/03 Time:00:46 Sample:1981 1996 Included observations:16 Variable Coefficient Std.Err

27、or t-Statistic Prob.C 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 GDP 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 CONS1 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 R-squared 0.999773 Mean dependent var 13618.94 Adjusted R-squared 0.999739 S.D.dependent var 11360.47 S.E.of regression 183.6831 Akaike info criterion 13.43166 Sum sq

28、uared resid 438613.2 Schwarz criterion 13.57652 Log likelihood-104.4533 F-statistic 28682.51 Durbin-Watson stat 1.450101 Prob(F-statistic)0.000000 2 2、WLSWLS估计结果估计结果Dependent Variable:CONS Method:Least Squares Date:03/01/03 Tim e:00:47 Sam ple:1981 1996 Included observations:16 W eighting series:E V

29、ariable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.C 518.2881 20.52620 25.25008 0.0000 GDP 0.483814 0.003607 134.1348 0.0000 CONS1 0.193525 0.008464 22.86477 0.0000 W eighted Statistics R-squared 0.999999 Mean dependent var 19943.81 Adjusted R-squared 0.999999 S.D.dependent var 40730.31 S.E.of regressio

30、n 47.58574 Akaike info criterion 10.73030 Sum squared resid 29437.23 Schwarz criterion 10.87516 Log likelihood-82.84243 F-statistic 980736.2 Durbin-W atson stat 1.810471 Prob(F-statistic)0.000000 3 3、比较、比较各项统计检验目的全面改善各项统计检验目的全面改善R2:0.9997390.999999F:28682980736e2:43861329437 t:6.4 22.0 4.225.2 134.1 22.9D.W.:1.451.81