专题13 排列组合与二项式定理-十年（2012-2021）高考数学真题分项详解【含答案】

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1、专题13 排列组合与二项式定理【2021年】1（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A60种B120种C240种D480种2（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）ABCD【2012年2020年】1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）的展开式中x3y3的系数为（ ）A5B10C15D202（年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变

2、化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是ABCD3（年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A12B16C20D244（2018年全国普通高等学校招生统一理数（全国卷II）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD5（2018年全国卷理数高题）的展开式中的系数为A10B20C40D806（2017年全国

3、普通高等学校招生统一理科数学（新课标1卷）（2017新课标全国卷理科）展开式中的系数为A15B20C30D357（2017年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标2卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种8（2015年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中，的系数为A10B20C30D609（2013年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标1卷）设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m A5B6C7D810（20

4、13年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标2）已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则aA4B3C2D111（2012年全国普通高等学校招生统一理科数学（课标卷）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有A种B种C种D种12（2012年全国普通高等学校招生统一理科数学（大纲卷）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A12种B18种C24种D36种二、填空题13（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）4名同学到3个小区参加垃圾分

5、类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.14（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）的展开式中常数项是_（用数字作答）15（2018年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标I卷）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）16（2017年全国普通高等学校招生统一理科数学）的展开式中，x3的系数是_.（用数字填写答案）17（2016年全国普通高等学校招生统一理科数学（全国2卷）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同

6、的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_18（2015年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则_19（2014年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）20（2014年全国普通高等学校招生统一理科数学（全国卷）的展开式中，的系数为15，则a=_.(用数字填写答案)专题13 排列组合与二项式定理【2021年】1（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

7、目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A60种B120种C240种D480种C【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.2（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）ABCDC【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1

8、产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.【2012年2020年】1（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）的展开式中x3y3的系数为（ ）A5B10C15D20C【分析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C2（年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个

9、阳爻的概率是ABCDA【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A3（年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A12B16C20D24A【分析】由题意得x3的系数为，故选A4（2018年全国普通高等学校招生统一理数（全国卷II）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCDC【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，

10、13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.5（2018年全国卷理数高题）的展开式中的系数为A10B20C40D80C【详解】：由题可得令,则所以故选C.6（2017年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标1卷）（2017新课标全国卷理科）展开式中的系数为A15B20C30D35C因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.7（2017年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标2卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A1

11、2种B18种C24种D36种D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种故选D.8（2015年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中，的系数为A10B20C30D60C在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.9（2013年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标1卷）设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m A5B6C7D8B【详解】：由题意可知,即,解得故B正确10（201

12、3年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标2）已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则aA4B3C2D1D【详解】由题意知：，解得，故选D.11（2012年全国普通高等学校招生统一理科数学（课标卷）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有A种B种C种D种A【详解】：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A12（2012年全国普通高等学校招生统一理科数学（大纲卷）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，

13、要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A12种B18种C24种D36种A:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有321种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3212=12(种)不同的方法.二、填空题13（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.【分析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现

14、在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为.14（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）的展开式中常数项是_（用数字作答）【分析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是.故答案为.15（2018年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标I卷）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）【分析】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.16（2017年全国普通高等学校招生统一理科数学）的展开式中，x3的系数是_.（用数

15、字填写答案）10【详解】：的展开式的通项为(，1，2，5)，令得，所以的系数是.17（2016年全国普通高等学校招生统一理科数学（全国2卷）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和； （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和； （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和

16、； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”； 所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是和. 18（2015年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则_由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得19（2014年全国普通高等学校招生统一理科数学（新课标）的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【详解】：由题意，展开式通项为，当时，；当时，故的展开式中项为，系数为20（2014年全国普通高等学校招生统一理科数学（全国卷）的展开式中，的系数为15，则a=_.(用数字填写答案)【详解】因为，所以令，解得，所以=15，解得.