[工学]72桁架内力的计算

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1、北京理工大学理学院力学系 韩斌7.2 7.2 桁桁架内架内力的计算力的计算7.2.1 桁桁架的特点及内力架的特点及内力 1.1.桁桁架的特点架的特点（1 1）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，构成平面构成平面桁桁架或空间架或空间桁桁架。架。（2 2）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均作用在节点处。作用在节点处。（3 3）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）ABCDEFPPP2.桁桁架的内力架的内力ABAFOOFF 研究研究桁桁架结构中的架结构中的任意任意二力杆，如二力杆，如AB，有，有:假想在假

2、想在O处将处将AB切断，切断，则则BO对对AO的作用为一分布力系，的作用为一分布力系，该力系可简化为一个力该力系可简化为一个力OF同理，同理，OB段受段受AO的作用力为的作用力为OFOOFOFBFBOAFAOBF根据根据AO或或OB的平衡方程有：的平衡方程有：BAOOFFFFBAFF ABCDEFPPP通常约定通常约定：当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，当求得二力杆的内力为负时，即为受压。当求得二力杆的内力为负时，即为受压。OFOFBFBOAFAO 或或 称为称为。可用代数值。可用代数值FO表示。表示。OFOFABABFABFAB杆内力杆内力FAB为正为正

3、CDCDFCDFCD杆内力杆内力FCD为负为负3.桁桁架内力分析步骤架内力分析步骤（1）判断）判断桁桁架是否为静定结构架是否为静定结构(2)先从先从桁桁架中找出架中找出和和零杆零杆内力为零的二力杆内力为零的二力杆等轴力杆等轴力杆内力相同的二力杆内力相同的二力杆（3）利用节点法或截面法求解杆的内力）利用节点法或截面法求解杆的内力作为一个整体的桁作为一个整体的桁架中，杆数为架中，杆数为S，节点数为，节点数为n n，静定静定桁桁架：架：S=2n-3静不定静不定(超静定超静定)桁桁架：架：S 2n-3桁桁架若可以作为一个整体，外界的支承条架若可以作为一个整体，外界的支承条件是否为静定？件是否为静定？桁

4、桁架作为一个整体本身是否为静定架作为一个整体本身是否为静定桁桁架？架？可判断出零杆和等轴力杆的情况：可判断出零杆和等轴力杆的情况：无主动力的三杆节无主动力的三杆节点，其中二杆共线点，其中二杆共线无主动力的不无主动力的不共线二杆节点共线二杆节点F不共线的二杆节点，不共线的二杆节点，主动力沿其中一杆主动力沿其中一杆无主动力，共线的二杆节无主动力，共线的二杆节点或两两共线的四杆节点点或两两共线的四杆节点还可利用对称性：还可利用对称性：F求桁架的内力通常有两种方法：求桁架的内力通常有两种方法：和和。注意：注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维持结构几何稳定性的作用。

5、故虽列平衡方程时持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时零杆不起作用，但不可将零杆去掉。零杆不起作用，但不可将零杆去掉。7.2.2 节点法节点法因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。以节点以节点D为例：为例：当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的方向由节点指向外，沿杆的方向作用。方向由节点指向外，沿杆的方向作用。P1F2F3FD从从桁桁架中取出销钉架中取出销钉D为分离体，画出受力图。为分离体，画出受力图。ABCDEFPPP每个节点可

6、建立每个节点可建立2个平衡方程，对有个平衡方程，对有n个节点、个节点、S根杆根杆的静定桁架，共有的静定桁架，共有2n个独立方程，此外，对桁架整体，个独立方程，此外，对桁架整体，共有共有S+3个未知力个未知力(S个未知内力、个未知内力、3个对桁架整体的未个对桁架整体的未知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方程一步步求得。程一步步求得。P1F2F3FD（1）先列）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。）依次对各节点取分离体列平衡方程。（3）首先取）首先取，再依次取，再依

7、次取 。（4）各杆内力统一设为拉力（即各）各杆内力统一设为拉力（即各 节点处力矢从节点向外）。节点处力矢从节点向外）。例例 题题 77 力系的平衡力系的平衡 例题例题判断结构中的零杆和等轴力杆。判断结构中的零杆和等轴力杆。FFFABCO例例 题题 77 力系的平衡力系的平衡 例题例题解：解：此此桁桁架整体为静定结构（简支），架整体为静定结构（简支），桁桁架本身架本身S=21，n=12,故故 2n-3=24-3=21=S，为静定，为静定桁桁架。架。对整体列平衡方程：对整体列平衡方程：0ixF0AxF0OMByAyFFFFFABCOAxFAyFByF1112201314151617181921FF

8、FABCO例例 题题 77 力系的平衡力系的平衡 例题例题AyFByF000000 判断零杆和等轴力杆：判断零杆和等轴力杆：=，1112201314151617181921零杆：零杆：，13，14，15等轴力杆：等轴力杆：16=17=18=19=20=21 ，=12例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABCDEG桁架结构受力如图，杆桁架结构受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求各求各杆的内力。杆的内力。例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题解：解：PABCDEG结构整体对外约束静定；结构整体对外约束静定；桁架桁架 S=9,n=6,2n-3=1

9、2-3=9=S,为静定桁架；为静定桁架；1.对整体取分离体对整体取分离体0ixFPFAx()PABAxFAyFByF0232PaFaBy0iAMPFBy43()0iyFPFFByAy43()ED杆为零杆，杆为零杆，AE与与EC为等轴力杆。为等轴力杆。例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABAxFAyFByFCDEG2.取节点取节点BByFBDBFGBF0iyF060sinByGBFF24332PPFGB0ixF060cosDBGBFF4)2(21PPFDBPFBy43()已求得：已求得：例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABAxFAyFByFCDEG3.取节点取节

10、点GG0iF030cos30cosPFGDPFGDGDFGCFPGBF 2PFGB已求得：已求得：0iF060cos60cosGDGBGCFPFF2222PPPPFGC例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题PFPFAyAx43,PABAxFAyFByFCDEG4.取节点取节点AAAxFAyFAEFADF0iyF060sinAyAEFF23243PPFAE2PFFAEEC0ixF060cosAxAEADFFFPPPFAD43212例例 题题 87 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABAxFAyFByFCDEG5.取节点取节点CC2PFGC已求得：已求得：2PFECECFGCFCDF0i

11、yF030cos30cosGCECCDFFFPPPFCD232232236.取节点取节点D，可列平衡方程作为验证。，可列平衡方程作为验证。例例 题题 97 力系的平衡力系的平衡 例题例题图示连续梁，载荷和尺图示连续梁，载荷和尺寸如图，各杆的自重不寸如图，各杆的自重不计，计，A端为固定端，端为固定端，B、C、D、G、F均为光滑均为光滑铰链。求固定端铰链。求固定端A的约的约束力和三根支撑杆束力和三根支撑杆GD、FG、BG的内力。的内力。ABCDEHG2m2m2m2m3mF例例 题题 97 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABCDEHG2m2m2m2m3mF解：解：此结构为混合结构。此结构为混合结构。

12、FDGF未知约束力：未知约束力：A端端 ，AxFAyFAMCyFCxFC处处 ，未知内力：未知内力：，。DGFGBFGHF可判断为静定结构。可判断为静定结构。独立方程数：独立方程数：3+3+2=8CxFCyF1.取取CE杆为研究对象杆为研究对象DEC0iCM04sin2FFDGFFFDG310sin20ixF0cos DGCxFFFFFCx38cot20iyF0sin DGCyFFFFFFFCysinsin2例例 题题 97 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABCDEHG2m2m2m2m3mF2.取节点取节点G为研究对象为研究对象GGBFGHFDGF0ixF0cosGHDGFFFFFGH3831

13、0540iyF0sinDGGBFFFFFGB231053FFDG310已求得已求得例例 题题 97 力系的平衡力系的平衡 例题例题FGHFBCDEHG2m2m2m2m3mAAyFAxFAM3.取整体为研究对象取整体为研究对象0ixF0GHAxFFFFGH38已求得已求得FFFGHAx380iyF0 FFAyFFAy0iAM038GHAFFM03388FFMA7.2.3 截面法截面法适用于求结构中某一杆的内力。适用于求结构中某一杆的内力。用一假想截面（可为平面或曲面）将用一假想截面（可为平面或曲面）将桁架桁架的一的一部分杆切开，使部分杆切开，使桁架整体分为两部分；取其中桁架整体分为两部分；取其中

14、任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的杆中内力以未知力形式出现在方程中。杆中内力以未知力形式出现在方程中。（1）先列）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）根据所求杆的内力，适当选择截面将）根据所求杆的内力，适当选择截面将桁架整体桁架整体切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的杆的内力为未知力。杆的内力为未知力。（3）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。（1）对受平面力系作用的平面）对受平面力系作用的平面桁架桁架仅有仅有3个

15、独立方程，故选择切开的截个独立方程，故选择切开的截面时，应注意切断的杆一般不能多于面时，应注意切断的杆一般不能多于3根。根。（2）若切断的杆多于）若切断的杆多于3根，则必须满足：根，则必须满足：a.除一个待求未知力外，其余未知力汇交于一点。除一个待求未知力外，其余未知力汇交于一点。b.除待求杆外，其余被切断的杆都平行。除待求杆外，其余被切断的杆都平行。（3）截面切开时不应切在节点上。）截面切开时不应切在节点上。（4）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩形式的平衡方程。形式的平衡方程。例例 题题 107 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABCDEG桁架结

16、构受力如图，杆桁架结构受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求求CD杆的内力。杆的内力。例例 题题 107 力系的平衡力系的平衡 例题例题PABCDEG解：解：1.判断零杆判断零杆ED杆为零杆。杆为零杆。2.以以m-m截面切开，取右半部分：截面切开，取右半部分：mmPBDGADFGCFCDF 0iBM023aPaFCDPFCD23例例 题题 117 力系的平衡力系的平衡 例题例题解解:(1)求求支座约束支座约束力力以整体为研究对象：以整体为研究对象：0iAM021321PPFByByF3221PP 8kNABCDEFG1P2PAyFAxF图示桁架各杆长均为图示桁架各杆

17、长均为1m，P1=10kN,P2=7kN,求杆求杆EG的内力。的内力。AxF00ixFAyFByFPP219kN0iyFByFBDFG2PByF(2)用截面用截面m-m切开桁架，取右切开桁架，取右半部分为分离体：半部分为分离体：对平面一般力系，有三对平面一般力系，有三个独立的平衡方程。个独立的平衡方程。当切断杆的数目不超过三根当切断杆的数目不超过三根时，可将切断杆的内力求出。时，可将切断杆的内力求出。3F82.9kN(受拉受拉)mmE1F2F3FABCDEFG1P2P123例例 题题 117 力系的平衡力系的平衡 例题例题0235.05.132FPFBy0iDMAyFAxFByF即杆即杆EG的

18、内力为的内力为9.82kN(拉力拉力)。例例 题题 117 力系的平衡力系的平衡 例题例题0iyF1F23122PFBy4.10kN(受压受压)030cos22FPFBy30cos2PFBy2F15.1kN(受拉受拉)E1F2F3FBDFG2PByF0123221PFFBy0iEM例例 题题 127 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P2P3P4P5P4a3a 5a桁架结构受力桁架结构受力如图，试求其如图，试求其中中杆的内力。杆的内力。例例 题题 127 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P2P3P4P5P4a3a 5a解：解：1.受力分析：受力分析：此此桁架桁架S=,n=,27152n-3=21

19、5-3=27=S为静定为静定桁架。桁架。2.用用m-m截面将截面将桁桁架切开，取其上半架切开，取其上半部分为分离体：部分为分离体：mm例例 题题 127 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P2P3P4P5P4a3a 5amm4P1P2P3P5P4a 3a 5a3.对分离体列平衡方程对分离体列平衡方程由于除由于除杆外，其杆外，其余切断的杆均为铅余切断的杆均为铅垂方向，故可列：垂方向，故可列：0ixF0cos121FPP)(455421211PPPPF（拉力）（拉力）1F例例 题题 137 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P3P2P12345678 ddddhh/2图示平面图示平面桁架，已知：桁架，

20、已知：P1=P,P2=2P,P3=3P,求桁求桁架中的杆架中的杆24，杆，杆25，杆，杆35的内力。的内力。例例 题题 137 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P3P2P12345678 ddddhh/2解：解：1.受力分析：受力分析：此为静定此为静定桁架，桁架，其中杆其中杆23，杆，杆67为零杆。为零杆。002.求支座约束力求支座约束力xF1yF1yF8001xixFF03243218dPdPdPdFyPFy27801iM0iyF03281PPPFFyyPFy251例例 题题 137 力系的平衡力系的平衡 例题例题1P3P2P12345678 ddddhh/21P12345 dd3.沿沿I-

21、I截面切截面切开，取左半部开，取左半部分为分离体：分为分离体：05iM0223cos124dPdFhFy24F35F25F22221244344223252cos232hdPhddhPdPdhdFPdFy（压力）（压力）例例 题题 137 力系的平衡力系的平衡 例题例题02iM0351hFdFyPhdFhdFy25135（拉力）（拉力）1P12345 dd24F35F25F00iM023cos125dPdFdFy0dhdhPdhhPPF63225222225（拉力）（拉力）例例 题题 147 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABO1O2半径为半径为R 的均质薄壁无的均质薄壁无底圆筒，放置于光滑水

22、底圆筒，放置于光滑水平面上，筒内装有两个平面上，筒内装有两个重重 P，半径为，半径为 r 的均质的均质球，已知球，已知 R/2 r R,不不计摩擦和筒厚，试求系计摩擦和筒厚，试求系统能够平衡的圆筒重量。统能够平衡的圆筒重量。例例 题题 147 力系的平衡力系的平衡 例题例题ABO1O2解：解：1.受力分析受力分析O1O2ABPP1FDF2F1FRF2FWx分别以两球和圆筒为分离体画分别以两球和圆筒为分离体画出受力图。出受力图。圆筒受地面的支持力为沿筒壁圆筒受地面的支持力为沿筒壁周边的分布力，其合力为周边的分布力，其合力为RF例例 题题 147 力系的平衡力系的平衡 例题例题O1O2PP1FDF

23、2F2.以两圆球为对象以两圆球为对象0ixF21FF 01iOM0sin2cos22rFrPcot12PFF 例例 题题 147 力系的平衡力系的平衡 例题例题AB1FRF2FWx3.以圆筒为对象以圆筒为对象和和 组成一力偶，故组成一力偶，故 和和 也必组成一力偶。也必组成一力偶。1F2FWRF0iM0)(sin22xRWrFWrPRPRWWrRPRx22)(2显然，应有显然，应有Rx 0)1(20RrPWx由由而已知而已知 r R，保证了保证了 xR7.37.3 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题1.摩擦摩擦PNFF摩擦力的存在性实例：摩擦力的存在性实例：实际工程问题一般都存在摩擦。但在有

24、些工程问实际工程问题一般都存在摩擦。但在有些工程问题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，可忽略不计摩擦的作用。可忽略不计摩擦的作用。实际接触面并非理实际接触面并非理想光滑，想光滑，必须足够大，必须足够大，才可推动重物滑动。故才可推动重物滑动。故一定有摩擦力一定有摩擦力 存在。存在。FfFfF摩擦的存在既有利也有弊：摩擦的存在既有利也有弊：利利用于传动机械、启动或制动。用于传动机械、启动或制动。弊弊消耗能量，磨损零件，降低精度和机械效率。消耗能量，磨损零件，降低精度和机械效率。摩擦的分类：摩擦的分类：仅有相对运动趋势时产生的仅有相对运动趋势时产生

25、的已有相对运动时产生的已有相对运动时产生的接触表面凸凹不平引起的接触表面凸凹不平引起的物体接触面之间有液体成膜的物体接触面之间有液体成膜的fs-(无量纲无量纲),可由工程手册中查出。可由工程手册中查出。静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势(但并未发生相对滑动但并未发生相对滑动)时，约束作用于物体的切向反时，约束作用于物体的切向反力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小max,ffFF静摩擦力的最大值静摩擦力的最大值 可由实验测得，设可由实验测得，设 为约为约束对物体的法向约束力，则束对物体的法向约束力，则m

26、ax,fFNF2.静摩擦力（静滑动摩擦力）静摩擦力（静滑动摩擦力）库仑定律库仑定律NsffFfFFmax,(7.7)PNFFfF静滑动摩擦因数静滑动摩擦因数 fS 与材料、接触面光滑度、温度、与材料、接触面光滑度、温度、湿度有关，与接触面积大小无关。湿度有关，与接触面积大小无关。（1）来源）来源接触面非光滑接触面非光滑（2）的方向的方向与物体相对接触面的与物体相对接触面的fF物体受到的静摩擦力物体受到的静摩擦力 的特点：的特点：fF（3）的大小的大小fF物体处于物体处于平衡时：平衡时：摩擦力参与平衡，且摩擦力参与平衡，且FS=FS,max=fSFN物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，物体处于平衡时

27、：摩擦力参与平衡，但但NSffFfFFmax,3.静摩擦因数的几何意义静摩擦因数的几何意义摩擦角摩擦角RFNF静平衡时全约束力静平衡时全约束力 的的作用线一定在摩擦角内作用线一定在摩擦角内RF当当时时max,0ffFF f0ftanNfFFmax,NNSFFfSf对应的夹角对应的夹角 称为称为。f当当max,ffFF时时称为全约束力称为全约束力fNRFFF非光滑面约束对物体的约束力包非光滑面约束对物体的约束力包括法向约束力（正压力）及切向括法向约束力（正压力）及切向约束力（静摩擦力），其约束力（静摩擦力），其合力合力摩擦角大小仅由摩擦角大小仅由摩擦因数决定摩擦因数决定PfRFNFmax,fFP

28、fF 利用摩擦角判断受力物体是否平衡利用摩擦角判断受力物体是否平衡自锁现象自锁现象fnF平衡，自锁现象平衡，自锁现象若某接触面上的物体所若某接触面上的物体所受受，则不论此力有多大，则不论此力有多大，。自。自锁现象锁现象不平衡，非自锁现象不平衡，非自锁现象F 若某接触面上的物体所受若某接触面上的物体所受，则不论，则不论此力有多小（只要不等于此力有多小（只要不等于零），零），。fn例如：斜面上的重物例如：斜面上的重物nff非自锁非自锁Pf临界平衡临界平衡n自锁自锁ffPfnP测定测定 的方法的方法f当物体相对于约束表面有相对滑动速度时，摩擦当物体相对于约束表面有相对滑动速度时，摩擦力为动力为动(滑

29、动滑动)摩擦力。摩擦力。4.动滑动摩擦力动滑动摩擦力F=f FN (7.8)sff f 近似是常数，称为动近似是常数，称为动(滑动滑动)摩擦因数，通常摩擦因数，通常PNFfF若主动力若主动力 的作用线向上移，结果如何？的作用线向上移，结果如何？FFPNFfFFPFNFfF5、滚动摩阻力偶、滚动摩阻力偶考虑圆轮置于不光滑的水平路面上，考虑圆轮置于不光滑的水平路面上，设轮子与路面均是刚性的设轮子与路面均是刚性的(不变形不变形)，A处为点接触（处为点接触（）。）。由由FhFMniiA1)(因此，无论因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。值多小，轮子都会滚动。时，轮子会连滚带滑。时，轮子会连滚带滑。N

30、SFfF 当当时，轮子作纯滚动。时，轮子作纯滚动。NSFfF而而：F 需大于某一值时，轮子才会滚动。需大于某一值时，轮子才会滚动。因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 存在，存在，而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为。fFhFCNFPfFA：轮子与地面实际上都会发生：轮子与地面实际上都会发生，形成面接触，形成面接触，因此地面对轮子的约束力为一分布力系。因此地面对轮子的约束力为一分布力系。由平衡条件：由平衡条件：，PFNFFfFhMf由于由于 阻碍轮子的滚动，称为滚阻碍轮子的滚动，称为滚(动摩动摩)阻力偶。阻力偶。fM组成的力偶

31、称为主动力偶，其力偶矩为组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为),(fFFFh将该力系向将该力系向A点简化为法向约束力点简化为法向约束力 和切向约束力和切向约束力 外，还应有一力偶，其力偶矩为外，还应有一力偶，其力偶矩为 。fFfMNFFCPAhFCNFPfFAfM或或hFCNFPfFA 滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力偶的增大而增大。但滚阻力偶不可能无限制的增大。偶的增大而增大。但滚阻力偶不可能无限制的增大。其力偶矩的最大值为：其力偶矩的最大值为：maxfM,NF称为称为。轮子不发生滚动的物理条件：轮子不发生滚动的物理条件：Nmaxff

32、FMM,0 与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程度无关。材料越硬，接触面变形越小，度无关。材料越硬，接触面变形越小，也就越小。也就越小。的量纲为长度，通常的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的很小，只要主动力偶的力偶矩力偶矩Fh大于大于 ，轮子即可滚动。，轮子即可滚动。NF 的几何意义：使法向约束力的几何意义：使法向约束力FN向前进方向平移的最向前进方向平移的最大距离。大距离。hFCNFPfFAfM由轮子的平衡条件：由轮子的平衡条件：FFfFhMf0ixF0iAM物理条件：物理条件：NSfFfF NfFM故轮子平衡时所受的主动力满足：故轮子平衡

33、时所受的主动力满足：及及NSFfF hFFN若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：hfSA点无滑动点无滑动轮子不滚动轮子不滚动故：故：当当 时，轮子静止。时，轮子静止。NFhFNSNFfFFh当当 时，轮子纯滚动。时，轮子纯滚动。NSFfF 当当 时，轮子连滚带滑。时，轮子连滚带滑。若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：hfS则：则：当当 时，轮子静止。时，轮子静止。NSFfF NNSFhFFf当当 时，轮子纯滑动。时，轮子纯滑动。NFhF当当 时，轮子连滚带滑。时，轮子连滚带滑。hFCNFPfFAfM6.考虑

34、摩擦的平衡问题的分析要点考虑摩擦的平衡问题的分析要点（1）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。（2）静摩擦力方向的判断：）静摩擦力方向的判断：a.画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。b.若相对运动趋势可有选择时，先假定一个运动的若相对运动趋势可有选择时，先假定一个运动的方向及摩擦力指向，求解后摩擦力的范围应为：方向及摩擦力指向，求解后摩擦力的范围应为：NSfNSFfFFf根据摩擦力的正负号可判断。根据摩擦力

35、的正负号可判断。c.同一物体在同一物体在，注意判断运，注意判断运动趋势时各接触点的动趋势时各接触点的。（3）静摩擦力的大小：）静摩擦力的大小：物体处于平衡状态时，摩擦力物体处于平衡状态时，摩擦力Ff 大小未知，且大小未知，且NSfFfF物体处于临界平衡状态时物体处于临界平衡状态时 ，摩擦力不独立。，摩擦力不独立。NSffFfFFmax,带摩擦圆轮的滚动问题：带摩擦圆轮的滚动问题：设轮的重量为设轮的重量为W,半径为半径为r，不计重量的，不计重量的AB杆长杆长 l,轮轮与杆及轮与地面的摩擦因数分别为与杆及轮与地面的摩擦因数分别为fSC,fSD ，试求：，试求：保证轮子静止时保证轮子静止时fSC 和

36、和 fSD 应满足的条件应满足的条件？例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题DFCOWAaB(1)对轮子列平衡方程：对轮子列平衡方程：0iOM0rFrFfDfCfDfCFF 解：以轮为对象，解：以轮为对象，轮有向右运动的趋势。轮有向右运动的趋势。例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题故故C、D处的摩擦力方向如图。处的摩擦力方向如图。CDOW/2ABNDFNCFfCFfDFBF 0ixF0cossinfDfCNCFFFNCfCFFcos1sin 0iAM0aFaWaFNCNDWFFNCND例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题fDFCDOW/2ABNDFNCF

37、fCFBF(2)物理条件：物理条件：NCSCfCFfFNDSDfDFfFNCSCNCfCFfFFcos1sincos1sinSCf例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题(3)以杆以杆AB为对象：为对象：FCAaBNCFfCFAxFAyF 0iAM0lFaFNCFalFFNCNCWFalWFFNCNDFalFFFNCfCfDcos1sincos1sin)(WFalfFfFSDNDSDfDCDOW/2ABNDFNCFfCFBFfDF例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题)cos1)(sincos1sinaWFlFlWFalFalfSDfDFCDOW/2ABNDFNCFfCF

38、BFFCAaBNCFfCFAxFAyF例例 题题 157 力系的平衡力系的平衡 例题例题（1）C，D处摩擦因数均满足条件时轮子才能保持静止。处摩擦因数均满足条件时轮子才能保持静止。（2）C处是否打滑（摩擦因数的条件处是否打滑（摩擦因数的条件 ），只），只与与 角有关，与力角有关，与力F、轮子重量、轮子重量W无关。无关。cos1sinSCf（3）D处是否打滑（摩擦因数的条件处是否打滑（摩擦因数的条件 ）)cos1)(sinaWFlFlfSD则与则与 、F、W有关。有关。（4）仅）仅C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚动，而动，而C处连滚带滑。处连滚带

39、滑。（5）若仅）若仅D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆AB纯纯滚动，而滚动，而D处连滚带滑。处连滚带滑。（6）若）若C、D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚带滑向右运动。带滑向右运动。DFCOWAaB例例 题题 167 力系的平衡力系的平衡 例题例题A BC重重W，长，长2l 的细长均的细长均质杆，放于直角槽内，质杆，放于直角槽内，已知杆与槽壁间的摩已知杆与槽壁间的摩擦角为擦角为 m，求平衡时，求平衡时杆与左槽壁的夹角杆与左槽壁的夹角。例例 题题 167 力系的平衡力系的平衡 例题例题解：解：1.受力分析受力分析题中

40、所求的平衡状态，题中所求的平衡状态，并不一定是临界平衡，并不一定是临界平衡，但临界状态是其平衡范但临界状态是其平衡范围的边界。围的边界。分析杆的滑动趋势，分析杆的滑动趋势，min和和max 是两个临界平衡状态。是两个临界平衡状态。A BC例例 题题 167 力系的平衡力系的平衡 例题例题2.当杆处于当杆处于B点下滑，点下滑，A点上滑的临界状态时点上滑的临界状态时min1A BCA 1BCxyWNBFfBFNAFfAF0ixF0sinWFFfBNA0iyF0cos WFFfANB 0iCM0coscossincos1111lFlFlFlFfBNBfANA物理条件要求：物理条件要求：NBfNBSfBfBFFfFFtanmax,NAfNAfAFfFFtan例例 题题 167 力系的平衡力系的平衡 例题例题A 1BCxyWNBFfBFNAFfAF、联立求出联立求出 后代入后代入得：得：fBfANBNAFFFF,f21min3.当杆处于当杆处于A点下滑、点下滑、B点上滑的临界状态时，点上滑的临界状态时，max2A 2BCxyWNBFfBFNAFfAF同理，列出平衡方程同理，列出平衡方程 和物理条和物理条件件 可得：可得：0,0,0iCiyixMFFNBfNBfBNAffAfAFfFFFFFtan,tanmax,f22max故杆平衡的条件为故杆平衡的条件为ff22