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1、第10讲 代数、三角、几何综合问题代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与 几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形 结合思想、转化与化归思想进行综合来解题.典型例题精析例1 . （2005,徐州市）有一根直尺的短边长 2cm,长边长10cm,还有一块锐角为 45 的直角三角形纸板，它的斜边长12cm,如图1，将直尺的矩边 DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿 AB方向平移如图2，设平移的长度为 xcm （?0x 10）,直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2.（1 ）当
2、x=0 时（如图），S=;当 x=10 时，S=;（2）当0x 4时（如图2）,求S关于x的函数关系式；（3） 当4x2=2x+2 ,2/ S=2x+2.(3) 当4x6时，(如图5)GD=AD=x , EF=EB=12- (x+2) =10-x ,1 -212则 S ADG= x , Sx BEF=( 10-x ),2 21而 Sx AB= X 12X 6=36,2 S=36- 1 x2- 1 (10-x ) 2=-x 2+10x-14 ,2 2S=-x 2+10x-14=- (x-5 ) 2+11,当 x=5 (456)时，S 最大值 =11.当6 x10时(如图6),BD=BG=12-x
3、 , BE=EF=10-x,1S= ( 12-x+10-x ) X 2=22-2x ,2S 随x的增大而减小，所以 S 10 .由、可得，当 4x x+4m2+8=0的两个实数根.由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2整理，得：4mf-12m+29=0. = (-12 ) 2-4 X 4X 29=-3200 ,此方程无实数根. BC=3k(舍).当 BC=4k 时，BD=3k3k+6k=4m+2, 18k2=4m2+8，整理，得： m -8m+16=0，解得： m1=m2=4，原方程可化为x2-18x+72=0 ,解得：xi=6, x2=12, BD=6, BF=12.中考
4、样题训练1 . ( 2003，镇江)已知抛物线 y=-x2+ (k+1) x+3,当x1 时， y 随 x 的增大而减小.( 1)求 k 的值及抛物线的解析式；(2) 设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，抛物线的顶点为 P,试求出A、?B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；(3) 求经过P、A、B三点的圆的圆心 0的坐标；(4) 设点G (0, m)是y轴上的动点. 当点G运动到何处时，直线 BG是O O的切线？并求出此时直线BG的解析式. 若直线BG与O 0相交，且另一个交点为 D,当m满足什么条件时，点 D在x轴的下 方？2 .( 2003,山西)如图，已知圆心 A
5、(0, 3),0 A与x轴相切，O B的圆心在x轴 的正半轴上，且O B与O A外切于点P,两圆的公切线 MP交y轴于点M,交x轴于点N.(1 )若sin / OAB=4，求直线MP的解析式及经过 M N、B三点的抛物线的解析式；5(2) 若0 A的位置大小不变，O B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使O B与O A始 终外切，过 M作O B的切线MC切点为C,在此变化过程中探究： 四边形OMC是什么四边形，对你的结论加以证明； 经过M N、B三点的抛物线内是否存在以 BN为腰的等腰三角形？若存在，？表示出来；若不存在，说明理由.3 . (2005,茂名市实验区)如图，已知直线L与O O相交于点
6、 A,直径AB=6,点P在L?上移动，连结 OP交O O于点C,连结BC并延长BC交直线L于点D.(1 )若AP=4,求线段PC的长；(2)若厶卩人0与厶BAD相似，求/ APO的度数和四边形 OADC勺面积.(？答案要求保 留根号)考前热身训练1 .如图，已知 A为/ POQ的边0Q上一点，以A为顶点的/ MAN勺两边分别交射线 0P 于M N两点，且/ MANNPOQa (a为锐角)，当/ MAN为以点 A为旋转中心，AM边从 与A0,重合的位置开始，按逆时针方向旋转(/MAN保持不变)时，M N两点在射线 0P?上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x ON=y( yx 0),A AO
7、M的面积为S,若cosa、OA?是方程2z2-5z+2=0的两个根.(1) 当/ MAN旋转30(即/ OAM=30 )时，求点 N移动的距离；(2) 求证：AN2=ON- MN(3) 求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围；(4) 试写出S随x变化的函数关系式，并确定 S的取值范围.2 .如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为(-1 , 0),点B的坐标为(3, 0), ?且PA AB=1: 2，以AB为直径画O M交y轴的正半轴于点 C.(1) 求证：PC是O M的切线；(2) 在x轴上是否存在这样的点 Q使得直线QC与过A、C B?三点的抛物线只有一 个交点？若存在，求
8、点 Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3) 画0汕 使得圆心N在x轴的负半轴上，O N与O M外切，且与直线 PC相切于D,?问将过A C B三点的抛物线平移后，能否同时经过P、D A三点？为什么？答案：中考样题看台1. ( 1) k=1，抛物线解析式 y=-x 2+2x+3(2) A( -1 , 0), B (3, 0), C (1, 4) (3 )TO O过 A、B 两点， O在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上， 设抛物线的对称轴交 x轴于M,交O O于N,则有 MP MN=MA MB 4MN=2K 2,5 MN=1 ?PN=5 O P= PM23 3 O点在 x 轴上方， O M
9、- , O ( 1 ,-).22(4) 过B点作O O的切线交y轴于点G直线BO交y轴于点E,3 9可求出直线BO?的解析式为，y=- -x+-,4 4- E (0, ), BG是O O的切线，BOL EG4 BO=O凶 OG OG=4 ? G( 0, -4 ),求出直线BG的解析式为y= 4 x-4 .3-4mZ 2,Z 4=90, / 2=Z APO OB=OC / 2=Z 3/ 仁/ 2+Z 3, / 2=2/2=2/ APO / 4=90, / 1 + Z APO=90 3 / APO=90，/ APO=30 .在 Rt BAD中，/ 2=Z APO=30 . AD=6sin30 =6
10、X=2.3 .过点O作 OE! BC于点E/ 2=30 , BO=3 Oe , BE=3X cos30 =2 ,2 2 BC=2BE=3. 3 , S 四边形 oadc=Sbad -S boc = AB AD21 1-1L 3-9 L 15 L= BC- OEd X 6 X 2 . 3 - X 3 .、3 X =6 . 3 - 、3 =32 22244考前热身训练11.( 1)易知 OA=2 cos a =一，/ POQ2 MAN=60 ,2初始状态时， AON为等边三角形，？ ON=OA=2当AM旋转到AM时，点 N移动到N,/ OAM =30,/ POQM M AN? =60, / M N
11、 A=30,在 Rt OAN中，ON =2AO=4 NN =ON -ON=2,.点N移动的距离为 2.(2) 易知 OAWA AMN AN 2=ON- MN(3) T MN=y-x,. AN2=y2-xy ,过A点作AD丄OP垂足为D,可得OD=1, AD=/3 , DN=ON-OD=y-1在 Rt AND中, AN2=AD 2+DN2=y2-2y+4 ,224 y2-xy= y2-2y+4 ，即 y= 2 x y0, 2-x0 ,即 x 0, x的取值范围是：0w x0,23 _ 0 W S二 2 .即 0 W S、322.( 1)易知O M半径为由相交弦定理推论得2，设 PA=x,贝U x
12、: 4=1: 2 x=2 ,OC=OA OB=1X 3, 0C=32222 L 2, PC =PO +OC =3 + (、3 )=12 ,2 2 2 2PM =4 =16, MC =2 =4 , PM2=PC2+MC2, / PCM=90 .(2)易知过A C、B三点的抛物线的解析式为y=- (x+1)( x-3 ) , ?3假设满足条件的 Q点存在，坐标为(m, 0),直线QC的解析式为y=-0x+j3,m直线QC与抛物线只有一个公共点,方程-二？ (x+1)( x-3 )=-兰x+ . 3有相等的实根,3m32 ( 2+ ) =0, /m(3)连结 ND/ MC3 m=_ , 即满足条件的Q点存在,2DN,作 DH! PN,D N PNM C PM垂足为H,设O N的半径为丄2 r243?坐标为(-一，0);2r，则 T ND! PC,2- r=,3( 2 )3/ dN=nh np,2=NH-( 2- 2 ),31 NHd ,3 DH=、“ NH LHP = 仝 D(-2,込).3 3t抛物线y=-3(x+1)( x-3 )平移，使其经过 P、A两点的抛物线的解析式为x+?1)3又经验证 D 是该抛物线上的点，D A三点.将过AC、B三点的抛物线平移后能同时经过
专题十代数三角几何综合问题
