高中数学2.3.2平面向量的坐标运算第一课时互动课堂学案苏教版必修4

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1、高中数学2.3.2平面向量的坐标运算第一课时互动课堂学案苏教版必修4高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算第一课时互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.向量的直角坐标 在直角坐标系xOy内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个单位基底e1,e2.在坐标平面xOy内，任作一向量a（用有向线段AB表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（a1,a2），使得a=a1e1+a2e2.(a1,a2)就是向量a在基底e1,e2下的坐标，即a=(a1,a2).2.如何求向量a=的坐标分别过向量的始点和终点作x轴、y轴的垂线，设垂足分别为A1、B

2、1、A2、B2.坐标分量a1为向量在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量在y轴上的坐标.显然0=（0，0），e1=(1,0),e2=(0,1).设向量a=(a1,a2),a的方向相对于x轴的转角为,由三角函数的定义可知a1=|a|cos,a2=|a|sin.3.向量的直角坐标的意义在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定，设点A的坐标为（x,y）,容易看出=xe1+ye2=(x,y)即点A的位置向量的坐标（x,y），也就是点A的坐标；反之点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标.4.向量的直角坐标运算(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2

3、+b2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.（2）若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2)，即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.（3）若A（x1,y1）,B(x2,y2)，则=（x2-x1,y2-y1），即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.（4）若a=(a1,a2),R，则a=(a1,a2)即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.对以上运算规则证明如下，设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=（a1e1+a2e2）+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2即

4、a+b=(a1+b1,a2+b2)用同样的方法可以证明：a-b=(a1-b1,a2-b2)a=(a1,a2)=(a1,a2)已知：A（x1,y1）,B(x2,y2)则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).5.中点公式设线段AB两端点的坐标分别为A（x1,y1），B（x2,y2），则其中点M（x,y）的坐标计算公式为x=,y=.推导如下：设点M（x,y）是线段AB的中点，则=（+）.上式换用向量的坐标得（x,y）=(x1,y1)+(x2,y2)，即x=，y=.活学巧用【例1】已知作用在原点的三个力F1=（1，2），F2=（-2，3），F3=（-1，-4），则它们的合力

5、的坐标为_.解析：F=F2+F2+F3=(1,2)+(-2,3)+(-1,-4)=(-2,1).答案：(-2,1)【例2】若e1,e2为单位基底，设a=(x2+x+1)e1-(x2-x+1)e2，（其中xR），则向量a位于（ ）A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限解析：a=(x2+x+1,-x2+x-1)x2+x+1=x2+x+=(x+)2+0-x2+x-1=-(x2-x)-1=-(x2-x+)-=-(x-)2-0,a位于第四象限.答案：D【例3】在直角坐标系xOy中，向量a,b,c的方向和长度如右图所示，分别求它们的坐标.解析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2

6、)，c=(c1,c2),则a1=|a|cos45=2=,a2=|a|sin45=2=，b1=|b|cos120=3(-)=,b2=|b|sin120=3=.c1=|c|cos(-30)=4=,c2=|c|sin(-30)=4(-)=-2.a=(,),b=(-,),c=(,-2).【例4】 设向量a,b的坐标分别是（-1，2），（3，-5），求a+b,a-b，3a,2a+3b的坐标.解析：a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3).a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7).3a=3(-1,2)=(-3,6).2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).【例5】已知点A（-1,2）,B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.解析：设C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)由题意可得=（x1+1,y1-2）,=(3,6)，=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).=, =-.(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)也就是(x1+1,y1-2)=(1,2)，(-1-x2,2-y2)=(1,2).和和C、D 坐标分别为（0，4）和（-2,0）.因此，=（-2，-4）.7