六年级奥数第13讲三角形面积计算(教师版)

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1、六年级奥数第 13 讲三角形面积计算教师版 教学目标教学目标掌握三角形的面积计算公式；学会使用拆补法求解三角形面积； 通过题目中给定比例关系求解面积比。知识梳理计算平面图形的面积时 , 有些问题乍一看 , 在已知条件与所求问题之间找不 到任何联系 ,会使你感到无从下手。这时 ,如果我们能认真观察图形 ,分析、研究 已知条件 ,并加以深化 ,再运用我们已有的基本几何知识 ,适当添加辅助线 ,搭一 座连通已知条件与所求问题的小“桥” ,就会使你顺利达到目的。有些平面图形 的面积计算必须借助于图形本身的特征 , 添加一些辅助线 ,运用平移旋转、剪拼 组合等方法 , 对图形进行恰当合理的变形 , 再经

2、过分析推导 , 方能寻求出解题的 途径。典例分析例 1、已知图 121 中,三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米,AEED,BD= 影部分的面积。【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形 AEF 的面积无法直接23BC,求阴计算。由于 AE=ED,连接 DF,可知 SAEF=SEDF等底等高,采用移A补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。EF2因为 BD= BC,所以 S 2S 。又因为 AEED,所以 S S 3 BDF DCF ABF BDF2S 。因此,S 5S 。由于 S 8 平方厘米,所以 S DCF ABC DCF ABC DCFBD121C851.6平方厘米,则

3、阴影部分的面积为：1.623.2平方厘米。1 / 9例 2、在ABC 中图 12-2,BD=DE=EC,CF：AC=1：3。若ADH 的面积比HEF 的面积多 24 平方厘米,求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？【解析】ADH 的面积比HEF 的面积多 24 平方厘米,则三角形 ADE 的面积比三角形 FDE 的面积多 24 平方厘米,又因三角形 FDE 和三角形 FEC 的面积相等,也就是说三角形 AEC 比三角形 FEC 的面积多 24 平方厘米,又因多出的 24 平方厘米,是三角形 AEC 的面积的 23, 所以三角形 AEC 的面积是 242/3=36 平方厘米, 则三角形 ABC

4、 的面积是 361/3=108平方厘米, 答：三角形 ABC 的面积是 108 平方厘米。12-2例 3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形,如图 123 所示,已知两个三 角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？【解析】已知 SBOC是DOC的 2 倍,且高相等,可知：BO2DO；AD从 SABD与 SACD相等等底等高可知：SABO等于 6,而ABOO6与AOD 的高相等,底是AOD 的 2 倍。所以AOD 的面积为：623。答： 的面积是 3。AODB1212-3C例 4、四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F 两点三等分,且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米。

5、求四边形 ABCD 的面积如图 124 所示。【解析】由于 E、F 三等分 BD,所以三角形 ABE、AEF、AFD 是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理,三角形 BEC、CEF、CFDD的面积也相等。由此可知,三角形 ABD 的面积是三角形 AEF 面积 的 3 倍,三角形 BCD 的面积是三角形 CEF 面积的 3 倍,从而得出AF四边形 ABCD 的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。15345平方厘米BE124C答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。2 / 91 1 1 3 12 2 2 例 5、如图 125 所示,BO2DO,阴影部分的面积是 4 平方厘米。那么,梯

6、形 ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】因为 BO2DO,取 BO 中点 E,连接 AE。根据三角形等AD底等高面积相等的性质,可知 SDBCSCDA；SCOBSDOA4,类推O可得每个三角形的面积。所以：SCDO422平方厘米ESDAB4312 平方厘米B125CS梯形 ABCD12+4+218平方厘米答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。例 6、如图 1817 所示,长方形 ADEF 的面积是 16,三角形 ADB 的面积是 3,三角 形 ACF 的面积是 4,求三角形 ABC 的面积。【解析】连接 AE。仔细观察添加辅助线 AE 后,使问题可有如下解法。由图上看出：三角形 A

7、DE 的面积等于长方形面积的一半1628。用 8 减去 3 得到三角形ABE 的面积为 5。同理,用 8 减去 4 得到三角形 AEC的面积也为 4。因此可知三角形 AEC 与三角形 ACF等底等高,C 为 EF 的中点,而三角形 ABE 与三角形126BEC 等底,高是三角形 BEC 的 2 倍,三角形 BEC 的面积为 522.5,所以,三角形 ABC 的面积为 16342.56.5。例 7、如图,某公园的外轮廓是四边形 ABCD,被对角线 AC、BD 分成四个部分 AOB 的面积是 2 平方千米,COD 的面积是 3 平方千米,公园陆地面积为 6.92 平方千 米,那么人工湖的面积是多少

8、平方千米？【解析】由BOC 与DOC 等高 h ,BOA 与DOA 等高 h ,1 2利用面积公式：12BO h =2 , DO h =32,得 BO：DO=2：3,即 DO = BO ,又 BO h =12 2得1 1 3 2 3 DO h = BO h = BO h =2 2 2 3 2。则湖的面积为：31 +2 +3 + -6.92 =0.582平方千米3 / 9实战演练课堂狙击1、如图所示,AEED,BC=3BD,SABC30 平方厘米。求阴影部分的面积。【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形 AEF 的面积无法直接 计算。A由于 AE=ED,连接 DF,可知 SAEF=SEDF等底等

9、高,采用移补的方FE法,将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。305212 平方厘米12 、如图所示 ,DEEBDAE,BD 2DC,S 5 平方厘米。求三角形 2BDCABC 的面积。 【解析】A2 153 22 平方厘米 3 2EFBDC3、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少？ 【解析】422CA4OD824BOBD8C4、如图所示,已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分,且阴影部分面积为 15A平方厘米。求四边形 ABCD 的面积。AD【解析】E15460 平方厘米FGBC5、如图所示, AD

10、=6,CG=4；求阴影部分的面积。ABCD 为正方形A6 DE4 / 9G4BC【解析】6626426 平方厘米 6243 平方厘米6+36227 平方厘米6、如图所示,阴影部分面积是 4 平方厘米,OC2AO。求梯形面积。【解析】428 平方厘米AD8216 平方厘米 16+8+8+436 平方厘米OB C7、如图 1818 所示,长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米,三角形 ADF 的面积为 5平方厘米,三角形 ABE 的面积为 7 平方厘米,求三角形 AEF 的面积。 【解析】2027313 1.5220751.56.5课后反击AB EDFC11、如图所示,AE=ED,DC BD,

11、S 21 平方厘米。求阴影部分的面积。3 ABC【解析】阴影部分为两个三角形,但三角形 AEF 的面积无法直接计算。由于 AE=ED,连接 DF,可知 SAEF=SEDF等底等高,采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。21739 平方厘米AEFBDC2、已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米,线段 OB 的长度为 OD 的5 / 93 倍。求梯形 ABCD 的面积。 【解析】15345AD15+5+15+4580OB C3、已知 SAOB6 平方厘米。OC3AO,求梯形的面积如图所示。【解析】63+124AOD63224+6+232B C4、如图 1819 所示,

12、长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米,SABE4 平方厘米,SAFD6 平方厘米,求三角形 AEF 的面积。【解析】20210106 2104 210 5ABEDFC2 320642 75 5965、底边长为 6 厘米,高为 9 厘米的等腰三角形 20 个,迭44放如下图：每两个等腰三角形有等距离的间隔,底边迭合在一起的长度是 44 厘米回答下列 问题：1两个三角形的间隔距离；6 / 92 2 2( )2 . 2三个三角形重迭两次部分的面积之和；3只有两个三角形重迭一次部分的面积之和；4迭到一起的总面积【解析】1从图中可看出,有20-1=19 个间隔,每个间隔距离是44-619=2厘 米

13、2观察三个三角形的迭合画横行的两个三角形重叠画井线是三个三角形重2 2 2叠部分,61它是与原来的三角形一般模样,但底边是原来三角形底的 2 厘米,高也是原31 1来三角形高的 3 厘米,所以面积为 3 2 =3 cm 每三个连着的三角3 2形重叠产生这样的一个小三角形,每增加一个大三角形,就多产生个一个三次重 叠的三角形,而且与前一个不重叠因此这样的小三角形共有 20-2=18个,面积之和是 318=54cm2。3每两个连着的三角形重叠分,也是原来的三角形一般模样的三角形,底边是原来三角形的 ,高是原高的 ,因此面积是3 31 2 2 6 9 =12 cm 2 3 3 每增加一个大三角形就产

14、生一个小三角形共产生 20-1=19个,面积1912=228cm2所求面积 228-542=120cm2420 个三角形面积之和,减去重叠分,其中 120cm2重叠次,54cm2重叠次126 9 20 -120 -54 2 =312 (cm2)7 / 95ABEDFC直击赛场1、图中 ABCD 是梯形,AECD 是平行四边形,则阴影部分的面积是 平方 厘米图中单位：厘米。【解析】阴影部分的面积等于以 12 为底以 10 为高的平行四边形面积的一半, 即 12102=60平方厘米2、如图,已知长方形 ABCD 的面积是 24 平方厘米,三角形 ABE 的面积是 5 平方厘 米,三角形 AFD 的

15、面积是 6 平方厘米,那么三角形 AEF 的面积是 平方厘 米。【解析】 连结长方形对角线 AC,可知 SABC=SACD=12平方厘米 因为 SAFD=6平方厘米,所以 SACF=6平方厘米,由此可知 F是 DC 边的中点因为 SABE=5 平方厘米,所以 SAEC=7 平方厘米,由此可知 BEEC=5712A D因此 BE = EC ,又 7SDEC=SFEC.10SFEC=710SABE=7105 =3.5平方厘米.BECS=24 -5 -3.5 -6 =9.5 AEF名师点拨平方厘米计算平面图形的面积时 , 有些问题乍一看 , 在已知条件与所求问题之间找不 到任何联系 ,会使你感到无从下手。这时 ,如果我们能认真观察图形 ,分析、研究 已知条件 ,并加以深化 ,再运用我们已有的基本几何知识 ,适当添加辅助线 ,搭一 座连通已知条件与所求问题的小“桥” ,就会使你顺利达到目的。有些平面图形 的面积计算必须借助于图形本身的特征 , 添加一些辅助线 ,运用平移旋转、剪拼 组合等方法 , 对图形进行恰当合理的变形 , 再经过分析推导 , 方能寻求出解题的 途径。8 / 9学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是9 / 9